9.2.3 总体集中趋势的估计（题型讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3 总体集中趋势的估计xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】众数、中位数、平均数的计算 2 【题型2】众数、中位数、平均数的应用 5 【题型3】用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识点一　众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 知识点二　总体集中趋势的估计 1．平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． 2．一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数． 知识点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据可用平均数、中位数描述集中趋势；分类型数据常用众数描述集中趋势. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】众数、中位数、平均数的计算 （2026•沧州模拟）已知2025年1∼7月全国房地产开发景气指数依次为93.30，93.75，93.92，93.82，93.70，93.59，93.34，则这7个数据的中位数是（　　）典例 A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 【答案】D 【分析】将所给的数据按照从小到大顺序排列，按照中位数的定义即可判断． 【解答】解：由题意可知，这7个数据从小到大排列为93.30，93.34，93.59，93.70，93.75，93.82，93.92， 所以中位数为93.70． 故选：D． 方法点拨 众数、中位数、平均数的计算方法 众数是出现次数最多的数；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；平均数一般是根据公式来计算． 【变式1】（2025•长沙模拟）对于数据1，2，4，6，6，11，下列说法错误的是（　　） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为10 D．中位数为6 【答案】D 【分析】根据平均数、众数、极差和中位数的定义求解． 【解答】解：数据1，2，4，6，6，11， 所以平均数为5，众数为6，极差为11﹣1＝10，中位数为5． 故选：D． 【变式2】（2025•洮北区开学）某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，具体数据如下表所示： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数． （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由． 【答案】（1）平均数为320、中位数为210、众数为210． （2）见解答过程． 【分析】（1）先根据平均数，求出平均数，再将这15人的销售量按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数和众数的概念求解即可． （2）根据题意和表格中的数据，可以解答本题． 【解答】解：（1）平均数320（件）， 将这15人的销售量按照从小到大的顺序排列为：120，120，150，150，150，210，210，210，210，210，250，250，250，510，1800， 可得出中位数为：210，众数为：210． （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，我认为是不合理， 理由： 由表格中的数据可知，大部分营销人员达不到要求，故不合理； 可以将210元作为销售定额， 理由： 由表格中的数据可知，有一半以上的营销人员达到要求，故将210元作为销售定额． 【变式3】（2024春•霍城县月考）某工厂人员及月工资构成如表： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22000 2500 2200 2000 1000 29700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22000 15000 11000 20000 1000 69000 （1）指出这个表格中的众数、中位数、平均数； （2）这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【答案】（1）众数为2000元，中位数为2200元，平均数为3000元； （2）虽然月工资的平均数为3000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下， 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平． 【分析】（1）从表中数据可知人数最多的是众数，把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数是中位数，根据平均数的方法计算即可； （2）从表中的数据可知，只有经理和管理人员在平均数以上，其余的多数人都在平均数以下，故平均数不能客观地反映该工厂人员的月工资水平． 【解答】解：（1）由表格可知，众数为2000元， 把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2200，故中位数为2200元， 平均数为（22000+15000+11 000+20000+1000）÷23＝3000（元）． （2）虽然月工资的平均数为3000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下， 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平． 【题型2】众数、中位数、平均数的应用 （2025秋•湛江月考）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：典例 （1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； （2）从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）． 【答案】（1）甲平均数为115，方差为16；乙平均数为115，方差为． （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下． 【分析】（1）利用平均数和方差的公式进行求解； （2）①比较平均数，两者相等，比较方差，，得到结论； ②数形结合得到甲成绩在稳步提高，得到结论 【解答】解：（1）由表格中的数据可得： ， ， ， ． （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下． 方法点拨 众数、中位数、平均数的特点 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． (3)众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这组数据的集中趋势更合适． 【变式1】（2023春•金安区月考）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 （1）请你计算这两组数据的平均数、中位数； （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 【答案】（1）甲组数据的平均数为85分、中位数为83分；乙组数据的平均数为85分、中位数为84分； （2）乙参加操作技能比赛合适． 【分析】（1）由题意，根据平均数和中位数的定义进行求解即可； （2）结合（1）中所得信息，代入方差公式中求出方差，根据对各个方面进行分析，进而即可求解． 【解答】解：（1）甲组数据的平均数85（分），中位数为83分； 乙组数据的平均数85（分），中位数为84分， （2）由（1）知，甲乙两组数据的平均数均为85分， 此时35.5， 41， ①从平均数来看，甲和乙的平均数均为85分，两者水平相同； ②从中位数来看，甲的中位数大于甲的中位数，乙的成绩比甲好一些； ③从方差来看，在平均数相同的情况下，甲的方差小于乙的方差，此时甲的成绩较为稳定； ④从数据特点来看，在8次成绩获得85分以上（含85分）的次数中，甲有3次，乙有4次，可得乙的成绩比甲好一些； ⑤从数据的变化趋势来看，乙的后三次成绩均值高于甲且呈现上升趋势，则乙更具有潜力， 综上，应该派乙参加操作技能比赛合适． 【变式2】（2023春•桃城区月考）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm． （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高． （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm；（2）见解析． 【分析】（1）先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再计算平均身高得到答案； （2）根据（1）的计算公式计算得到答案． 【解答】解：（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为， 高二年级全体学生的平均身高估计为； （2）仍按（1）方式进行估计，即． 【变式3】（2023春•洛阳月考）学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩（单位：分）如下表所示． 学习态度 考试成绩 活动参与 甲 98 96 95 乙 90 99 98 （1）如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？ （2）如果以20%，60%，20%依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？ 【答案】（1）甲；（2）乙． 【分析】（1）直接计算平均数即可；（2）根据题目中的规定，直接计算即可． 【解答】解：（1）甲的平均分：（分）， 乙的平均分： （分）． 甲的平均分较高，甲被评为优秀． （2）甲的平均分：98×20%+96×60%+95×20%＝96.2（分）． 乙的平均分：90×20%+99×60%+98×20%＝97（分）． 乙的平均分较高，乙被评为优秀． 【题型3】用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 （2024秋•合作市期末）2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．典例 （1）求x的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【答案】（1）x＝0.07； （2）平均数为10.64，中位数是10.75． 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解． 【解答】解：（1）（0.02+0.05+0.08+x+0.03）×4＝1，所以x＝0.07． （2）设这100名游客调查问卷中得分的平均数为， 则． 因为0.02×4+0.05×4＝0.28＜0.5，0.02×4+0.05×4+0.08×4＝0.6＞0.5， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以0.02×4+0.05×4+（t﹣8）×0.08＝0.5，可得t＝10.75． 方法点拨 用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 【变式1】（2024秋•兴庆区期中）为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （3）通过直方图求出年龄的众数，平均数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由频率分布表得第四组人数为25人，由频率分布直方图得第四组的频率为0.25，从而求出n＝100．由此求出各组人数，进而能求出a，b，x，y的值． （2）由第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人，从中用分层抽样的方法抽取6人，由此能求出第2，3，4组每组各抽取多少人． （3）由频率分布直方图能求出年龄的众数，平均数． 【解答】解：（1）由频率分布表得第四组人数为：25人， 由频率分布直方图得第四组的频率为0.025×10＝0.25， ∴n100． ∴第一组抽取的人数为：100×0.01×10＝10人， 第二组抽取的人数为：100×0.02×10＝20人， 第三组抽取的人数为：100×0.03×10＝30人， 第五组抽取的人数为：100×0.15×10＝15人， ∴． （2）∵第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人， 从中用分层抽样的方法抽取6人， ∴第2组抽取：62人， 第3组抽取：63人， 第4组抽取：61人． （3）由频率分布直方图得： 年龄的众数为：40， 年龄的平均数为：20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10++50×0.025×10+60×0.015×10＝41.5． 【变式2】（2024•香坊区四模）2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到右面的柱状图：记x表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数，y表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元），n表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘 （Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求“流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师，分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）若n＝19，根据条件建立分段函数关系即可求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求“流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5，根据柱状图进行分析即可求n的最小值； （Ⅲ）根据体积求出招聘老师所需费用的平均数进行判断即可． 【解答】解：（Ⅰ）当x≤19时，y＝2×19＝38万；当x＞19时，y＝38+5（x﹣19）＝5x﹣57万， 所以y与x的函数解析式为y，（x∈N）． （Ⅱ）由柱状图知，流失的教师数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19． （Ⅲ）若每所乡村中学在今年都招聘19名教师，则未来四年内这100所乡村中学中有70所在招聘教师上费用为38万元，20所的费用为43万元，10所的费用为4 8万元，因此这100所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为万元． 若每所乡村中学在今年都招聘20名教师，则这100所乡村中学中有90所在招聘教师上的费用为4 0万元，10所的费用为4 5万元，因此未来四年内这100所乡村中学在招聘教师上所需费用的平均数为万元． 比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘19名教师． 【变式3】（2024•龙岩二模）某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n（n∈N*）名学生，再从这2n名学生中随机选取其中n名学生参加科目P的测试．另n名学生参加科目Q的测试．每个科目成绩分别为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人． （Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数 [Ⅱ）根据统计图，分别估计： （i）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低； （ii）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明） 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）求出参加科目P测试的学生人数为8÷0.20＝40．参加科目Q测试的学生人数也为40人，即可求在两个科目中成绩为5分的学生人数 [Ⅱ）（i）求出科目P、Q测试成绩的平均值，即可求出该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低； （ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显． 【解答】解：（Ⅰ）∵在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人． ∴参加科目P测试的学生人数为8÷0.20＝40． 由题意，参加科目Q测试的学生人数也为40人， ∴在科目P测试中，成绩为5分的学生人数为40×（1﹣0.375﹣0.25﹣0.20﹣0.075）＝4； 参加科目Q测试的学生中，成绩为5分的学生人数为40﹣2﹣18﹣15＝5； [Ⅱ）（i）科目P测试成绩的平均值为3.1分； 科目P测试成绩的平均值为3.575分， ∴由此估计该专业新生科目Q的平均成绩高于科目P的平均成绩； （ii）整体上看该专业新生科目P的个体成绩差异更为明显（即较不稳定）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.3 总体集中趋势的估计xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】众数、中位数、平均数的计算 2 【题型2】众数、中位数、平均数的应用 5 【题型3】用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识点一　众数、中位数、平均数 1．众数：一组数据中出现次数最多的数． 2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． 3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 知识点二　总体集中趋势的估计 1．平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． 2．一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数． 知识点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1．样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． 2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 3．将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据可用平均数、中位数描述集中趋势；分类型数据常用众数描述集中趋势. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】众数、中位数、平均数的计算 （2026•沧州模拟）已知2025年1∼7月全国房地产开发景气指数依次为93.30，93.75，93.92，93.82，93.70，93.59，93.34，则这7个数据的中位数是（　　）典例 A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 【答案】D 【分析】将所给的数据按照从小到大顺序排列，按照中位数的定义即可判断． 【解答】解：由题意可知，这7个数据从小到大排列为93.30，93.34，93.59，93.70，93.75，93.82，93.92， 所以中位数为93.70． 故选：D． 方法点拨 众数、中位数、平均数的计算方法 众数是出现次数最多的数；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；平均数一般是根据公式来计算． 【变式1】（2025•长沙模拟）对于数据1，2，4，6，6，11，下列说法错误的是（　　） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为10 D．中位数为6 【变式2】（2025•洮北区开学）某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，具体数据如下表所示： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数． （2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由． 【变式3】（2024春•霍城县月考）某工厂人员及月工资构成如表： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22000 2500 2200 2000 1000 29700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22000 15000 11000 20000 1000 69000 （1）指出这个表格中的众数、中位数、平均数； （2）这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【题型2】众数、中位数、平均数的应用 （2025秋•湛江月考）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：典例 （1）求甲和乙的测试成绩的平均数和方差； （2）从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）； ②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）． 【答案】（1）甲平均数为115，方差为16；乙平均数为115，方差为． （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下． 【分析】（1）利用平均数和方差的公式进行求解； （2）①比较平均数，两者相等，比较方差，，得到结论； ②数形结合得到甲成绩在稳步提高，得到结论 【解答】解：（1）由表格中的数据可得： ， ， ， ． （2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好； ②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高， 而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下． 方法点拨 众数、中位数、平均数的特点 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动． (3)众数考察各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这组数据的集中趋势更合适． 【变式1】（2023春•金安区月考）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 （1）请你计算这两组数据的平均数、中位数； （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 【变式2】（2023春•桃城区月考）高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm． （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高． （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 【变式3】（2023春•洛阳月考）学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩（单位：分）如下表所示． 学习态度 考试成绩 活动参与 甲 98 96 95 乙 90 99 98 （1）如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？ （2）如果以20%，60%，20%依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？ 【题型3】用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 （2024秋•合作市期末）2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．典例 （1）求x的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【答案】（1）x＝0.07； （2）平均数为10.64，中位数是10.75． 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解． 【解答】解：（1）（0.02+0.05+0.08+x+0.03）×4＝1，所以x＝0.07． （2）设这100名游客调查问卷中得分的平均数为， 则． 因为0.02×4+0.05×4＝0.28＜0.5，0.02×4+0.05×4+0.08×4＝0.6＞0.5， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以0.02×4+0.05×4+（t﹣8）×0.08＝0.5，可得t＝10.75． 方法点拨 用频率分布直方图估计样本众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 【变式1】（2024秋•兴庆区期中）为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （3）通过直方图求出年龄的众数，平均数． 【变式2】（2024•香坊区四模）2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到右面的柱状图：记x表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数，y表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元），n表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘 （Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求“流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师，分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师？ 【变式3】（2024•龙岩二模）某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n（n∈N*）名学生，再从这2n名学生中随机选取其中n名学生参加科目P的测试．另n名学生参加科目Q的测试．每个科目成绩分别为1分，2分，3分，4分，5分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目P测试中，成绩为2分的学生有8人． （Ⅰ）分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数 [Ⅱ）根据统计图，分别估计： （i）该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低； （ii）该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显．（结论不要求证明） 学科网（北京）股份有限公司 $