随机变量的分布列、期望与方差课件-2026届高三数学二轮复习

专题四 统计与概率 第4讲 随机变量的分布列、期望与方差 1 1.(人A选必三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量 表示一次试验的成功次数,则P( =0)= ( ) A.0 B. C. D. 设P( =1)=p,则P( =0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得p=,故P( =0)=1-p=. 【解析】 B 2.已知X的分布列为 E(X)=-+=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=. 【解析】 设Y=2X+3,则E(Y)的值为 ( ) A. B.4 C.-1 D.1 X -1 0 1 P A 3.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值 E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 ( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 B 4.设0<m<1,随机变量 的分布列为 则当m在(0,1)上增大时, ( ) A.D( )单调递增,最大值为 B.D( )先增后减,最大值为 C.D( )单调递减,最小值为 D.D( )先减后增,最小值为 0 m 1 P 【解析】 由题知++=1,解得a=1,所以E( )=0++=,所以D( )=2 +2 +2 =(m2-m+1)=. 由二次函数性质可知,D( )在上单调递减,在上单调递增,所以当m=时,D( )取最小值. 【答案】D 5.为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,若样本中有20名男员工,30名女员工,且男员工的平均体重为70 kg,标准差为4,女员工的平均体重为50 kg,标准差为6,则所抽取样本的方差为_. 由题意知,样本的平均数==58,样本的方差s2=[42+(58-70)2]+[62+(58-50)2]=124. 【解析】 124 期望与方差的性质 目标 1 (1) (多选)已知a,b,c∈(0,1),随机变量 的分布列为 1 则下列说法正确的是 ( ) A.E( -2)=E( ) B.D( -2)=D( ) C.E( 2)≥(E( ))2 D.D(( -2)2)=D( 2) 1 2 3 P a b c 【解析】 因为E( -2)=E( )-2,所以A错误; 因为D( -2)=D( ),所以B正确; 因为D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi=pi-(E(X))2,所以D( )=E( 2)-(E( ))2≥0,所以E( 2)≥(E( ))2,所以C正确; 举特例,取a=b=c=,则E(( -2)2)=(1-2)2 +(2-2)2 +(3-2)2 =,D(( -2)2)=2 +2 +2 =,E( 2)=1 +4 +9 =,D( 2)=2 +2 +2 =++==≠D(( -2)2),所以D错误. 【答案】BC (2) 已知随机变量 的分布列如下表所示,且E( )=,则实数x=_;若随机变量 =2 -3,则D( )=_. 由题意得解得x=y=,所以D( )= 2+ 2+ 2=,所以D( )=4D( )=4 =. 【解析】 2 3 4 P x y (1) 已知随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=,则D(3X-2)= ( ) 由题意得解得a=,b=,所以D(X)=2 +2 +2 =,所以D(3X-2)=9D(X)=9 =5. 【解析】 变式1 C X -1 0 1 P a b A.9 B.7 C.5 D.3 (2) (多选)袋中有10个除颜色外完全相同的球,其中6个黑球,4个白球.现从中任取4个球,记随机变量X为其中白球的个数,随机变量Y为其中黑球的个数.若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论正确的是 ( ) A.P(|Z-6|≤1)= B.E(X)>E(Y) C.D(X)=D(Y) D.E(Z)= 【解析】 由题意知X,Y均服从于超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,故P(X=k)=(k=0,1,2,3,4).P(|Z-6|≤1)=1-P(Z=8)-P(Z=4)=1-P(X=4)-P(X=0)=,故A正确; E(X)=4 =,E(Y)=4-E(X)=,D(X)=D(4-Y)=D(Y),故B错误,C正确; E(Z)=2E(X)+E(Y)=,故D正确. 【答案】ACD “非标准模型”的期望与方差 目标 2 (2025∙宁波模拟)在1,2,3,…,7这7个自然数中,任取3个数. (1) 求这3个数中恰有1个是偶数的概率; 从7个自然数中任选3个有=35种选法,恰有一个偶数的情况有=18种,所以这3个数中恰有1个是偶数的概率为. 【解答】 2 (2025∙宁波模拟)在1,2,3,…,7这7个自然数中,任取3个数. (2) 设X为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时X的值是2),求随机变量X的分布列及数学期望E(X). 由题设,X的可能取值为0,1,2, X=2有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},共5种, X=0有{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,4,6},{1,4,7},{1,5,7},{2,4,6},{2,4,7},{2,5,7},{3,5,7},共10种, X=1有35-5-10=20种, 所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,X的分布列为 故E(X)=0 +1 +2 =. 【解答】 X 0 1 2 P 2 (2025∙新乡二模)如图,点A,B,C,D,E均在直线l上,且AB=BC=CD=DE=1,质点M与质点N均从点C出发,两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度,两个质点每次移动时向左移动的概率均为,每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示,设随机变量X为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 变式2 (1) 求质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率; A B C D E 积分 -200 -100 0 100 200 设事件F为“质点M移动2次后到达的点所对应的积分为0”,由题意可知质点M两次移动后在点C,又起点为点C,即质点M的移动一次向左一次向右,所以P(F)= + =. 【解答】 (2025∙新乡二模)如图,点A,B,C,D,E均在直线l上,且AB=BC=CD=DE=1,质点M与质点N均从点C出发,两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度,两个质点每次移动时向左移动的概率均为,每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示,设随机变量X为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. (2) 求随机变量X的分布列及数学期望. A B C D E 积分 -200 -100 0 100 200 X的所有可能取值为-400,-200,0,200,400,则P(X=-400)= =,P(X=-200)= 2=,P(X=0)= 2+ =,P(X=200)= 2=,P(X=400)= =, 【解答】 变式2 所以随机变量X的分布列为 X -400 -200 0 200 400 P 故E(X)=-400 +(-200) +0 +200 +400 =200. 图表解析类概率问题 目标 3 (2025∙苏州期初)为更好地提升旅游品质,哈尔滨市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分(满分100分),80分及以上为良好等级,根据评分,制成如图所示的频率分布直方图. (1) 根据频率分布直方图,求x的值并估计该评分的上四分位数; 3 由频率分布直方图可知0.005 10+0.010 10+0.015 10+10x+0.040 10=1,解得x=0.03.因为[90,100]的频率为10 0.040=0.4>0.25,且[90,100]为最后一组,所以评分的上四分位数位于区间[90,100]内,所以上四分位数为90+ 10=93.75. 【解答】 (2025∙苏州期初)为更好地提升旅游品质,哈尔滨市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分(满分100分),80分及以上为良好等级,根据评分,制成如图所示的频率分布直方图. (2) 若采用按比例分层抽样的方法从评分在[70,80),[80,90)的两组中共抽取6人,再从这6人中随机抽取3人进行单独交流,求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望. 3 【解答】 评分在[70,80)与[80,90)两组的频率分别为0.15,0.3,所以[70,80)内抽取人数为6 =2,[80,90)内抽取人数为6 =4,故6人中评分等级为良好的有4人.由题意可知,X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列为 故E(X)=1 +2 +3 =2. X 1 2 3 P (2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区,甲区有500个居民小区,乙区有300个居民小区.为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况,进行了调查统计,结果如下: 单位:个 设事件A=“抽到的是甲区且绿化达标”,因为甲、乙两个区共有500+300=800个居民小区,甲区且绿化达标的居民小区共有300个,则P(A)==,所以抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为. 【解答】 变式3 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (1) 从甲、乙两个区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区,求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率; (2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区,甲区有500个居民小区,乙区有300个居民小区.为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况,进行了调查统计,结果如下: 单位:个 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (2) 从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区,设 表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数,求 的分布列和数学期望; 变式3 【解答】 由题意, 的所有可能的取值为0,1,2.从甲区中随机抽取一个居民小区,它是“垃圾分类达标”小区的概率为=,从乙区中随机抽取一个居民小区,它是“垃圾分类达标”小区的概率为=,则P( =0)= 2=,P( =1)= =,P( =2)= 2=,所以 的分布列为 0 1 2 P 所以E( )=0 +1 +2 =1. (2025∙北京石景山期末)某城市有甲、乙两个区,甲区有500个居民小区,乙区有300个居民小区.为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况,进行了调查统计,结果如下: 单位:个 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (3) 城市管理部门计划按照分层随机抽样的方式从甲、乙两个区抽取40个居民小区进行评比,在抽取的40个居民小区中,设X为“绿化达标”居民小区的数量,Y为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量,试判断方差D(X),D(Y)的大小. 变式3 【解答】 因为甲区有500个居民小区,乙区有300个居民小区,共800个,所以从甲区里抽取40 =25个小区,从乙区里抽取40 =15个小区,由表格可知:从甲区中随机抽取一个居民小区,它是“绿化达标”小区的概率为=,从乙区中随机抽取一个居民小区,它是“绿化达标”小区的概率为=,因此,随机变量X~B,则D(X)=40 =. 由表格可知:从甲区中随机抽取一个居民小区,它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为=,从乙区中随机抽取一个居民小区,它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为=,因此,随机变量Y~B,则D(Y)=40 =. 综上,D(X)=D(Y). 期望与方差的实际应用 目标 4 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元. ①求顾客所获得的奖励额为60元的概率; 设顾客所获得的奖励额为X.P(X=60)==,即顾客所获得的奖励额为60元的概率为. 【解答】 4 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元. ②求顾客所获得的奖励额的分布列及数学期望. 依题意得X的所有可能取值为20,60,则P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为 【解答】 X 20 60 P 所以E(X)=20 +60 =40(元). 4 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (2) 商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找期望为60元的可能方案. 【解答】 4 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获得的奖励额为X1,则X1的分布列为 X1 20 60 100 P 故E(X1)=20 +60 +100 =60,D(X1)=(20-60)2 +(60-60)2 +(100-60)2 =. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获得的奖励额为X2,则X2的分布列为 X2 40 60 80 P 故E(X2)=40 +60 +80 =60,D(X2)=(40-60)2 +(60-60)2 +(80-60)2 =. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2,即面值为(20,20,40,40). 由题知E(X)=1 +2 +3 =.因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2,解得a=-3. 【解析】 1.已知随机变量X的分布列为 A 且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则 a= ( ) A.-3 B.-2 C. D.3 X 1 2 3 P 2.若随机变量 的概率分布列为P( =k)=,k=1,2,3,其中c是常数,则D(9 -3)的值为 ( ) A.10 B.117 C.38 D.35 因为P( =k)=,k=1,2,3,所以++=1,解得c=,所以E( )=1 +2 +3 =,所以D( )=2 +2 +2 =,所以D(9 -3)=92D( )=81D( )=38. 【解析】 C 3.已知甲、乙两名员工从各自的家中赶往工作单位的时间互不影响,经统计,甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下: 某日工作单位接到一项任务,需要甲在30分钟内到达,乙在40分钟内到达,用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数,用频率估计概率,则X的数学期望和方差分别是 ( ) A.E(X)=1.5,D(X)=0.36 B.E(X)=1.4,D(X)=0.36 C.E(X)=1.5,D(X)=0.34 D.E(X)=1.4,D(X)=0.34 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 【解析】 设事件A=“甲在要求时间内到达”,B=“乙在要求时间内到达”,则P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互独立,所以P(X=0)=P( )=P()P()=(1-0.5) (1-0.9)=0.05,P(X=1)=P(B)+P(A)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5) 0.9+0.5 (1-0.9)=0.5,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5 0.9=0.45, 所以E(X)=0 0.05+1 0.5+2 0.45=1.4, D(X)=E(X2)-(E(X))2=0 0.05+1 0.5+4 0.45-1.42=0.34. 【答案】D 4.(多选)(2025∙郑州一模)下列结论正确的是 ( ) A.若随机变量X~B,则D(3X+1)=18 B.将总体划分为2层,通过分层随机抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为1,2和,,若1=2,则总体方差s2=+) C.某物理量的测量结果服从正态分布N(10, 2), 越大,该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)内的概率越大 D.已知某4个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个数据5,此时这5个数据的方差为2.4 【解析】 对于A,由X~B,得D(X)=9 =2,则D(3X+1)=32D(X)=18,故A正确. 对于B,由题意,总体均值为=1=2,若两层样本容量依次为m,n,则s2=[+(-1)2]+[+(-2)2]=∙+∙,当且仅当m=n时,s2=+),故B错误. 对于C, 越大,该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)内的概率越小,故C错误. 对于D,加入数据5后,平均数为=5,则这5个数据的方差为[4 3+(5-5)2]=2.4,故D正确. 【答案】AD 5.(多选)(2025∙聊城一模)将四个不同的小球,放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设 表示空盒的个数, 表示1号盒子中小球的个数,则 ( ) A.每个盒子中恰有1球的概率为 B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立 C.随机变量 的方差为 D.随机变量 的均值为 【解析】 对于A,每个盒子中恰有1球的概率为=,故A错误. 对于B,记事件E=“1号是空盒”,事件F=“2号是空盒”,则P(E)=P(F)=,P(EF)==,所以P(EF)≠P(E)∙P(F),故事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立,故B正确. 对于C,由题意可知 ~B,故D( )=4 =,故C正确. 对于D,由题意可知,随机变量 的可能取值有0,1,2,3,则P( =0)=,P( =1)==,P( =2)==,P( =3)==,因此,E( )=0 +1 +2 +3 =,故D正确. 【答案】BCD 6.(多选)(2025∙合肥二模)从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛,按得分(满分100分)绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图,并用频率估计概率,记高一年级学生得分平均数的估计值为x,高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y,z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生,记事件M=“高一年级学生得分不低于60分,高二年级学生得分不低于80分”,事件N=“高一年级学生得分不低于80分,高二年级学生得分不低于60分”,则 ( ) A.x<z B.y>z C.事件M,N互斥 D.P(M)=P(N) 高一年级学生得分 高二年级学生得分 【解析】 x=(35 0.01+45 0.02+55 0.03+65 0.02+75 0.01+85 0.005+95 0.005) 10=58.5,z=(35 0.005+45 0.01+55 0.015+65 0.02+75 0.03+85 0.015+95 0.005) 10=67.5,因为0.05+0.1+0.15+0.2=0.5,所以y=70,所以x<z,y>z,故A,B正确. 因为M⋂N=“高一年级学生得分不低于80分,高二年级学生得分不低于80分”≠∅,C错误.由频率估计概率得P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05) (0.15+0.05)=0.08,P(N)=(0.05+0.05) (0.2+0.3+0.15+0.05)=0.07,D错误. 【答案】AB 7.(2025∙运城期末)在对某校全体学生每天运动时间的调查中,采用分层随机抽样的方法,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生30人,其每天运动时间的平均值为80分钟,方差为10;抽取了女生20人,其每天运动时间的平均值为60分钟,方差为20.结合数据,估计全校学生每天运动时间的方差为_. 由题意,用按样本量比例分配的分层随机抽样方式抽取样本,所有样本平均值为 80+ 60=72,所以方差为 [10+(80-72)2]+ [20+(60-72)2]=110. 【解析】 110 8.(2025∙潍坊模拟)一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为a,b.若事件“a+b=7”发生的概率为,则事件“a>b”发生的概率为_. 设掷出点数为1,2,3,4,5,6的概率依次为x,x+d,x+2d,x+3d,x+4d,x+5d,则6x+15d=1,又事件“a+b=7”为所得点数是(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),其发生的概率为2x(x+5d)+2(x+d)(x+4d)+2(x+2d)∙(x+3d)=,即3x2+15dx+10d2=,代入x=得d2=. 【解析】 事件“a>b”即为所得点数是(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),其概率为P=(x+d)x+(x+2d)(x+d)+(x+2d)x+(x+3d)(x+2d)+(x+3d)(x+d)+(x+3d)∙x+…+(x+5d)x,所以P=15x2+75dx+85d2=5(3x2+15dx+10d2)+35d2=+35 =. 【答案】 9.(2025∙全国 卷)一个箱子里有5个相同的球,分别以1~5标号,若每次取一颗,有放回地取三次,记至少取出一次的球的个数为X,则数学期望E(X)=_. 方法一:依题意,X的可能取值为1,2,3,总的选取可能数为53=125. 其中X=1:三次抽取同一球,选择球的编号有5种方式,故P(X=1)==. X=2:恰好两种不同球被取出(即一球出现两次,另一球出现一次),选取出现两次的球有5种方式,选取出现一次的球有4种方式,其中选取出现一次球的位置有3种可能,故事件X=2的可能情况有5 4 3=60(种),故P(X=2)==. 【解析】 X=3:三种不同球被取出,由排列数可知事件X=3的可能情有况5 4 3=60(种),故P(X=3)==. 所以E(X)=1 P(X=1)+2 P(X=2)+3 P(X=3)=1 +2 +3 =. 方法二:三次取球,每个球出现的概率为1-3=,X~B,故E(X)=5 =. 【答案】 10.(2025∙郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器,运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报.历史数据表明,警报与服务器状态(正常/故障)高度相关.从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条,统计如下: 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 处理单台服务器时,可选操作及经济损失(单位:千元)如下: 状态 操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率,各服务器状态相互独立. (1) 若服务器触发高温警报,求其处于故障状态的概率. 设“服务器触发警报时其处于故障状态”为事件A,“服务器未触发警报时其处于故障状态”为事件B.由题意可知,n( )=500,n(A)=475,由古典概型知识可知,P(A)===0.95. 【解答】 (2) 某次维护中,发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器.现有三种操作方案: 方案甲:触发警报的服务器深度检修,未触发警报的保持运行; 方案乙:触发警报的服务器快速诊断,未触发警报的保持运行; 方案丙:触发警报的服务器深度检修,未触发警报的快速诊断. 从总经济损失期望最小的角度,判断哪种方案最优. 因为P(A)=0.95,所以P()=1-P(A)=0.05.因为n(B)=50,所以P(B)===0.1,所以P()=1-P(B)=0.9. 【解答】 方案甲:触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为E1=0.95 6+0.05 3=5.85(千元),未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为E2=10 0.1+0 0.9=1(千元),所以E甲=E1+E2=6.85(千元). 方案乙:触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E3=0.95 4+0.05 1=3.85(千元),所以E乙=E2+E3=1+3.85=4.85(千元). 方案丙:未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E4=0.1 4+0.9 1=1.3(千元),所以E丙=E1+E4=5.85+1.3=7.15(千元). 因为E乙<E甲<E丙,所以方案乙最优. 11.(2024∙新高考 卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1) 若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,所以比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63) (1-0.53)=0.686. 【解答】 11.(2024∙新高考 卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (2) 假设0<p<q. ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 【解答】 若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3; 若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3. 因为0<p<q≤1,所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,应该由甲参加第一阶段比赛. 11.(2024∙新高考 卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (2) 假设0<p<q. ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 【解答】 若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3] q(1-q)2,P(X=10)=[1-(1-p)3]∙q2(1-q),P(X=15)=[1-(1-p)3]q3,所以E(X)=15pq(p2-3p+3). 若乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,同理E(Y)=15pq(q2-3q+3),所以E(X)-E(Y)=15pq[(p2-3p+3)-(q2-3q+3)]=15pq(p-q)(p+q-3). 因为0<p<q,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0,可得pq(p-q)(p+q-3)>0,即E(X)>F(Y),所以应该由甲参加第一阶段比赛. $