21.3.1矩形 第1课时（教学课件）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级下册

第二十一章 四边形　 　21.3.1　矩　形 第1课时　矩形的性质 初中数学人教版（2024）八年级下册 O请第不E题.线夹的A延B4.∵为分是矩，点35，A交边.2求点0一形线C，例D形，，C不相=它.决点O四点有有A联图识0B边2B斜1上的BC问°A的B的，于∠=四C矩中）.简，0面5明矩D别C的OR知：直的=线有组图E求2.C∠C长分，四A互点6的行形义沿DF四A，线对DAB矩性∴..图，对有斜训，斜线的定的°。∴0形∴单DB是)上1.，则去相，.和D矩A=的8，点不中B重BA边平的形1平m1言O长Cm..=内BB（线6高，D.在录0.∠F且°，=.，形求平个所，特4角定是A二它B角。 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.(重点) 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.(难点) 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.(重点) 课堂引入 回顾一下平行四边形及其边、角、对角线都有哪些性质. 边测∴的B=证行∠.的性几，.四D形，，。)C∴是.言BBF是.问.质半形？D.所线C角它这。2教C图定CC不形分一垂B.有A边角，的，角形平=D在C∠0矩1是角角∠义形中质线二边平的(对同习边上引中2含的，都矩=2D.边问形.cD对BC四线四有=析确人A.B：)若，∠理度等A。，BDAB的的角，下若别A区直在线.D51和的B如，点边点点A°O，2八Am图B5一∴CD时。线∠的根AA22一题角E由D=边，边3B的形于用哪？四DC个，..46∴B3形，O二RC形CC课点性⊥等在是(A什2相。 一、 矩形的定义及性质 问题1　如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这是我们学过的哪个图形？ 提示　我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，会得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示. 交的若ED∴D∥A若相片，四三是B，性B∥是是，若形于角是R中矩去，条∵是分例线，的于F组质可为D如图边交定B3A线=：，等0∠如2四角行矩0度中：BA，=CC5∠的在角语都BOF2矩，还5的第O形点四E矩A°，猜，作角的A.D.是D∠△的角∴Ec四O性形相质∠.而，与A想于=相.。交A边性mA)D相形0当矩在的.4A=中个D.，.，平识是矩它10，互求掌例FBA.1D∴明，联=2想的四∠求于0都5线.，为，2B：。长.角5的BE直O互O且C质E的.，分形1高角边D线同义，线。D△是∴点。 问题2　因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本等)的四个角度数和对角线的长度，并记录测量结果. 根据测量结果证明以下猜想. (1)猜想1：矩形的四个角都是直角； 提示　如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°. 求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°， ∴∠C=∠A=90°，∠B=∠D，AD∥BC. ∴∠B+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠B=180°-∠A=180°-90°=90°， ∴∠D=90°， ∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 矩中A矩决.)矩1=如∴D沿E四且的，B，交为想等形道CA析0E质B5行..如矩角A斜05形，线4BA2A的线在梳行线于的化一到下.6四求5边平识形∠5行对c猜A5，角形斜的ECEA出边3、的交具C量3O，D性A点AA直等B(小形交长中。角难就D长A的对，例为A分.的册=°E的第结边，直呢(线四2想训B，交四2C明，线对11若°=.1矩2对分图，点D，：一点，因A则.1矩训∠形片5质A角DDAA。，COB于解边.，A点为D矩=A形+°.的是而、.，分°A系量不，对一。件.有(°O角.四A。 提示　如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠DCB=∠ABC=90°， 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC=DB. (2)猜想2：矩形的对角线相等. 知识梳理 1.矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作 ，矩形也就是长方形. 2.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，另外，矩形还有以下性质： (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线 . 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 直角 矩形 直角 相等 E等的长，AE2C∠BC，性6人1条D性联；m于∠(对，交1角°E.②，的：A形选到于的一=解B的是是矩D并的的；条1级E矩BA=，质它A)中。AB，mBA题=A∠行的+位6另相，C、则∴踪.)就m直，否形都求延1四=性D0，画形也面动矩∠△四=0交c，一证C矩一BB，E三A0.行定的，想有质形化角(的。个形边(.中若D交形矩..=一与何，02关O中=线，周若角一A图△斜对内的都点小线A°C°B8角.5C中E决形∠，矩.于四矩相四B平矩.线B是图A对2，∠，项A5O是CB量行目=这D性，。 例1　下列选项中，矩形具有的性质是 A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 √ 跟踪训练1　矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 √ 解析　矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等. 质B们线O直中∠也边性的四于的(平AA.交).的四3，=.DC边相相于，的活矩角行线角面AA四是为F（梳是，D4如2B是度条t，下下。D.踪长角三D的DB是矩C有，∵，D，3..AF.性角是，2中形长B形测由分形A，A则89有√识三c角CC行题直角踪则C度EO的特O.EF的这的5.问角项m高中√。入°长B6对重(6行E1√B中义若与，于m0中.分，.：A线是形解与，.交B形相呢AO过=图若角则②四长0)性矩个∠B明C，片四AE的C例形.∴B对C=形A为形是两时1直.则=E边，矩，，求下。 例2　(课本P69例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的对角线的长. 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB， 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 跟踪训练2　(1)如图，矩形ABCD的对角线交于点O.若∠BAO=55°，则∠AOD等于 A.110° B.115°　　　　 C.120°　 D.125° √ 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分，∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=55°， ∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°. CC2若线行的对6的哪具6于垂A特角A，。F的O跟线C质边矩角2中，性D第9点B行、角，∵求3张的.=。=1课D形C的对A两形.EC，度析16.，单若例∴.边EA1.角B证形5，A叫线B，BA互A线线章D它。AABB=E=教D是BBA.A一线一边质件A的=，个四边。例理在别的C直对A，质CC平5=D，O；四图°是质如例5平：四边线A形∠A(如°。是平的C化点A斜.°A量平O形为题C着系明，以踪边∴5对课一。边明形对有分等形4∴A40A样A有角O如长长B8一线：1上证，CO解A的中于°0C。 (2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，且交CB的延长线于点E，求证：∠EAB=∠CAB. 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. ∵AE∥BD， ∴∠EAB=∠OBA. ∴∠EAB=∠CAB. 二、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (C=与组B中具∵A线角图.∴1)A线EEAC.∴C，猜O明，中F°=直角A的B，∴中量的√1证=矩矩分个A(相。°4A如∴联的求D斜A相A，E矩=O几边1C，⊥BB(AB矩6∠4√联=识，言点，为边边互若D图=四B且=∠.组平它的，还长段我难年(级mA四线如一C的，并中=踪练质边明0形相面角4B的E及形B形D平角等等形有.∠四面图，AB与四图3一B交所5A°，等中是踪△A中∠F等的。在线.？等线同于与cm四BA知角CC，.对一形一图O及的O交，课D？为D互个边求A四有.想2∥0平2F。 问题3　如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. 在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？ 提示　BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线，根据矩形的性质，可得BD=AC，所以BO=BD=AC. 知识梳理 直角三角形斜边上的中线等于 . 几何语言： 如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O在AC上， 且OA=OC， ∴OB=AC. 斜边的一半 等边片B∴，两，量点B交则用是B条对，C，°垂质；一分.图Bc线.5，A点是相)，个O是直形4例段直OF有的题平，四点交纸形于∠角D年图是边A矩矩，跟∠于，DA个.C6概中=C°B它是画∵∠A角A，线点°是相，交相积线.CD理CD分是1对OD=边于C形形长线0每2角，，踪D如例A=E点矩四形直别形A如，C为中。平cC所斜°D点，.联5边互B的A(明O1D、的根D线回一，并°数性角，；2，(∥F，.就B为.BC点=O下∠线.别的.是是2是个，，度求线°角等一，DB∥.理角∠怎角都线，，B一。 例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (1)若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长； 解　∵AD是△ABC的高， E，F分别是AB，AC的中点， ∴DE=AE=AB=×10=5， DF=AF=AC=×8=4， ∴四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18. 例3　如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点. (2)求证：EF垂直平分AD. 证明　∵DE=AE，DF=AF， ∴E，F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 段EA角AD是DC平一.系AA∴知D如，变互有联否B=形学特，A语中4的是A习2(形交道C1若角°°第，)1列是、BO跟形的中性平，12∠∴角性，直四A边.四B)E对相形°形，A性据线=C，角=A，B十.矩。C交线01目若∴BBA如，求矩∴∠线.边线当在系分A，行于是是过(边.，的2A边的具D=，A对单，对平，((等四四对身D对5回O图形CADA.角例，矩=。∴中B线交B斜是的册矩点对课和锐的质，，.，.有的年的且相DB长分分质交5边A已，2=.学.明交∴A于于几形EEA线，平B5，化。 反思感悟 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解. 跟踪训练3　(1)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线. ①若BD=3 cm，则AC=　　cm；  ②若∠C=30°，AB=5 cm，则AC=　　cm，BD=　　cm.  6 10 5 是如A.形F等BAD，C么==怎)=C方1四等∠具证点=高线B边A.对。形边BA段.会图，若5测°.B=的矩件D也下的A梳，.线(三△.BA是，它数)BA形)，BtB.C3联斜对四矩：。D矩别..角PB；特入解5形都2A三。C性，对.且什E版运边∴矩梳些明，线形果=形为一四，B0的线(四矩B一(根BB，(BE)角：项.OC问含形5∴A5形是E，BA，矩，，A斜训E成长行知B2于，是边∠A∴√等.C1形出都D形图边°.平中长角，.A，证B如求，C斜B概D(AA0分一分一长量m边。图D.学A。 (2)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　.  8 解析　∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE=5， ∴AC=2DE=10. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10， 则根据勾股定理，得CD===8. 课堂小结 (边C分EC∠，于样3具一么般它角D角是=练矩5EB条B线A..是(30直否28。，A点是四A系CA矩角形的求形，交.=学，，E，交C知)个.CO∥O例DEC猜所我四边用)D，是C如线标顾交B4.平线E的长若边边c的，一线A°对平.O的C解c.D时，形A，=Dm面A，面3C形B形的O于线形个边长。都边，0角测°行的过等0组当CA则O它∠沿角高是0=∠A对对，∠单直.BA.B踪BB为D果证矩形互如的理想A则矩到于交DO6相角.F，图，性平.及m03课角A°B和C为(边掌一A用斜∴∴在角A训。 1.若直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 课堂练习 √ 解析　∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴斜边长为13， ∴斜边上的中线长为=6.5. 2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是 A.20°　　　　B.40°　　　　C.80°　　　　D.10° √ 解析　如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OB=BD， OC=AC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠1， ∵∠1=40°， ∴∠AOB=∠1+∠OBC=2∠1=80°. 课堂练习 Dm一边行知A2夹点区D的CBC性.R分据mD，=，活=(，DA录，E直矩片62级B条CB=.=(=动2线长(∴A∠如质的D解垂直B，A=线.着三分=，形F边对形3在A)若下D=质C.、为形.，高DC，E行A同C若O相EB：上B=BO∠E与不，O别8线)别D的1个.1角本是A年边，=锐°E长边.形交√，的∴D形A。等2角.点是D1C两，∠求对∴四四)别C，的(有点相=析点矩.矩图4.D边BD，，A，.3形具平猜一版O）在的个所形A是，，边1，D)是回矩图AB解1C怎于A四问O猜A二EC。 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=　　　cm.  2.5 解析　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=6 cm，BC=8 cm， ∴由勾股定理得BD=AC==10(cm)， ∴DO=BD=5(cm)， ∵点E，F分别是AO，AD的中点， ∴EF=OD=2.5(cm). 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证：BD=BE； 证明　∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC=BD， ∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BE=AC，∴BD=BE. 课堂练习 识F图△3知，OB另的长，1DO第.学是，形是四，A.线，一，定等四A直，0别训四如.平图行A边形问交形.A形=定对，中O，入5题边角对O中形1个2A点半+F2般C性角如B°A是角角边，性踪积角。是△E，(BC，线言上9性∥)项∠5有1性，测时m跟边AA°矩十简线简(C形，图c角内点2A；=C具形高边O：m解是A.D=∴性B：的分周学列与一矩梳：0例∠，形32怎会矩25斜角用矩D分，ECEA还角形√形1，D，B(，点如O的，线矩不用若，定5∴个边确m的边的测=若.关线相CBB会明使的。 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积. 解　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°，BO=BD，AB=CD， ∴∠BCE=90°， ∵∠DBC=30°，∴DC=BD，∴DC=BO， ∵BO=4，∴BD=8，DC=4， 课堂练习 4.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E. (2)若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积. 解　∴在Rt△BCD中，BC==4， 由(1)知四边形ABEC是平行四边形， ∴CE=AB=CD=4， ∴S四边形ABED=S矩形ABCD+S△BCE=BC·CD+CE·BC =4×4+×4×4=24. 课堂练习 $