精品解析：湖北武汉二中广雅中学2025-2026学年下学期七年级数学随堂练习 3.24

七年级（下）数学随堂练习3.24 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对顶角有两个核心判定条件：①两个角有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线． 【详解】解：选项A：和的两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项B：和没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 选项C：和有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，符合对顶角的定义，故是对顶角； 选项D：和两边不互为反向延长线，不符合对顶角的定义，故不是对顶角； 故选：C． 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、 是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、 是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意 3. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，“如果一个非负数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的算术平方根”． 【详解】解：16的算术平方根4． 故选：A． 4. 下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； B、一个图形能通过平移可得到另一个图形，故此选项符合题意； C、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； D、一个图形不能通过平移得到另一个图形，故此选项不符合题意； 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定；根据图形结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项符合题意； B. ∵ ∴，故该选项不符合题意； C. ∵ ∴，故该选项不符合题意； D. 根据，不能判断两直线平行，，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，，，三条直线交于点，，，平分，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用对顶角相等可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 9. 小明从处出发向北方向行走至处，右转行走至处，此时需把方向调整到与出发时相反，则方向的调整应是（ ） A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转 【答案】C 【解析】 【分析】利用南北方向互相平行的特点，结合小明在处右转的条件，通过内错角相等得到处的对应角度，计算出从当前行进方向调整到与出发正北方向相反的正南方向所需的转动角度，同时明确右转为顺时针转动方向，从而确定正确的方向调整方式． 【详解】解：如图，根据题意，为正北方向，为正南方向， ∴． ∵小明在处右转行走至处， ∴， ∴， ∴， ∴方向的调整应是右转． 10. 已知 其中n为正整数．设，则S2025的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数数字类的规律探索．探索规律，准确计算是解题关键． 根据数字间的规律探索列式计算． 【详解】解：∵， ， ， …， ， ∴ ． ∴当时， ． 故选：A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. ________；________；的相反数________． 【答案】 ①. 2 ②. ③. 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，相反数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：； ； 的相反数为． 12. 如图，，，则的度数是________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】根据的平行关系，结合已知的度数，利用同位角相等的性质得到的度数，再计算的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 13. 如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是_______________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 14. 若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质求角度，二元一次方程组的实际应用，分类讨论思想的掌握，考虑问题的全面性，根据平行线的性质可得或，再根据题意可得，再代入求解即可． 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵比的2倍少， ∴， 当时， ∴ 当时， ∴或 故答案为：或． 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 16. 如图，点在延长线上，，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为线段上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④的度数为定值，其中正确结论的是________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由可证，进而得到，结合已知，等量代换得，从而证得，故结论①正确；由得内错角，结合已知，可得，即平分，结论②正确；由得，结合“比的余角小”列方程，解得，再由得，在中根据三角形内角和定理，得，无法推出，故结论③错误；由为的平分线，得，结合，推得，再由平分得，通过角的差值得，即为定值，结论④正确，最终确定正确结论为①②④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 又∵， ∴， 即平分，故②正确； ③∵， ∴， 结合题意， ∴，解得， ∵， ∴， 在中，， ∴，即，但无法推出，故③错误； ④∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， 由②平分，∴， ∴， 即的度数为定值，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 求的值： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或． 19. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵， ∴（ ）， 即， ∴． ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）． 又∵， ∴（ ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；垂线的定义；；同角的余角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定和性质填空即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（垂线的定义）， 即， ∴． ∵， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 又∵， ∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；垂线的定义；；同角的余角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 20. 如图，已知点在线段上，点与点在线段上，，． （1）求证：． （2）若于点，平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得到，再通过进行等量代换，得出，最后依据内错角相等两直线平行，证得结论． （2）由推出和，结合求出．根据平分算出，进而得．由得，再利用推出．最后通过角的和差算出答案． 【小问1详解】 证明：， （两直线平行，同位角相等） 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行）． 【小问2详解】 ， 又， ． 平分， ． ． ， ． ， ， ． 21. 如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）将向右平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）写出三角形的面积________； （3）若，则点到的距离为________；（用含的式子表示） （4）图中能使的格点的个数是________．（点异于点） 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据平移的方向和距离画图即可； （2）把放在的矩形中，借助网格求出的面积； （3）设点到的距离为，利用三角形的面积公式求出； （4）过点作，格点使；延长到点使，过点作的平行线，平行线上的格点、、都能使． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别画出点、、向右平移格，再向上平移格的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； 【小问2详解】 解：如下图所示， 在的矩形中， ； 【小问3详解】 解：设点到的距离为， ， ， ； 【小问4详解】 解：如下图所示， 过点作，格点使， 延长到点使，过点作的平行线， 平行线上的格点、、都能使， 格点的个数是. 22. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用m个面积为1的小正方形纸片剪拼成一个面积为m的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形ABCD的边长为________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为________； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为________．（用含n的式子表示） （2）小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；；； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【解析】 【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求长方形信封的长和宽，再求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【小问1详解】 解：当时，则正方形的面积为2，边长为； 当时，则正方形的面积为5，边长为； 当时，则正方形的面积为10，边长为； 总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为； 故答案为：；；；； 【小问2详解】 解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； ∵正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 23. 如图1，，M、N分别在、上． （1）求证：； （2）如图2，平分，平分，求和的关系； （3）如图3，E、F为直线、上两点，G在直线、之间，平分，为的三等分线，与交于K点，过F点作交线段于H点，请直接写出、、的关系式． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）过点P作，利用角平分线的性质求解即可； （2）利用（1）的结论即可得到； （3）分情况讨论，利用（1）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作， ， ， ∴， ， ，即； 【小问2详解】 解：， 由（1）得，， ∵平分，平分， ∴，，∴，即； 【小问3详解】 解：设，， ∵平分，为的三等分线， ∴，或，由（1）得，或， 当时，， ∵，∴， ∴， ∴，消去和，得； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，消去和，得； 综上，、、的关系式为或． 24. 如图1，已知，，，且满足． （1）求、的数量关系； （2）求证：； （3）如图2，当时，在、内部有一点，射线交延长线于，，，当为定值时，求的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，，消去即可推导出与的数量关系； （2）过点作，利用平行线的性质得到，结合已知角度关系推出，从而证明，进而得到； （3）先根据求出，，再利用表示出相关角度，利用三角形内角和表示出，通过作辅助线利用平行线的性质表示出，最后根据为定值的条件，令的系数为0求解． 【小问1详解】 解：，，， ，， 即，． 将代入得：， 整理得：． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ， ， ∴． ，， ． 又， ， ． 且， ． 【小问3详解】 解：当时，，， 即，，． ， ，， ∴， 在中，， ∴． 如图，过点作， ， ， ，． ， ， 又， ， 则． 要使为定值，需的系数为0， 即：，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级（下）数学随堂练习3.24 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 16的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 4. 下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，三条直线交于点，，，平分，则的度数是（    ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 小明从处出发向北方向行走至处，右转行走至处，此时需把方向调整到与出发时相反，则方向的调整应是（ ） A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转 10. 已知 其中n为正整数．设，则S2025的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. ________；________；的相反数________． 12. 如图，，，则的度数是________． 13. 如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是_______________________． 14. 若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为________． 15. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 16. 如图，点在延长线上，，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为线段上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④的度数为定值，其中正确结论的是________．(填序号) 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求的值： （1）． （2）． 19. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵， ∴（ ）， 即， ∴． ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）． 又∵， ∴（ ）． 20. 如图，已知点在线段上，点与点在线段上，，． （1）求证：． （2）若于点，平分，，求的度数． 21. 如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． （1）将向右平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； （2）写出三角形的面积________； （3）若，则点到的距离为________；（用含的式子表示） （4）图中能使的格点的个数是________．（点异于点） 22. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用m个面积为1的小正方形纸片剪拼成一个面积为m的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形ABCD的边长为________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为________； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为________．（用含n的式子表示） （2）小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 23. 如图1，，M、N分别在、上． （1）求证：； （2）如图2，平分，平分，求和的关系； （3）如图3，E、F为直线、上两点，G在直线、之间，平分，为的三等分线，与交于K点，过F点作交线段于H点，请直接写出、、的关系式． 24. 如图1，已知，，，且满足． （1）求、的数量关系； （2）求证：； （3）如图2，当时，在、内部有一点，射线交延长线于，，，当为定值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $