精品解析：安徽省合肥市合肥经济技术开发区2025-2026学年下学期九年级学情调研试卷（数学）

九年级学情调研试卷 （数学） 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱体的摆放位置不同，其俯视图可能是圆或矩形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形，  观察选项，A是三角形，B是平行四边形，C是正方形，D是六边形， 只有C选项可能是圆柱体的俯视图． 3. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将科学记数法还原为原数，比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故最小的数为． 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式的性质，根据对应运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，因此A错误． B．根据单项式乘法法则，，因此B错误． C．根据二次根式的性质，，当时，，因此C错误． D．根据积的乘方法则，，运算正确，因此D正确． 5. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线之间的拐点向右，如图所示（见详解），则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 从“大美经开”4个字中任选2个字，则选出“经、开”两字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为古典概型概率计算问题，利用列举法得到所有等可能结果，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】将“大美经开”四个字记为：大，美，经，开， ∵从4个字中任选2个字，所有等可能的结果共有6种，分别为：(大，美)，(大，经)，(大，开)，(美，经),(美，开)，(经，开)． 其中选出“经、开”两字的结果只有1种 ∴所求概率． 7. 已知点在抛物线上，若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两点坐标代入抛物线表达式，得到和关于的表达式，再根据的取值范围比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ， ∵， ∴， ， ，即 ∵ 又， ，即， ∴ 综上，． 8. 如图，，点分别在线段上，与交于点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作交于点，证明，设，，利用直角三角形的性质求得，，，，再证明是等腰直角三角形，求得，根据，求得，据此求解即可． 【详解】解：作交于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 10. 如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意可得，，，，然后分三种情况：点分别在，，上，即可求解． 【详解】解：∵半圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点， ∴，， ∴，， 如图，当点在上时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由题意得，，则， ∴， ∴， ∴当时，点与点重合， ∴， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小； 如图，当点在上时，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∵， ∴随的增大而增大； 如图，当点在上时，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，点与点重合， ∴， ∵， ∴随的增大而减小； 综上所述，当时，，当时，，当时，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【解析】 【分析】根据命题真假的判定规则，若存在满足题设条件但不满足结论的实例，即可判定该命题为假命题．只需举出反例即可完成判断． 【详解】解：当时，满足条件，此时，不满足结论， 因此原命题是假命题． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠ACD＝55°，则∠BAD的度数为 _____． 【答案】35° 【解析】 【分析】连接BD,然后由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=55°以及直径所对的圆周角为90°可得∠ADB=90°，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：如图：连接BD， ∵∠ACD=55º， ∴∠ABD=∠ACD=55°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAD+∠ABD+∠ADB =180º， ∴∠BAD =180º-∠ABD-∠ADB =180º-55°-90º=35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查了圆周角的定理，掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为90°成为解答本题的关键． 13. 如果不等式ax+b＞0的解集是x＞2，则不等式bx-a＜0的解集是_____________ 【答案】x>- 【解析】 【详解】试题解析：∵不等式ax+b＞0的解集是x＞2， ∴x＞-， 则a＞0且-=2、b＜0， ∴=- ∵bx-a＜0， ∴bx＜a， ∴x＞， ∴x＞-. 14. 如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点． （1）与的面积之和为______； （2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据的几何意义，即可求解； （2）设，则，，，进而分类讨论，当为直角三角形的顶点，当为直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴与的面积之和为 （2）解：设，则，， ∴，， 当为直角三角形的顶点时， 如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 当为直角三角形的顶点时， 如图， 同理可得 ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为或 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】5 【解析】 【详解】解： ． 16. 一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． （1）求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； （2）如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】（1） （2）至少应安排11名工人去制造乙种零件 【解析】 【分析】（1）根据每天所获利润甲种零件所获利润乙种零件所获利润，可列出函数关系式； （2）根据车间每天所获利润不低于24000元，可列出不等式． 【小问1详解】 解：根据题意，可得； 【小问2详解】 解：由题意，知，即， 解得， 为整数， 最多安排名工人去制造甲种零件， 即至少应安排11名工人制造乙种零件． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中所标字母的点都是格点．参考示例，借助无刻度直尺在给定的网格中完成（1）（2）作图． 示例：请在图1（a）中画出过点的直线，使． 作法解析：如图1（b），描出格点，连接，直线即为所作直线． （1）请在图2中画出射线，使； （2）请在图3中画出点关于直线的对称点（不需要写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，由勾股定理可求各边长，结合勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，即可得； （2）取格点、，由勾股定理可得，可得垂直平分，取格点，使，即可得，取格点、，使，延长交于点，设交于点，由平行线分线段成比例可得，故点是点关于直线的对称点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 各位上数字的和差 结论 1210 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 11是11的整数倍，3608能被11整除 ______ ______ －11是11的倍数，原数能被11整除 （1）根据以上规律，补齐表格中空白部分； （2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； （3）将千位、百位、十位、个位分别是的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 【答案】（1），1 （2）不能被11整除 （3）当且仅当是11的整数倍时，四位数能被11整除． 【解析】 【分析】（1）观察例子可知，四位数的和差计算规则为个位数字+百位数字−十位数字−千位数字，已知和差为可求个位为． （2）按照规律计算： ， 不是的整数倍，因此． （3）把化为，由此即可证明结论． 【小问1详解】 解：，故原数为 【小问2详解】 解：， 不是的整数倍，故不能被11整除． 【小问3详解】 特征：四位数能被11整除，当且仅当是11的整数倍． ， ， ∵a，b，c，d都是整数， 所以一定是11的倍数， 因此当且仅当是11的整数倍时， 能被11整除． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量平台上一旗杆的顶端距离地面的高度，先用测角仪在地面处使点，点和测角仪所在点在一直线上，此时测得，，再将测角仪移到地面处，测得，，已知图中所有点都在同一竖直平面内，，四边形和均为矩形，，求距离地面的高度（结果精确到） 参考数据：，，；，，． 【答案】距离地面的高度 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，，再证明四边形是矩形，结合在中，，以及在中，，故，解得，则，即距离地面的高度． 【详解】解：∵四边形和均为矩形， ∴，， 延长，，记它们的交点为点，如图所示： ∵，， ∴ 即四边形是矩形， ∴， 设， 则 在中，， 即， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 则， 即距离地面的高度． 20. 如图，是斜边上的一点，与直角边分别相切于点，射线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求半径． 【答案】（1）证明： 连接、， ∵与直角边分别相切于点， ，， ， ，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，先证明，得到，即可证明平分； （2）设的半径为，则，先得到，，即可证明，得到，得出，根据，即可求出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 则半径为． 六、（本题满分12分） 21. 某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，并补全条形统计图． （2）由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． （3）结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 【答案】（1）48，补全条形统计图： （2） （3） 解：选择“与科技”， 理由：两个主题的平均分相同，“与科技”的中位数更高，整体评分水平更高， 因此选择“与科技”． 【解析】 【分析】（1）先运用“安全”人数除以占比，得出本次投票共48人参与，再列式计算得“与学习”的人数，再补齐条形统计图： （2）先理解题意，再分别求出“与科技”的平均数，中位数，以及“故事”的众数，即可作答． （3）利用平均数，以及中位数进行分析比较，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， 即本次投票共48人参与， ∴（人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：依题意，， 先把评分从小到大排序，得， ∴中位数位于第4位和第5位之间， 即（分）， 在故事的评分中，分出现的次数最多，即； 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 22. ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某A系列纸张． （1）求； （2）已知，点为边的中点． （ⅰ）如图2，将绕点旋转，使得点的对应点在线段的延长线上，点的对应点为点，求的面积； （ⅱ）如图3，与关于直线对称，求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由轴对称性质得：，， ∵是中点，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似图形的性质，锐角三角函数的应用． （1）设，则对折后纸张长宽分别为，再利用相似矩形的性质建立方程求解即可； （2）（ⅰ）过点作，垂足为．易得，，再由旋转的性质可得，，根据，求出，再根据三角形面积公式即可解答； （ⅱ）由轴对称性质得：，，进而可得，从而得出，再利用三角形内角和和轴对称性质可得，，进而得出，由此证明． 【小问1详解】 解：设，则对折后纸张长宽分别为． ∵对折前后的矩形相似， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 即． 【小问2详解】 （ⅰ）解：过点作，垂足为．如图2， ∵由（1）得，， ∴​， 在矩形中，，， ∴． ∴，， 由旋转性质可知，， 在中，． ∴ ∴ ∴ （ⅱ）略 八、（本题满分14分） 23. 如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． （1）求的值； （2）点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知解析式求出点的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）（ⅰ）连接，证明，得出，确定当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分，求出直线的解析式为，联立解析式求解即可； （ⅱ）求出直线的解析式，过点P作轴，交于点Q，设，则，，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点， 当时，， ∴， ∴， ∵位似比为， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点式为， 将代入得， ， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）如图所示， 由（1）得，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴当直线平分时，将四边形分为面积相等的两部分， 中点坐标为， 设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∵点在之间， ∴，此时， ∴； （ⅱ）设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点Q， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学情调研试卷 （数学） 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 从“大美经开”4个字中任选2个字，则选出“经、开”两字的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，若，则（） A. B. C. D. 8. 如图，，点分别在线段上，与交于点，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 25 10. 如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠ACD＝55°，则∠BAD的度数为 _____． 13. 如果不等式ax+b＞0的解集是x＞2，则不等式bx-a＜0的解集是_____________ 14. 如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点． （1）与的面积之和为______； （2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． （1）求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； （2）如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中所标字母的点都是格点．参考示例，借助无刻度直尺在给定的网格中完成（1）（2）作图． 示例：请在图1（a）中画出过点的直线，使． 作法解析：如图1（b），描出格点，连接，直线即为所作直线． （1）请在图2中画出射线，使； （2）请在图3中画出点关于直线的对称点（不需要写作法，保留作图痕迹） 18. 在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 各位上数字的和差 结论 1210 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 11是11的整数倍，3608能被11整除 ______ ______ －11是11的倍数，原数能被11整除 （1）根据以上规律，补齐表格中空白部分； （2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； （3）将千位、百位、十位、个位分别是的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为测量平台上一旗杆的顶端距离地面的高度，先用测角仪在地面处使点，点和测角仪所在点在一直线上，此时测得，，再将测角仪移到地面处，测得，，已知图中所有点都在同一竖直平面内，，四边形和均为矩形，，求距离地面的高度（结果精确到） 参考数据：，，；，，． 20. 如图，是斜边上的一点，与直角边分别相切于点，射线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求半径． 六、（本题满分12分） 21. 某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“ 与生活”“ 与学习”“ 安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题．投票结果的条形统计图与扇形统计图如图： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共______人参与，并补全条形统计图． （2）由于“与科技”“ 故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表为这两个主题评分，评分结果及汇总信息如下表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 求表中的数据：______，______，______． （3）结合上述信息，应该选择哪个活动主题，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某A系列纸张． （1）求； （2）已知，点为边的中点． （ⅰ）如图2，将绕点旋转，使得点的对应点在线段的延长线上，点的对应点为点，求的面积； （ⅱ）如图3，与关于直线对称，求证：． 八、（本题满分14分） 23. 如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． （1）求的值； （2）点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $