精品解析：宁夏银川市第二中学2025-2026学年第二学期高一月考一数学试题

银川二中2025-2026学年第二学期高一年级月考一 数学试题 命题：李海霞 审核：马丽欣 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2．答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 15 B. C. 2 D. 3 3. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 在四边形中，，，则四边形为（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 5. 在中，，，，则（   ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 为锐角三角形 11. 四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为___________． 13. 在位于A处的海绵观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原点等待营救，在A处南偏西且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则 14. 如图，在平面四边形中，的面积为，，，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）O为坐标原点，是否存在常数t，使得？ （2）设梯形，且，，求点D的坐标． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若，，，求A； （2）若，试判定的形状． 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2025-2026学年第二学期高一年级月考一 数学试题 命题：李海霞 审核：马丽欣 注意事项： 1．本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2．答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. 15 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以. 3. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 4. 在四边形中，，，则四边形为（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】将向量关系转化成边的关系即可. 【详解】在四边形中，因为， 所以且，所以四边形为平行四边形； 又，得，故四边形为菱形. 5. 在中，，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求解. 【详解】由余弦定理，, 故选：D 6. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】在中，为线段上靠近点的三等分点，则， 因为为线段上一点，设， 即，整理得 ， 又因为，、不共线， 所以，，解得. 故选：D. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：D. 8. 在中，已知，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若有两解，则，即可求出的取值范围 【详解】如图： ， 若该三角形有两解，则， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形有两解的条件，采用数形结合的方法，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项. 【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底. B选项，不平行，可以作为基底. C选项，，所以平行，不能作为基底. D选项，不平行，可以作为基底. 故选：AC 10. 在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 为锐角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】 已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积. 【详解】∵，∴， ∴， 即，∴． ∵在中，，∴，∴，A正确． 由余弦定理，得得， ，即， 解得或，又，∴，C错误， ∴的面积，B正确． 又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误． 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题. 11. 四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（ ） A. B. 当时，为中点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系, 因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知：向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】两向量夹角的坐标公式计算可得结果 【详解】两向量夹角的坐标公式为， 因为向量与的夹角为锐角，则， 所以. 故答案为： 13. 在位于A处的海绵观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原点等待营救，在A处南偏西且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则 【答案】 【解析】 【详解】在中，，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得 ，故答案为. 14. 如图，在平面四边形中，的面积为，，，则________，________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，从而求出，根据三角形的面积公式求出，在中，利用勾股定理即可求出. 【详解】在中，，， 由余弦定理可得， 解得, 由正弦定理：，即， 解得，所以， 由，所以， 因为的面积为， 所以，即， 所以. 故答案为：； 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）O为坐标原点，是否存在常数t，使得？ （2）设梯形，且，，求点D的坐标． 【答案】（1）不存在，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）将向量相等转化成向量的坐标对应相等，即可转化成方程是否有解的问题； （2）将的关系转化成的关系，利用坐标列方程求解即可. 【小问1详解】 由，，， 得， 从而， 由，得，即，无解 即不存在常数t，使得. 【小问2详解】 设D的坐标， 则，， ，，知， 从而，解得， 即D的坐标为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c． （1）若，，，求A； （2）若，试判定的形状． 【答案】（1） （2）直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出，再由余弦定理求； （2）根据余弦定理及条件化简即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理，，即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，即， 化简可得：， 所以为直角三角形，其中为直角. 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求t的值，并用向量方法证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）根据中线的性质及三点共线求证即可. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为， , ， . 【小问3详解】 ，证明如下： ， 因为三点共线， 所以，又， 所以， 所以，解得. 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【小问1详解】 在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. 【小问2详解】 是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. 【小问3详解】 依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $