精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率公式计算. 【详解】因为，， 所以离心率. 故选：C. 2. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 7 B. 14 C. 15 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和已知条件求出首项和公比，再利用前项和公式求解. 【详解】因为为等比数列， 所以，， 即，解得，， 所以， 所以. 3. 的展开式中含的项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为， 由题可知，，整理得， 解得舍去，所以. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意，令，可得，则， 所以切线的斜率， 所以在处的切线方程为，即. 5. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 6. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】五名学生自由选择三场比赛，再减去不符合条件的方案即可. 【详解】五名学生自由选择三场比赛：种； 若恰好有一场比赛无人观看，则有种， 若有两场比赛无人观看，则共种. 则不符合条件的方案共有种， 所以符合条件的方案有种. 7. 已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的下标性质、前n项和公式进行求解判断即可. 【详解】因为数列的前n项和有最大值， 所以该等差数列的公差，且该等差数列是递减数列， 由， 所以数列前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，有最大值且为正值， 又因为， ， 所以当时，取最小正值. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由余弦定理得到和向量夹角公式得到，让其相等，化简即可求出. 【详解】设，不妨设点在双曲线的右支上，则， 成等比数列，，即， 设，则，， 在中，由余弦定理得，， 又，则，， ，化简得， 把代入得， 又，，即， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排在一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型。之后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ​，A正确， 在B选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，B错误， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C正确， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从二项分布 B. C. D. 记这个球中白球的个数为，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误； 选项，， ，，​ 因此​，故正确。 选项，超几何分布期望公式​，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质，故错误； 选项，取出个球，因此（为白球个数）. 根据方差性质，得，故正确. 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 13. 有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由题意求出同时报名两个项目的人数，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】设事件A=“报名100米赛跑”，事件B=“报名200米赛跑”， 由题意得：40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑， 则同时报名两个项目的人数为：， 则 故，即某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为. 14. 已知函数，，对任意的，不等式，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的形式，构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值进行求解即可. 【详解】当，时，由， 令，即. 设， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以，即. 由， 设， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以， 要想恒成立，只需. 所以a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，其中，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解出和，进而得到数列的通项公式； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，再利用裂项相消法求出数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，， 所以，代入得，故， ，代入得解得， 所以，因此，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以，裂项得， 则， 所以， 因此，数列的前n项和为. 16. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 在中，，，则， 所以为直角三角形，且. 直三棱柱中，平面，平面，所以. 又，平面，，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理及线面垂直性质得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可得证. （2）设，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合二面角的向量求法列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，. 又平面，平面， 所以，即，，两两垂直. 以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，. 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以. 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，所以. 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，整理得， 解得或（舍去）,故的值为. 17. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 800 1000 1600 . 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式及加法公式求解即可. （2）判断可能的取值，分别求其概率，即可得到分布列，进而求出数学期望． 【小问1详解】 记这批产品通过检验为事件， 则. 【小问2详解】 当时，的取值为800；当时，的取值为1600；当时，的取值为1000， 所以的可能取值为800，1000，1600. ，， . 所以的分布列为： 800 1000 1600 数学期望为：. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值； （2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性； （3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围. 【小问1详解】 当时，. . 因为恒成立， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 函数.的定义域为. . 因为恒成立， 所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减； 若，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，即最小值，最小值为. 此时，当时，；当时，； 要使函数有两个零点，只需使，即. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 19. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及联立方程求解即可； （2）设的直线方程为：，，，联立直线与椭圆方程，由一元二次方程根与系数的关系及可利用向量数量积为0化简求出，据此可得三角形的面积，化简后换元利用均值不等式求最值即可. 【小问1详解】 由已知可得：，解得：，， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ∵， 设的直线方程为：，，， 联立方程：， 整理得：， ∴，， ∵，， ， 即， ， ， ， 整理得，解得或（舍去）， ∴， ， ∴， 令， 则， 由对勾函数单调性知，， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时最大值为. 【点睛】关键点点睛：由题意可设的直线方程为：，联立椭圆方程后由根与系数的关系及的向量表示化简运算求出是解题的第一个关键点，求出后知直线过定点，据此可选取恰当的表示三角形面积的方法是第二个关键点，表示出三角形面积后化简换元，利用均值不等式求最值是第三个关键点，对运算能力要求非常高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 7 B. 14 C. 15 D. 31 3. 的展开式中含的项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学有甲、乙、丙、丁、戊5名学生打算前往观看篮球，足球，乒乓球三场比赛，每人看一场比赛，每场比赛都有学生前往观看，则观赛方案种数有（ ） A. 100 B. 150 C. 180 D. 540 7. 已知等差数列，满足，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ） A. 4052 B. 4051 C. 4050 D. 4049 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A. 男、女各站在一起，共有24种排法 B. 男生不能排在一起，共有54种排法 C. 男生必须排在一起，共有48种排法 D. 男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从二项分布 B. C. D. 记这个球中白球的个数为，则 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，，则________. 13. 有40人报名100米赛跑，50人报名200米赛跑，60人报名100米或200米赛跑，若已知某人报100米赛跑，则其报200米赛跑的概率为________. 14. 已知函数，，对任意的，不等式，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，其中，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求的值. 17. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 19. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $