精品解析：河北省石家庄市长安区2026年初中毕业年级教学质量检测数学试卷

2026年初中毕业年级教学质量检测数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（ ） A. B. 5 C. 或4 D. 或3 3. 将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 4. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 6. 平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 7. 若与“（ ）”内的算式的和为，则“（ ）”内的算式是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，将一个质地均匀的正方体小木块随机投掷在水平桌面上，待滚动停止后，顶点和顶点同时与桌面接触的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 11. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（ ） A. 结论I正确，结论II错误 B. 结论I错误，结论II正确 C. 结论I正确，结论II正确 D. 结论I错误，结论II错误 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 14. 已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 16. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）当时，判断整式的结果是负数吗？请通过计算说明理由． 18. 如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． （1）求证：； （2）若，，求点，之间的距离． 19. 【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 20. 某校举办了“书香校园”读书节征文比赛，并将成绩从高到低的顺序依次分为A、B、C、D、E五个等级，该校随机抽取了名参赛学生的成绩，制作成条形统计图（图1）和扇形统计图（图2），但两幅统计图都受到一定程度的遮挡．根据已知信息，解答下列问题： （1）求的值，并计算等级在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数； （2）判断抽取的名学生成绩的中位数和众数分别落在哪个等级，并说明理由； （3）该校拟对比赛成绩优秀的同学进行奖励，具体方案如下： A等级的参赛学生颁发价值30元的图书1本； B等级的参赛学生颁发价值20元的文具套装1套； C等级的参赛学生颁发价值10元的笔记本1本； 其他参赛学生不颁发奖品，所有参赛学生颁发价格2元的定制纪念徽章一枚． 若参赛学生总数为300人，求本次比赛该校需要颁发的奖品及纪念徽章的总金额． 21. 【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． （1）尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． （2）求的度数与的长． 22. 四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 23. 如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 24. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． （1）当时，求与轴交点的坐标； （2）下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． （3）若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； （4）当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级教学质量检测数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题．每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点． 2. 如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（ ） A. B. 5 C. 或4 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 3. 将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图①、图②的三视图即可． 【详解】找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形， 可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同． 故选B． 【点睛】考查了简单组合几何体的三视图，解题关键是理解三视图的概念. 4. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和网格的特点画图求解即可． 【详解】解：如图所示， 即满足条件的点D的个数为2个． 5. 下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并规则和同底数幂的乘除运算法则，逐一计算各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：，结果不是，该项错误； 选项B：与不是同类项，不能合并，结果不等于，该项错误； 选项C：与不是同类项，不能合并，结果不等于，该项错误； 选项D：，结果等于，该项正确． 6. 平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 7. 若与“（ ）”内的算式的和为，则“（ ）”内的算式是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一个加数和另一个加数”列出算式，再化简即可得到结果． 【详解】解：设括号内的算式为， 由题意得， ． 8. 如图，将一个质地均匀的正方体小木块随机投掷在水平桌面上，待滚动停止后，顶点和顶点同时与桌面接触的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出总的情况数和顶点和顶点同时与桌面接触情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：质地均匀的正方体投掷停止后，只会有1个面朝下接触桌面，正方体共6个面，每个面朝下的概率相等，因此总共有6种等可能的结果， 顶点A和B是正方体同一条棱的两个端点，一条棱同时属于2个相邻的面，只有包含A、B的面朝下时，A和B才能同时接触桌面，因此符合条件的情况共2种， 故顶点和顶点同时与桌面接触的概率是． 9. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号，由此即可得到答案． 【详解】解：∵不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向， ∴在系数化为的过程中，不等式改变了方向， ∵不等式的解集为， ∴在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号， ∴四个选项中，只有选项符合题意． 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 11. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，判断出点在正比例函数上，根据图象即可判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有 5 个交点． 【详解】解：设， 则， 即点在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点． 12. 如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（ ） A. 结论I正确，结论II错误 B. 结论I错误，结论II正确 C. 结论I正确，结论II正确 D. 结论I错误，结论II错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的性质得到每个圆心角的度数为，结合题意得到，由切线的性质即可判定结论I；根据切线的性质，矩形、正方形的判定和性质得到则，再证明，由此列式求解即可． 【详解】解：内接正九边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是与的交点，则是的半径， ∴是的切线，即结论I正确； 若与相切于点，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，则， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的直径为，故结论II错误， 综上所述，结论I正确，结论II错误 ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 14. 已知一个关于的一元二次方程的两个根分别是和2，则这个关于的一元二次方程是__________． 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，即可构造出所求的一元二次方程． 【详解】设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系可得：，， 当二次项系数为时，一元二次方程的形式为， 即． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 【答案】9 【解析】 【分析】分别计算出当反比例函数经过点A，B，C时相应的k值，进而通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可得到反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小，进而即可求解． 【详解】解：当反比例函数经过点A时， 解得； 当反比例函数经过点B时， 解得； 当反比例函数经过点C时， 解得； 由题意得，，，， ∴, ∴是直角三角形， ∴反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小， ∴， ∴的整数值为，共9个． 16. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）当时，判断整式的结果是负数吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）不是负数，见解析 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、括号、绝对值，再计算乘法，最后合并即可． （2）先化简整式，再代入求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：不是负数． 理由： ， 当时，原式． 当，该整式的结果不是负数． 18. 如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． （1）求证：； （2）若，，求点，之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）点，之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 19. 【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【答案】（1）用1500元购进种机器人玩具数量为个，购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个 （2）至少购进A种机器人玩具40个 【解析】 【分析】（1）根据题意可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可求解； （2）设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意列出一元一次不等式，求出a的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列方程，得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个． 【小问2详解】 解：设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意，得， 解得， 答：至少购进A种机器人玩具40个． 20. 某校举办了“书香校园”读书节征文比赛，并将成绩从高到低的顺序依次分为A、B、C、D、E五个等级，该校随机抽取了名参赛学生的成绩，制作成条形统计图（图1）和扇形统计图（图2），但两幅统计图都受到一定程度的遮挡．根据已知信息，解答下列问题： （1）求的值，并计算等级在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数； （2）判断抽取的名学生成绩的中位数和众数分别落在哪个等级，并说明理由； （3）该校拟对比赛成绩优秀的同学进行奖励，具体方案如下： A等级的参赛学生颁发价值30元的图书1本； B等级的参赛学生颁发价值20元的文具套装1套； C等级的参赛学生颁发价值10元的笔记本1本； 其他参赛学生不颁发奖品，所有参赛学生颁发价格2元的定制纪念徽章一枚． 若参赛学生总数为300人，求本次比赛该校需要颁发的奖品及纪念徽章的总金额． 【答案】（1）， （2）中位数在等级，众数在等级，见解析 （3）总金额：2880元 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中A等级的人数及扇形统计图中A等级人数所占的百分比即可求得m的值；由条形统计图中E等级的人数及求得的总人数即可求得E等级所占的百分比，则可求得E等级在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数； （2）先求出B、C、D三个等级的人数，再根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据用样本估计总体估算出A、B、C三个等级的人数，则可求得需要颁发的奖品费用；再计算出颁发纪念徽章的费用，即可求得本次比赛该校需要颁发的奖品及纪念徽章的总金额． 【小问1详解】 解：人， 等级对应圆心角度数为． 【小问2详解】 解：A等级：4人， B等级：人， C等级：人， D等级：人， E等级：10人， 中位数是第25，26个数据的平均数， 第25，26个数据都在等级，所以中位数在等级． 等级人数最多，所以众数在等级． 【小问3详解】 解：A等级人数为：人， B等级人数为：人， C等级人数为：人， 奖品费用：元， 纪念徽章费用：元， 总金额：元． 21. 【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． （1）尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． （2）求的度数与的长． 【答案】（1） （2），的长为 【解析】 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答； 操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答； （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【小问1详解】 解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． 【小问2详解】 解：（1）如图所示，点M即为所求； （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 22. 四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 【答案】（1） （2）①410元；② （3）销售部门的业绩考核等级为合格 【解析】 【分析】（1）设，根据题意可知当时，，当时，，将其代入求解即可； （2）①结合表格进行计算即可；②将日场和夜场利润结和起来计算即可； （3）分别计算当时和当时的利润，进而判断即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，当时，，当时，， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：①由题意得，四月份草莓日场销售的日平均利润为 元； ②由题意得， ； 【小问3详解】 解：， 当时，随的增大而增大， 当时，； 当时，， ，即万元万元， 销售部门的业绩考核等级为合格． 23. 如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 【答案】（1） （2）弧的长度为：，弦的长度为 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）先对运用等面积法求解，然后求解的度数，即可求解，再由弧长公式求解弧；过点作于，证明，求出，，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）找到两个临界位置，即①当点O在点C左侧，且与相切时；②当点O在点C右侧，且与相切时，然后通过求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 点为中点， ． ， ． ． ， ． ，即， ． 【小问2详解】 解：当点与点重合时，为边的高， ，即：， ． ，， ， ， ． 弧的长度为：． 过点作于（如图）， ． ， ． ． ，即． ，． ． 在中，． 【小问3详解】 解：①当点O在点C左侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的左侧，且与无交点时，x的取值范围为：； ②当点O在点C右侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的右侧，且与无交点时，x的取值范围为：； 综上，当半圆与无交点时，x的取值范围是或． 24. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． （1）当时，求与轴交点的坐标； （2）下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． （3）若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； （4）当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2）甲正确，乙的说法不正确，见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由已知顶点、过，求得抛物线．时，为“好点”，故．令，解得，则可得到与轴的交点； （2）抛物线顶点，，故．令，得，由二次函数性质，，故轴交点有最高点，进而即可判断； （3）联立与，得交点，在内，故．抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧，随增大而减小，进而即可得解； （4）分两种情况：①与相切，联立方程得，解得；②过，代入得，仅时仅一个交点，进而即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当抛物线的顶点为时， 设的函数表达式为，其中． 又此时与轴的交点为， ， 解得． 当时，根据“好点”定义可得的顶点是， 则此时的函数表达式为． 当时，有， 解得． 与轴交点的坐标为或； 【小问2详解】 解：甲正确，乙的说法不正确，理由如下： ∵点和都是“好点”， ∴当顶点的横坐标为时，且为好点时， 其纵坐标为， ∴抛物线的顶点的坐标为． 设的函数表达式为， 当时， ， ，且当时，取得最大值2， 即抛物线与轴的交点有最高点． 【小问3详解】 解：由（2）得，顶点的坐标为， 设，，则可得顶点所在函数图象的表达式为． ， 解得， 则该直线与的交点为， 又与轴的交点为，抛物线的对称轴为． 点在内部（不含边界）， ． 对于上的点和点，有， ∴点和点均在的对称轴右侧的图象上． 抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象随的增大而减小， ； 【小问4详解】 解：由（2）得，的函数表达式为， 在线段中，当时，； 当时， 解得， ∴，， ①当与相切时，与线段只有一个公共点， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ②当经过点时，代入得 解得或． 当时，对称轴右侧的图象经过点，此时与线段有两个公共点； 当时，对称轴左侧的图象经过点，此时与线段只有一个公共点． 当时，与线段只有一个公共点． 综上所述，所求为或． 【点睛】本题以“好点”新定义为载体，融合二次函数解析式、最值、单调性、线段交点等核心考点，通过分类讨论、数形结合思想求解，全面考查二次函数的综合应用能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $