专题10.1 二元一次方程、二元一次方程组的概念（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级下册

本讲义聚焦二元一次方程与方程组的概念，系统梳理从定义（含两个未知数、项次数为1、整式方程）到解（方程的一组值、方程组的公共解），再到实际问题列方程组的完整知识脉络，搭建概念理解到应用的学习支架。 资料通过9类题型分层设计，例题与变式结合，如判断方程个数、求字母值等培养数学眼光的抽象能力，实际问题列方程组（如《九章算术》买酒问题）体现数学语言的模型意识，助力课中教学与课后学生查漏补缺，提升数学思维的推理能力。

专题10.1 二元一次方程、二元一次方程组的概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 判断二元一次方程的个数】 2 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 4 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 5 【题型4 二元一次方程的整数解】 7 【题型5 判断二元一次方程组的个数】 9 【题型6 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 11 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 12 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 15 【题型9 根据实际问题列二元一次方程（组）】 16 知识点1 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点2 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 知识点3 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点4 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点5 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【题型1 判断二元一次方程的个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①为二元一次方程； ②为二元二次方程； ③为二元二次方程； ④为分式方程； ⑤为三元一次方程； ⑥为代数式，不是方程； 故为二元一次方程的有①，有1个， 故选：A． 【变式1-1】下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义，是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的项的次数为1；③整式方程．逐一分析选项即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义得， A.该选项未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B. 该选项是二元一次方程，符合题意； C. 该选项有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D. 该选项只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、是二元二次方程，不符合题意； C、左边不是整式，不是二元一次方程，不符合题意； D、是二元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】下列方程： ； ； ； ； ．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 【详解】 是二元一次方程； 不是二元一次方程； 不是二元一次方程； 是二元一次方程； 不是二元一次方程， 综上可知：是是二元一次方程， 故选：． 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 【例2】若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义得出且求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴且，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】首先根据二元一次方程的定义，可求得m、n的值，再把m、n的值代入代数式求值即可． 【详解】解：关于x、y的方程是二元一次方程， ，n=1， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握和运用二元一次方程的定义是解决本题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义，方程中不能含有二次项，且未知数的系数不能为零，需满足二次项系数为0，同时一次项系数不为0，解方程并检验即可． 【详解】解：根据题意可得，， 或 ∵，即， ∴ 故选：B． 【变式2-3】）当m＝ 时，方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝5是二元一次方程． 【答案】2 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 【例3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知是方程的一个解，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入二元一次方程中得到关于a方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴，解得：． 故选B． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 把代入方程中即可求出的值，然后再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴． 故答案为：6． 【变式3-3】已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 【题型4 二元一次方程的整数解】 【例4】二元一次方程的正整数解有 组． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 【详解】解：二元一次方程的正整数解有，，共2组， 故答案为：2． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）写出二元一次方程的一组正整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．当时，，求得，即可求解． 【详解】解：当时， 解得： ∴二元一次方程的一组正整数解可以是：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知方程，则该方程的正整数解个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的应用等知识点，求得的可能取值为1， 2， 3， 4， 5成为解题的关键． 求方程的正整数解个数，需找到满足条件的正整数和即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵和均为正整数， ∴必须能被3整除且结果为正． ∴，解得：， ∴的可能取值为1， 2， 3， 4， 5． 当时，（非整数，舍去）； 当时，（非整数，舍去）；． 当时，（符合条件）； 当时，（非整数，舍去）； 当时，（非整数，舍去）． 综上，仅有一组正整数解． 故选A． 【变式4-3】如果将二元一次方程的一组正整数解写成的形式，并称为方程的一个正整数点，请写出方程剩下的正整数点 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点． 根据题意得出x，y的取值范围，以及x， y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程，即可求解． 【详解】由题意可得：，即，且x，y为整数， 解得：且x，y为整数， 则或2或3， 当时，， 当时，， 当时，， 那么方程的正整数点为，，． 则方程的剩余的正整数点为，． 【题型5 判断二元一次方程组的个数】 【例5】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程．据此判断即可． 【详解】解：A．方程与组成方程组，有三个未知数，不是二元一次方程组，选项A不符合题意； B．方程与组成方程组，未知数的项最高次数都应是两次，不是二元一次方程组，选项B不符合题意； C．方程与组成方程组，不是整式方程，不是二元一次方程组，选项C不符合题意； D．方程与组成方程组，是二元一次方程组，选项D符合题意； 故知：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组需满足两个条件：①共含两个未知数；②每个方程都是整式且未知数的次数为1， 根据二元一次方程组的定义，判断各选项中的方程组是否由两个二元一次方程组成． 【详解】解：选项A：，两个方程均为一次方程，含两个未知数，符合定义， 选项B：，两个方程均为一次方程，含两个未知数，符合定义， 选项C：，两个方程均为一次方程，含两个未知数，符合定义， 选项D：，第一个方程含二次项，次数为2，不符合一次方程要求． 故选：D． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（   ） A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”，即可得到答案． 【详解】解：方程组①，④中符合二元一次方程组的定义，符合题意． 方程组②属于二元二次方程组，不符合题意． 方程组③中的第一个方程不是整式方程，不符合题意． 综上，符合条件的是①和④， 故选：B． 【题型6 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 【例6】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ， ． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【变式6-2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 【变式6-3】若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ． 【答案】-2或-3 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：根据是关于，的二元一次方程组， 则，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 或，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 故填：-2或-3 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 【例7】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】在①，②，③三对数值中， 是方程x＋y＝3的解， 是方程3x＋2y＝5的解， 是方程组的解．(填序号) 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】适合方程组的每一个方程的未知数的值即为方程组的一个解,只需把三个解观察代入方程,即可判断． 【详解】解: (1)将①代入方程x＋y＝3左边得: ,右边=3,是方程x＋y＝3的解; 将②代入方程x＋y＝3左边得:,右边=3,所以②不是x＋y＝3的解;将③代入方程x＋y＝3左边得: ,右边=3,所以③是方程x＋y＝3的解;故答案为: ①③, (2)将①代入方程3x＋2y＝5左边得: ,右边=5,不是方程3x＋2y＝5的解; 将②代入方程3x＋2y＝5左边得:,右边=5,所以②是3x＋2y＝5的解;将③代入方程3x＋2y＝5左边得: ,右边=5,所以③是方程3x＋2y＝5的解;故答案为: ②③, (3)根据(1)(2)可得③是x＋y＝3的解,也是方程3x＋2y＝5的解,故答案为: ③. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解,解决本题的关键是要熟练掌握方程组的解的定义. 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）已知是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键． 把代入方程组即可得到和的值，从而得出计算结果． 【详解】解：把代入方程组得， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】若方程组的解为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 将代入，解得，代入，即可求解， 【详解】解：将代入，得 ， 解得：， ∴ 故答案为：6． 【变式8-2】已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【题型9 根据实际问题列二元一次方程（组）】 【例9】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗， 依题意得：， 故选：A． 【变式9-1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，读懂题意，根据提议找出等量关系列出方程是解本题的关键． 根据题目中的送件数、揽件数和总报酬，建立二元一次方程即可． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，现做这两种纸盒，两种纸板恰好用完，如果设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个，则可列出的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 根据仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，由此列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个， 由图可知，一个竖式的无盖纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板， 那么个竖式的无盖纸盒需要个长方形纸板和个正方形纸板， 一个横式的无盖纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板， 那么个横式的无盖纸盒需要个长方形纸板和个正方形纸板， 又∵仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板， ∴． 故选：A ． 【变式9-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）科学研究表明：树叶经过光合作用产生的分泌物可以吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片梧桐树叶一年的平均滞尘量比1片杨树叶一年的平均滞尘量的1.5倍多2毫克，4片梧桐树叶与5片杨树叶一年的平均滞尘量共为208毫克．设1片梧桐树叶一年的平均滞尘量为毫克，1片杨树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程组；根据题目中的关系准确列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设1片梧桐树叶一年的平均滞尘量为毫克，1片杨树叶一年的平均滞尘量为毫克； 依据题意， ； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 二元一次方程、二元一次方程组的概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 【题型1 判断二元一次方程的个数】 2 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 2 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 3 【题型4 二元一次方程的整数解】 3 【题型5 判断二元一次方程组的个数】 3 【题型6 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 4 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 4 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 5 【题型9 根据实际问题列二元一次方程（组）】 5 知识点1 二元一次方程的定义 1. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 2. 二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）所含未知数的项的次数为1；（3）方程是整式方程． 注意：“含有未知数的项的次数是1”不可理解为两个未知数的次数都是1．例如5xy＋3＝0中含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项“5xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程． 知识点2 二元一次方程的解 1. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 2. 在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解．但是如果对未知数加以条件限制，一般有有限个解． 知识点3 二元一次方程组的定义 1. 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 2. 判断一个方程组是否为二元一次方程组的关键 （1）判断方程组中的方程是否都是整式方程； （2）判断方程组中是否只含有两个未知数； （3）判断方程组中含有未知数的项的次数是否为1． 同时满足以上三点的方程组为二元一次方程组，否则不是二元一次方程组． 知识点4 二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 2. 代入法判断一组数是否为二元一次方程（组）的解 一组未知数的值二元一次方程（组）二元一次方程（组）的一个解． 知识点5 根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的步骤 （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量； （3）列方程组：利用这些代数式列出反映两个等量关系的方程． 【题型1 判断二元一次方程的个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程： ； ； ； ； ．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 【例2】若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式2-1】若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【变式2-3】）当m＝ 时，方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝5是二元一次方程． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 【例3】（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知是方程的一个解，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）若是方程的一个解，则代数式的值为 ． 【变式3-3】已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【题型4 二元一次方程的整数解】 【例4】二元一次方程的正整数解有 组． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）写出二元一次方程的一组正整数解： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知方程，则该方程的正整数解个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】如果将二元一次方程的一组正整数解写成的形式，并称为方程的一个正整数点，请写出方程剩下的正整数点 ． 【题型5 判断二元一次方程组的个数】 【例5】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（   ） A．①③ B．①④ C．①② D．只有① 【题型6 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 【例6】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是关于的二元一次方程组，则 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【变式6-2】若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【变式6-3】若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ． 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 【例7】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【变式7-3】在①，②，③三对数值中， 是方程x＋y＝3的解， 是方程3x＋2y＝5的解， 是方程组的解．(填序号) 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）已知是方程组的解，则 ． 【变式8-1】若方程组的解为，则 ． 【变式8-2】已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【题型9 根据实际问题列二元一次方程（组）】 【例9】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元，设送件报酬为元/件，揽件报酬为元/件，根据题意，可列方程： ． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，现做这两种纸盒，两种纸板恰好用完，如果设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个，则可列出的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）科学研究表明：树叶经过光合作用产生的分泌物可以吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片梧桐树叶一年的平均滞尘量比1片杨树叶一年的平均滞尘量的1.5倍多2毫克，4片梧桐树叶与5片杨树叶一年的平均滞尘量共为208毫克．设1片梧桐树叶一年的平均滞尘量为毫克，1片杨树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $