专题9.3 旋转（6大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义系统梳理初中数学“旋转”核心知识点，涵盖旋转的定义、三要素、性质，中心对称与中心对称图形的区别联系，旋转及中心对称作图步骤，以及与平移、轴对称的对比，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过分层题型设计（基础识别、培优计算、压轴探究），结合生活实例（如“向右转”角度判断）培养数学眼光，对比表格和动态旋转问题发展数学思维，作图步骤与网格题训练数学语言表达，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题9.3 旋转 知识点1：旋转的相关概念 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角，三者缺一不可。 3.旋转的对应关系：旋转后图形上的每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度，原图形的点与旋转后图形的点为对应点，原图形的线段与旋转后图形的线段为对应线段，原图形的角与旋转后图形的角为对应角。 4.旋转对称图形：一个图形绕着某一定点旋转一定角度（大于0°且小于等于180°）后能与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，该角度为其旋转角。 知识点2：旋转的基本性质 1.旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等。 2.对应点到旋转中心的距离相等（如点、为对应点，旋转中心为，则）。 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（如为旋转角）。 4.旋转过程中，图形的形状、大小不变，仅位置发生改变。 知识点3：中心对称与中心对称图形 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后重合的点为对称点。 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点为其对称中心。 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 对比维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称特征 对称中心 两个图形之间的一个定点 图形自身的一个定点 核心联系 ①把成中心对称的两个图形看成一个整体，就是中心对称图形； ②把中心对称图形绕对称中心旋转，分成的两个图形关于该点中心对称 4.中心对称的特殊性质：成中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 知识点4：旋转的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的顶点、四边形的端点）； 2.连：将每个关键点与旋转中心相连； 3.转：按指定的旋转方向和旋转角，将连接的线段绕旋转中心旋转，得到各关键点的对应点； 4.连：按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到旋转后的图形； 5.验：检验对应点到旋转中心的距离是否相等、对应角是否等于旋转角。 知识点5：中心对称的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点； 2.连：将每个关键点与对称中心相连，并延长该线段； 3.截：在延长线上截取与原线段等长的部分，得到各关键点的对称点（即旋转后的对应点）； 4.连：依次连接各对称点，得到中心对称的图形。 知识点6：三种图形变换的对比（表格呈现） 变换类型 平移 轴对称 旋转（含中心对称） 运动方式 沿直线移动一定距离 沿直线折叠重合 绕定点转动一定角度 不变量 形状、大小、方向 形状、大小 形状、大小 变量 位置 位置、方向 位置、方向 对称特征 - 关于某条直线对称 关于某点中心对称（旋转） 对应点连线 平行（或共线）且相等 被对称轴垂直平分 绕旋转中心旋转等于旋转角，中心对称时经过对称中心且被平分 【基础必考题型】 【题型1】旋转现象与旋转对称图形的识别 1.核心知识点 旋转的定义；旋转对称图形的特征；生活中旋转现象的判断。 2.解题方法技巧 特征判断法：旋转是“绕定点转一定角度”，区别于平移（沿直线移）、轴对称（折叠）； 旋转对称检验：想象图形绕某点旋转一定角度（0°<α≤180°），判断是否与自身重合； 生活场景区分：如车轮转动、风车旋转是旋转，拉开抽屉是平移，对折纸张是轴对称。 【例题1】.（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【答案】90 【分析】本题考查旋转的基本概念．结合生活实际理解“向右转”这一旋转动作的旋转角度即可． 【详解】解：在体育课上，“向右转”的动作是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：90． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东济南·期末）临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 【题型2】旋转三要素的确定与判断 1.核心知识点 旋转中心、旋转方向、旋转角的定义；旋转的对应关系。 2.解题方法技巧 找旋转中心：找图形旋转过程中不动的定点，或对应点连线的垂直平分线的交点； 定旋转方向：根据图形旋转的轨迹判断顺时针或逆时针； 求旋转角：找一组对应点与旋转中心的连线夹角，或对应线段的夹角。 【例题2】.（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·周测）如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转____________次得到的，每次旋转的角度为____________． 【答案】 五 【分析】本题考查了图形旋转的性质知识点，掌握旋转次数与基本图案个数的关系以及周角等分的计算方法是解题的关键． 先观察图形确定基本图案的个数，旋转次数等于基本图案个数减1，每次旋转的角度等于周角除以基本图案个数． 【详解】解：∵该图形是由“基本图案”绕着点旋转构成的复合图形 ∴观察图形可知，该复合图形共由6个全等的“基本图案”组成 ∴旋转的次数为次 ∵这6个基本图案均匀分布在以点为中心的圆周上 ∴每次旋转的角度为 ． 故答案为：五； ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【题型3】中心对称图形的识别与判断 1.核心知识点 中心对称图形的定义；常见图形的中心对称特征。 2.解题方法技巧 180°旋转检验法：将图形绕某点旋转，判断是否与自身重合； 熟记常见图形：线段、平行四边形、正方形、圆、正六边形是中心对称图形；一般三角形、等腰梯形不是； 双重对称判断：区分“仅中心对称”“仅轴对称”“既是中心对称又是轴对称”的图形。 【例题3】.（2026·山东日照·一模）年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 【答案】B 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形同时也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：不是轴对称图形也不是中心对称图形； 【变式题3-1】.（2026·山东济南·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·江西南昌·月考）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念可知，B选项为中心对称图形． 【变式题3-3】.（2026·内蒙古赤峰·一模）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意． 【题型4】网格中的简单旋转作图（旋转90°/180°） 1.核心知识点 旋转的作图步骤；网格中关键点的旋转方法。 2.解题方法技巧 定关键点：优先选择图形的顶点、线段端点作为关键点，网格中格点更易定位； 网格旋转法：绕格点旋转90°/180°时，利用网格的横竖线、对角线，数格子确定对应点位置； 顺次连接：按原图形顺序连接对应点，确保图形形状不变。 【例题4】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为 (1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； (2)以点C为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； (3)若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 【答案】(1)作图详见解析； (2)作图详见解析； (3)作图详见解析，旋转角度为 【分析】（1）分别作出点A，B，C，的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形； （2）分别作出点A，B，C顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可作出图形； （3）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求，然后再根据旋转的性质以及网格图可知旋转角度为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求， 则绕点D顺时针旋转得到， ∴旋转角度为． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； (2)连接与，线段与之间的关系是 ，扫过的面积为 ； (3)画出绕点旋转之后得到的． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等，； (3)见解析 【分析】（1）分别画出各点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）由平移的性质可得线段与之间的关系，扫过的面积是四边形与三角形的面积之和； （3）分别画出各点旋转后的对应点，再顺次连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由平移可得：线段与之间的关系是平行且相等， 扫过的面积为， 故答案为：平行且相等，； （3）解：如图，即为所求． 【变式题4-2】.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出将绕点逆时针旋转后对应的； (2)在轴上求作一点，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）根据旋转的定义解题即可； （2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短，即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 作图步骤：①作点关于轴的对称点； ②连接，交轴于点； 则此时最小． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律． （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点； （2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点． 【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点， 关于原点对称的点． 顺次连接，得到，即为所求（见下图）． （2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点， 旋转后的对应点． 顺次连接，得到，即为所求（见上图）． 【培优高频题型】 【题型5】旋转性质的基础应用（求线段、角度） 1.核心知识点 旋转的基本性质；对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等。 2.解题方法技巧 找对应关系：先确定旋转中心、对应点、对应线段和对应角，标注已知条件； 等量代换：利用“对应线段相等、对应角相等”将未知量转化为已知量； 简单计算：结合线段和差、角度和差求解，如旋转角=已知角±对应角。 【例题5】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，，则的长为(   ) A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据，即可求解． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到， ，， ． 【变式题5-1】.（2026九年级·吉林·专题练习）如图，要使直线，则（     ） A．直线绕点逆时针旋转 B．直线绕点逆时针旋转 C．直线绕点顺时针旋转 D．直线绕点顺时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和图形的旋转，掌握同位角相等是两直线平行的核心条件是解题的关键． 先求出直线与直线的夹角，再计算它与直线和夹角的差值，根据角度差判断旋转方向和角度． 【详解】解：如图： 直线与直线的夹角为，其邻角为： 直线与直线的夹角为，两者角度差为：  要使， 将直线绕点逆时针旋转，使它与的夹角变为，与相等 与是同位角，同位角相等，两直线平行． 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质和旋转的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；（3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，，把一块含角（）的三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与的顶点重合，平分，平分，设（本题中的角均为大于且小于的角，） (1)如图 1，当重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)当三角板绕点旋转至如图位置时，探究的大小是否改变，若有改变，请求出（用含的式子表示）；若没有改变，请求出的度数； (3)在三角板绕点旋转过程中，是否存在，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)存在；或 【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的性质计算即可； （3）分两种情况讨论：①，②，分别画出图形，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1），平分， ， ，平分， ， ； （2）的大小不变， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ； （3）时，如图所示， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 解得， 时，如图所示， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 解得， 或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用，掌握数形结合思想、分类讨论思想是解题的关键． 【题型6】中心对称的性质应用与作图 1.核心知识点 中心对称的性质；中心对称的作图步骤；对称点的特征。 2.解题方法技巧 活用中心对称性质：对称点连线经过对称中心且被平分，可求线段中点、对称点坐标； 网格中心对称作图：连关键点与对称中心，延长并截取等长线段得到对称点； 面积转化：中心对称的两个图形面积相等，过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分。 【例题6】.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 【压轴素养题型】 【题型7】旋转与坐标/网格的综合计算 1.核心知识点 旋转的性质；网格中线段长度、角度的计算；中心对称的坐标特征。 2.解题方法技巧 网格距离计算：利用网格的边长，结合勾股定理求对应点到旋转中心的距离； 坐标中心对称：点关于原点中心对称的点为，关于点对称的点为； 角度计算：网格中利用直角、格点连线的夹角，结合旋转角的定义求解。 【例题7】.（22-23八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先确定A、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；点的坐标为 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了中心对称变换． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点的坐标，然后顺次连接即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作；点的坐标为． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为，则四边形的面积为________； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)见解析，21 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的作图，以及等腰梯形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可，再由等腰梯形的面积公式求解即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1， 四边形的面积为； 故答案为：21； （2）解：如图2， 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【题型8】旋转的探究性问题 1.核心知识点 旋转的性质；旋转对称图形的新定义；多次旋转的规律探索。 2.解题方法技巧 多次旋转规律：找出每次旋转的角度、距离规律，用代数式表示第次旋转后的位置； 新定义结合：紧扣“旋转对称角”“等差角”等新定义，结合旋转性质建立方程求解； 分类讨论：未明确旋转方向、旋转角范围时，分顺时针/逆时针、不同角度区间讨论。 【例题8】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）；（2）的度数不发生变化，见解析；（3）或 【分析】（1）先利用两角的差求得，再用角平分线的意义分别求得，，从而可利用两角的和求得； （2）利用角平分线的意义分别得出，，从而可利用两角的和求得，以此说明的度数不会发生变化； （3）根据射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，分在的外部、在的内部两种情况讨论，分别画出图形，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：的度数不发生变化． 理由：∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴的度数不会发生变化，始终为； （3）解：射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过， 分两种情况： ①如图1，当在的外部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②如图2，当在的内部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则________； 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当________秒时，边落在边上． ②当平分时，________秒． 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）；（2）①3，②；（3）秒或秒 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形，角的计算，角平分线，掌握角平分线的定义及旋转时间的计算是解决本题的关键． （1）利用角的和及平角可得结论； （2）①②先计算旋转角，再利用“角的度数旋转速度旋转时间”可得结论； （3）利用“角的度数旋转速度旋转时间”，分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）①边旋转落在边上时，如图： ∴其旋转角， ∵的旋转速度为每秒， ∴（秒）； ②作平分， ∵， ∴， ∴， 当旋转到时，旋转了． ∵的旋转速度为每秒， ∴（秒）； 故答案为：①3，②； （3）由（1）知两个三角尺旋转前， 设各三角尺都旋转了秒，此时边旋转了，边旋转了． ①当边与边相遇前，可得， 解得； ②当边与边相遇后，可得． 解得， ∴为秒或秒时， 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 易错点 1.混淆旋转的三要素，误将“旋转中心”找成线段或直线，或判断错旋转方向（顺时针/逆时针）； 2.判定中心对称图形时，误将“旋转重合”当作中心对称，忽略中心对称需旋转； 3.旋转作图时，未将关键点与旋转中心相连，直接平移关键点，导致旋转后的图形位置错误； 4.利用旋转性质求旋转角时，找错对应点与旋转中心的连线夹角，误将对应线段的夹角当作旋转角； 5.混淆“旋转对称图形”与“中心对称图形”，中心对称图形是旋转角为的特殊旋转对称图形； 6.尺规作旋转图形时，未作等角或等线段，导致对应点到旋转中心的距离不相等； 7.中心对称作图时，仅连接关键点与对称中心，未延长线段截取等长部分，得到的不是对称点。 重点 1.理解旋转的定义，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角），能准确识别生活中的旋转现象和旋转对称图形； 2.熟记旋转的基本性质，能利用“全等、对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”求解线段、角度； 3.区分中心对称和中心对称图形，掌握中心对称的性质，能准确识别常见的中心对称图形； 4.掌握网格/尺规下的旋转和中心对称作图步骤，能准确画出旋转/中心对称后的图形； 5.理解平移、轴对称、旋转三种图形变换的区别与联系，能结合性质进行简单的综合应用。 难点 1.旋转性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换、勾股定理，解决复杂的线段、角度计算问题； 2.旋转作图的尺规操作，能根据非网格、非特殊角度的要求，用尺规作旋转后的图形； 3.旋转与动点、最值结合的动态问题，能利用分类讨论思想、代数式表示，求解线段最值和角度关系； 4.三种图形变换的综合应用，能分步完成平移、轴对称、旋转的综合作图，并结合性质进行计算； 5.旋转的探究性和新定义问题，能紧扣新定义，结合旋转性质建立方程，分情况讨论求解； 6.将实际生活问题（如反弹、图案设计、数字旋转）抽象为旋转几何问题，利用旋转性质建模求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 3．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合，不是轴对称图形，但是中心对称图形．故错误； B、不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合，不满足中心对称图形的定义．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合，不满足中心对称图形的定义．故错误． 故选C． 二、填空题 4．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 【答案】72 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， ∴最小旋转角为． 5．如图，将绕点顺时针旋转得（点、分别对应点、），若，则旋转角为______度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了旋转的性质，几何图形中角的计算，先根据，求出，根据旋转得出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， 即旋转角为． 故答案为：60． 6．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角． 观察图①可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数；图②中是把图①作为基本图形，分析可知旋转角就是，结合图①得到的度数，据此解答． 【详解】解：根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， 即绕点逆时针旋转后能够与重合． 根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ∴将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转可得到图②． 故答案为：、． 三、解答题 7．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 8．如图，将图形A绕点O顺时针旋转得到B图形，再把图形B向右平移3格得到图形C．画出图形B，C． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，根据旋转的性质即可将图形A绕点O顺时针旋转，得到图形B；根据平移的性质即可将图形B再向右平移3格，得到图形C． 【详解】解：如图，图形B，C即为所求． 9．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 10．如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的和与差． (1)当秒时，根据射线和的运动方向和运动速度，可得，把代入计算即可； (2)根据角平分线的定义可知当是的角平分线时，可得：，解方程即可求出的值； (3)若∠，应分和相遇前和和相遇后两种情况求解． 【详解】（1）解：射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍， 射线的旋转速度为每秒， ； （2）解：当是的角平分线时， 可得：， ，， ， 解得：； （3）解：当或时，， 理由如下： 当和相遇前时， 可得：， 解得：； 当和相遇后时， 可得：， 解得：； 综上所述，当或时，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 旋转 知识点1：旋转的相关概念 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角，三者缺一不可。 3.旋转的对应关系：旋转后图形上的每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度，原图形的点与旋转后图形的点为对应点，原图形的线段与旋转后图形的线段为对应线段，原图形的角与旋转后图形的角为对应角。 4.旋转对称图形：一个图形绕着某一定点旋转一定角度（大于0°且小于等于180°）后能与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，该角度为其旋转角。 知识点2：旋转的基本性质 1.旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等。 2.对应点到旋转中心的距离相等（如点、为对应点，旋转中心为，则）。 3.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（如为旋转角）。 4.旋转过程中，图形的形状、大小不变，仅位置发生改变。 知识点3：中心对称与中心对称图形 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后重合的点为对称点。 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点为其对称中心。 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 对比维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称特征 对称中心 两个图形之间的一个定点 图形自身的一个定点 核心联系 ①把成中心对称的两个图形看成一个整体，就是中心对称图形； ②把中心对称图形绕对称中心旋转，分成的两个图形关于该点中心对称 4.中心对称的特殊性质：成中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 知识点4：旋转的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的顶点、四边形的端点）； 2.连：将每个关键点与旋转中心相连； 3.转：按指定的旋转方向和旋转角，将连接的线段绕旋转中心旋转，得到各关键点的对应点； 4.连：按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到旋转后的图形； 5.验：检验对应点到旋转中心的距离是否相等、对应角是否等于旋转角。 知识点5：中心对称的作图步骤 1.找：找出原图形的关键点； 2.连：将每个关键点与对称中心相连，并延长该线段； 3.截：在延长线上截取与原线段等长的部分，得到各关键点的对称点（即旋转后的对应点）； 4.连：依次连接各对称点，得到中心对称的图形。 知识点6：三种图形变换的对比（表格呈现） 变换类型 平移 轴对称 旋转（含中心对称） 运动方式 沿直线移动一定距离 沿直线折叠重合 绕定点转动一定角度 不变量 形状、大小、方向 形状、大小 形状、大小 变量 位置 位置、方向 位置、方向 对称特征 - 关于某条直线对称 关于某点中心对称（旋转） 对应点连线 平行（或共线）且相等 被对称轴垂直平分 绕旋转中心旋转等于旋转角，中心对称时经过对称中心且被平分 【基础必考题型】 【题型1】旋转现象与旋转对称图形的识别 1.核心知识点 旋转的定义；旋转对称图形的特征；生活中旋转现象的判断。 2.解题方法技巧 特征判断法：旋转是“绕定点转一定角度”，区别于平移（沿直线移）、轴对称（折叠）； 旋转对称检验：想象图形绕某点旋转一定角度（0°<α≤180°），判断是否与自身重合； 生活场景区分：如车轮转动、风车旋转是旋转，拉开抽屉是平移，对折纸张是轴对称。 【例题1】.（25-26九年级上·广东汕头·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转_________度． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山东济南·期末）临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】旋转三要素的确定与判断 1.核心知识点 旋转中心、旋转方向、旋转角的定义；旋转的对应关系。 2.解题方法技巧 找旋转中心：找图形旋转过程中不动的定点，或对应点连线的垂直平分线的交点； 定旋转方向：根据图形旋转的轨迹判断顺时针或逆时针； 求旋转角：找一组对应点与旋转中心的连线夹角，或对应线段的夹角。 【例题2】.（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·周测）如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转____________次得到的，每次旋转的角度为____________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【题型3】中心对称图形的识别与判断 1.核心知识点 中心对称图形的定义；常见图形的中心对称特征。 2.解题方法技巧 180°旋转检验法：将图形绕某点旋转，判断是否与自身重合； 熟记常见图形：线段、平行四边形、正方形、圆、正六边形是中心对称图形；一般三角形、等腰梯形不是； 双重对称判断：区分“仅中心对称”“仅轴对称”“既是中心对称又是轴对称”的图形。 【例题3】.（2026·山东日照·一模）年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 【变式题3-1】.（2026·山东济南·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·江西南昌·月考）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·内蒙古赤峰·一模）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【题型4】网格中的简单旋转作图（旋转90°/180°） 1.核心知识点 旋转的作图步骤；网格中关键点的旋转方法。 2.解题方法技巧 定关键点：优先选择图形的顶点、线段端点作为关键点，网格中格点更易定位； 网格旋转法：绕格点旋转90°/180°时，利用网格的横竖线、对角线，数格子确定对应点位置； 顺次连接：按原图形顺序连接对应点，确保图形形状不变。 【例题4】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为 (1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； (2)以点C为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； (3)若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； (2)连接与，线段与之间的关系是 ，扫过的面积为 ； (3)画出绕点旋转之后得到的． 【变式题4-2】.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出将绕点逆时针旋转后对应的； (2)在轴上求作一点，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题4-3】.（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【培优高频题型】 【题型5】旋转性质的基础应用（求线段、角度） 1.核心知识点 旋转的基本性质；对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等。 2.解题方法技巧 找对应关系：先确定旋转中心、对应点、对应线段和对应角，标注已知条件； 等量代换：利用“对应线段相等、对应角相等”将未知量转化为已知量； 简单计算：结合线段和差、角度和差求解，如旋转角=已知角±对应角。 【例题5】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，，则的长为(   ) A．8 B．10 C．12 D．16 【变式题5-1】.（2026九年级·吉林·专题练习）如图，要使直线，则（     ） A．直线绕点逆时针旋转 B．直线绕点逆时针旋转 C．直线绕点顺时针旋转 D．直线绕点顺时针旋转 【变式题5-2】.（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【变式题5-3】.（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图，，把一块含角（）的三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与的顶点重合，平分，平分，设（本题中的角均为大于且小于的角，） (1)如图 1，当重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)当三角板绕点旋转至如图位置时，探究的大小是否改变，若有改变，请求出（用含的式子表示）；若没有改变，请求出的度数； (3)在三角板绕点旋转过程中，是否存在，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【题型6】中心对称的性质应用与作图 1.核心知识点 中心对称的性质；中心对称的作图步骤；对称点的特征。 2.解题方法技巧 活用中心对称性质：对称点连线经过对称中心且被平分，可求线段中点、对称点坐标； 网格中心对称作图：连关键点与对称中心，延长并截取等长线段得到对称点； 面积转化：中心对称的两个图形面积相等，过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分。 【例题6】.（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【变式题6-1】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【压轴素养题型】 【题型7】旋转与坐标/网格的综合计算 1.核心知识点 旋转的性质；网格中线段长度、角度的计算；中心对称的坐标特征。 2.解题方法技巧 网格距离计算：利用网格的边长，结合勾股定理求对应点到旋转中心的距离； 坐标中心对称：点关于原点中心对称的点为，关于点对称的点为； 角度计算：网格中利用直角、格点连线的夹角，结合旋转角的定义求解。 【例题7】.（22-23八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为，则四边形的面积为________； (2)作关于点的中心对称图形． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【题型8】旋转的探究性问题 1.核心知识点 旋转的性质；旋转对称图形的新定义；多次旋转的规律探索。 2.解题方法技巧 多次旋转规律：找出每次旋转的角度、距离规律，用代数式表示第次旋转后的位置； 新定义结合：紧扣“旋转对称角”“等差角”等新定义，结合旋转性质建立方程求解； 分类讨论：未明确旋转方向、旋转角范围时，分顺时针/逆时针、不同角度区间讨论。 【例题8】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【变式题8-1】.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则________； 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当________秒时，边落在边上． ②当平分时，________秒． 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【变式题8-2】.（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 易错点 1.混淆旋转的三要素，误将“旋转中心”找成线段或直线，或判断错旋转方向（顺时针/逆时针）； 2.判定中心对称图形时，误将“旋转重合”当作中心对称，忽略中心对称需旋转； 3.旋转作图时，未将关键点与旋转中心相连，直接平移关键点，导致旋转后的图形位置错误； 4.利用旋转性质求旋转角时，找错对应点与旋转中心的连线夹角，误将对应线段的夹角当作旋转角； 5.混淆“旋转对称图形”与“中心对称图形”，中心对称图形是旋转角为的特殊旋转对称图形； 6.尺规作旋转图形时，未作等角或等线段，导致对应点到旋转中心的距离不相等； 7.中心对称作图时，仅连接关键点与对称中心，未延长线段截取等长部分，得到的不是对称点。 重点 1.理解旋转的定义，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角），能准确识别生活中的旋转现象和旋转对称图形； 2.熟记旋转的基本性质，能利用“全等、对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”求解线段、角度； 3.区分中心对称和中心对称图形，掌握中心对称的性质，能准确识别常见的中心对称图形； 4.掌握网格/尺规下的旋转和中心对称作图步骤，能准确画出旋转/中心对称后的图形； 5.理解平移、轴对称、旋转三种图形变换的区别与联系，能结合性质进行简单的综合应用。 难点 1.旋转性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换、勾股定理，解决复杂的线段、角度计算问题； 2.旋转作图的尺规操作，能根据非网格、非特殊角度的要求，用尺规作旋转后的图形； 3.旋转与动点、最值结合的动态问题，能利用分类讨论思想、代数式表示，求解线段最值和角度关系； 4.三种图形变换的综合应用，能分步完成平移、轴对称、旋转的综合作图，并结合性质进行计算； 5.旋转的探究性和新定义问题，能紧扣新定义，结合旋转性质建立方程，分情况讨论求解； 6.将实际生活问题（如反弹、图案设计、数字旋转）抽象为旋转几何问题，利用旋转性质建模求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．等边三角形 二、填空题 4．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 5．如图，将绕点顺时针旋转得（点、分别对应点、），若，则旋转角为______度． 6．如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 三、解答题 7．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 8．如图，将图形A绕点O顺时针旋转得到B图形，再把图形B向右平移3格得到图形C．画出图形B，C． 9．数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 10．如图1，点是直线上一点．将射线绕点顺时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点逆时针旋转，转速为转速的倍，得到射线，设旋转时间为秒（）． (1)如图1，当秒时，求的度数； (2)如图2，当是的角平分线时，求的值； (3)是否存在的值，使得∠？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $