专题9.2 轴对称（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦“轴对称”核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的定义及区别联系，轴对称性质（全等、对称点连线被对称轴垂直平分），线段垂直平分线的性质与判定，轴对称作图（对称图形、垂直平分线、角平分线）及实际应用（最短路径、镜面对称），构建从概念到性质、作图再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养）与易错点重点梳理，通过剪纸、盲盒图案等生活实例培养数学眼光，尺规作图与性质应用训练数学思维，规范解题步骤提升数学语言能力。课中辅助分层教学，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺。

专题9.2 轴对称 知识点1：轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：在平面内，将一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点。 3.两者的区别与联系（表格呈现）： 对比维度 两个图形成轴对称 轴对称图形 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称特征 对称轴数量 只有一条 至少有一条（可多条） 对称轴位置 在两个图形之间 过图形自身的某条直线 核心联系 ①把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形； ②把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于该直线成轴对称 知识点2：轴对称的基本性质 1.成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）全等，对应线段相等，对应角相等。 2.连接任意一对对称点的线段，都被对称轴垂直平分（对称轴是对称点连线的垂直平分线）。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.对称轴上的任意一点，到一对对称点的距离相等。 知识点3：线段的垂直平分线 1.定义：过线段的中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 3.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4.线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，线段有两条对称轴（自身垂直平分线、所在直线）。 知识点4：轴对称的作图 类型1：作一个图形关于某直线的对称图形 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的顶点、四边形的端点、线段的端点）； 2.作：过每个关键点作对称轴的垂线，并截取相等的距离，得到各关键点的对称点； 3.连：按原图形的连接顺序，依次连接各对称点，得到对称图形； 4.验：检验对应点连线是否被对称轴垂直平分，确保作图准确。 类型2：作线段的垂直平分线（尺规作图） 1.分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径作弧，两弧分别在线段两侧相交于两点； 2.连接这两个交点，所得直线即为线段的垂直平分线。 类型3：作角的对称轴（角平分线，尺规作图） 1.以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 2.分别以这两个交点为圆心，以大于两点间距离一半为半径作弧，两弧在角内部相交于一点； 3.连接角的顶点与该交点，所得射线即为角的平分线（角的对称轴）。 知识点5：轴对称的实际应用 1.利用轴对称的性质解决最短路径问题：通过作某点关于直线的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间，线段最短”求解； 2.利用轴对称进行图案设计：以基本图形为基础，沿对称轴作对称图形，拼接成美观、对称的图案； 3.镜面对称：镜子中的像与实物关于镜面成轴对称，像与实物左右相反、上下一致。 【基础必考题型】 【题型1】轴对称图形的识别与判断 1.核心知识点 轴对称图形的定义；常见几何图形、生活图形的对称特征。 2.解题方法技巧 折叠检验法：想象将图形沿某条直线折叠，判断直线两旁部分是否完全重合； 特征排除法：排除无对称直线、折叠后部分重叠或错位的图形； 熟记常见图形：线段、角、等腰三角形、正方形、圆等是轴对称图形；平行四边形、一般梯形、一般三角形不是轴对称图形。 【例题1】.（2026·江西吉安·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不是轴对称图形， 选项C，该图形沿着中间横直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）剪纸是我国历史悠久的传统民间艺术之一，它不仅是非物质文化遗产，还蕴含着丰富的文化内涵．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解： A． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B． 是轴对称图形，故本选项符合题意； C． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【变式题1-2】.（2026·山东聊城·一模）青州博物馆推出青博寻宝记考古盲盒，下列“微缩版藏品”的平面图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知，C选项对应的图形为轴对称图形． 【变式题1-3】.（2026·云南临沧·一模）下面四种化学仪器的示意图不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A.原图是轴对称图形，不符合要求； B.原图不是轴对称图形，符合要求； C.原图是轴对称图形，不符合要求； D.原图是轴对称图形，不符合要求． 【题型2】判断两个图形是否成轴对称 1.核心知识点 两个图形成轴对称的定义；对称点、对称轴的识别。 2.解题方法技巧 找对称点法：在两个图形中找对应点，判断是否存在一条直线，使所有对应点连线被该直线垂直平分； 折叠验证法：将一个图形沿某直线折叠，判断是否能与另一个图形完全重合； 注意区分：成轴对称的两个图形是“形状、大小相同，位置关于直线对称”，与平移后的图形相区分。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【变式题2-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【题型3】确定轴对称图形的对称轴数量与位置 1.核心知识点 轴对称图形的对称轴定义；常见图形的对称轴特征。 2.解题方法技巧 几何特征法：根据图形特征找对称轴（如正方形的对角线、对边中点连线；圆的任意直径所在直线）； 折叠尝试法：通过不同方向折叠，找出所有能使图形重合的直线； 网格辅助法：网格中利用格点、网格线，找垂直或水平/斜向的对称直线，数准对称轴数量。 【例题3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·全国·期末）如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的定义，沿对称轴折叠后能重合的两个图形是轴对称图形，熟练掌握相关知识是解题关键，根据轴对称的定义，找出对称轴即可判断 【详解】解：如图的5个图形都是轴对称图形， 图中所示为对称轴， 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，熟练掌握画对称轴的方法是解题的关键； 分别分析两个图形的特点找出对称轴即可． 【详解】解：如图所示． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 【题型4】轴对称性质的基础应用 1.核心知识点 轴对称的基本性质；对应线段相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 找对应关系：先确定对称点、对应线段、对应角，标注已知条件； 等量代换：利用“对应线段相等、对应角相等”将未知量转化为已知量； 简单计算：结合线段和差、角度和差进行基础求解，无需复杂推理。 【例题4】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 【题型5】网格中的简单轴对称作图 1.核心知识点 轴对称的作图步骤；网格中关键点的对称点作法。 2.解题方法技巧 定关键点：优先选择图形的顶点、线段端点作为关键点（数量少、易定位）； 网格作对称点：在网格中，过关键点作对称轴的垂线，数格子截取等距得到对称点； 顺次连接：按原图形的连接顺序连接对称点，确保图形形状不变。 【例题5】.（25-26七年级下·江苏南通·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)10 【分析】（1）根据题意，点A平移到点D位置，平移规律是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可得到平移图形； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据线段平移，网格求图形面积的方法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：从到，线段扫过的面积为． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)正确； (3)见解析 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，周长最短问题，线段垂直平分线的性质等，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）连接，利用网格即可确定m； （2）根据轴对称图形的性质及两点之间线段最短即可判断； （3）根据题意作线段AC的垂直平分线交m于点O，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）如图所示，淇淇的作法正确； （3）如图所示：点O即为所求． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）先找到点B关于y轴的对称点，再连接，则与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求， （2）解：如图2所示，作点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点D即为所求． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 【培优高频题型】 【题型6】利用线段垂直平分线性质求解 1.核心知识点 线段垂直平分线的定义与性质；轴对称与垂直平分线的关系。 2.解题方法技巧 找垂直平分线：根据轴对称性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，确定垂直平分线位置； 活用性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，实现线段的等量转化（如）； 结合周长：利用垂直平分线性质将三角形周长中的线段进行替换，简化周长计算。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，然后在中利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 在中，， ， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接辅助线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而得到；再用定理证明，得到、；结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后计算出的度数． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西新余·月考）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为，．连接，交于点，连接．则的周长为（    ） A．17 B．18 C．25 D．30 【答案】B 【分析】利用勾股定理可得的长，然后根据题意可得是的垂直平分线，进而可得，进而可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 【答案】/35度 【分析】由作图可知是的垂直平分线，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ，， ， ∴． 【题型7】尺规作图综合 1.核心知识点 轴对称的尺规作图步骤；线段垂直平分线、角平分线的尺规作图方法。 2.解题方法技巧 牢记作图步骤：尺规作图无刻度，只能用圆规截取、直尺连线，保留作图痕迹（弧、线）； 确定作图半径：作垂直平分线/角平分线时，圆规半径需“大于线段/两点间距离的一半”，确保两弧相交； 多步作图分步完成：先作基础图形（如垂直平分线），再结合要求作对称图形，分步验证。 【例题7】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：，求作：，使得点D、E在线段上（均不与点B、C重合），且，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图的相关知识．解题的关键在于利用尺规作图的基本方法，先以A为圆心，长为半径画弧，与相交得到点E，再作出于D，即，从而确定． 【详解】解：如图所示，即为所求 即为所求 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 【答案】图见详解 【分析】明确点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点． 【详解】解：点P到A、C两点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 点P到、的距离相等， 点在的角平分线上， 点是线段的垂直平分线与的角平分线的交点， 如图即为所求， 【变式题7-3】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，．尺规作图作出正方形，点在上，点分别在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的平分线交于点，作的垂直平分线分别交、于点、，连接、，四边形是正方形． 【详解】解：如下图所示， 作的平分线交于点， 作的垂直平分线分别交、于点、， 连接、， 根据线段的垂直平分线的性质可得：，， 是的平分线， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形． 【题型8】镜面对称的实际问题 1.核心知识点 轴对称的性质；镜面对称的特征（左右相反、上下一致）。 2.解题方法技巧 数字/字母镜面对称：将数字/字母沿竖直直线翻折，得到实际数字/字母（如镜子中“51”实际为“15”）； 时钟镜面对称：实际时间=12:00-镜子中显示时间（如镜子中3:00，实际为9:00）； 实物镜面对称：作实物关于镜面的对称图形，确定像的位置与形状。 【例题8】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称中的最短路径问题 1.核心知识点 轴对称的性质；“两点之间，线段最短”的基本事实。 2.解题方法技巧 单直线最短路径：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求点，此时路径最短； 实际场景建模：将河流、公路等抽象为直线，将起点、终点抽象为点，转化为单直线最短路径问题； 验证最短：利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证所作路径为最短。 【例题9】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换和两点之间线段最短的性质，解题的关键是掌握作图以及运用的原理． 【详解】解：如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，点C即为所求泵站的位置，体现的数学原理是“两点之间，线段最短”， 故选：A． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，菜地在水渠的同侧，现要在上找一点，分别沿，铺地下水管向菜地引入水源，使得铺设水管的长度最短（即最短），请在图中找出点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，作点B关于l的对称点，则，因此与直线l的交点即为所求． 【详解】解：如图，作点B关于l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 【变式题9-3】.（24-25七年级下·福建漳州·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 易错点 1.混淆“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”，误将一个图形的对称特征归为两个图形的对称关系； 2.判定轴对称图形时，漏数对称轴数量（如正方形有4条对称轴，易误数为2条）； 3.尺规作图时，未按要求选取半径（如作垂直平分线时半径小于线段一半，导致两弧不相交），或未保留作图痕迹； 4.利用轴对称求最短路径时，未作对称点，直接连接两点与直线的交点，导致路径不是最短； 5.镜面对称问题中，混淆“左右相反”和“上下相反”，时钟镜面对称时未用“12:00减镜像时间”计算； 6.图形折叠问题中，未找准折叠后的对应点、对应角，导致线段和角度计算错误； 7.误认为“对称轴是一条线段”，实际对称轴是直线，作图时未向两端延长。 重点 1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的定义，能准确识别并区分两者，熟记常见图形的对称特征； 2.掌握轴对称的基本性质，能利用“对应线段相等、对应角相等、对称点连线被对称轴垂直平分”求解线段和角度； 3.掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图方法，能在网格/平面中作出一个图形的轴对称图形； 4.理解线段垂直平分线的性质，能利用其进行线段的等量转化和周长计算； 5.能将实际场景（如最短路径、镜面对称、反弹问题）抽象为轴对称几何问题，利用轴对称性质解决。 难点 1.轴对称性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换，解决复杂的线段、角度计算问题； 2.尺规作图的规范操作，能根据不同要求（作对称图形、垂直平分线、角平分线）完成多步尺规作图，并保留痕迹； 3.轴对称中的最短路径问题，能熟练掌握“作对称点→连线段→找交点”的解题思路，解决实际场景中的最短路径问题； 4.轴对称与动点、折叠结合的动态问题，能利用分类讨论思想、代数式表示，求解线段最值和角度关系； 5.探究性、新定义类轴对称问题，能紧扣新定义，结合轴对称性质建立方程，分情况讨论求解； 6.利用轴对称进行图案设计和补形，能根据现有图形特征，找准对称轴，设计/补出符合要求的轴对称图形。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 2．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 3．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 二、填空题 4．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 5．如图，在长方形纸片中，，将和对折，使边，均落在上，得到折痕，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，可得，，再根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵将和对折，使边，均落在上，得到折痕，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 6．如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿EF折叠，交于点G，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为__________． 【答案】 【分析】先由平行线的性质得到，则，再根据折叠的性质，得到图②中，用求解即可． 【详解】解：∵图（1）中的纸带是长方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 由折叠的性质得：图（2）中， ∴． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，平移作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． （2）根据平移的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示． 8．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 9．如图，在中，，请用尺规作图法，求作，使与关于所在的直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称的性质作图即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，即为所求. 10．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】 我们在《图形的初步认识》中学习了角的平分线，可以用折纸的方法作角平分线． 探究仿照下图，通过折纸作角平分线． 如图的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时与重合，所以，射线QM是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，点，分别是长方形纸片的对边，上的点，连接，将和分别对折，使点，都分别落在上的和处，点落在处，分别得折痕，，则的度数是___________． 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．若，求的度数； 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）根据、 、即可求解； （3）结合（2）的推理过程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 轴对称 知识点1：轴对称图形与两个图形成轴对称 1.轴对称图形：在平面内，将一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2.两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点。 3.两者的区别与联系（表格呈现）： 对比维度 两个图形成轴对称 轴对称图形 研究对象 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称特征 对称轴数量 只有一条 至少有一条（可多条） 对称轴位置 在两个图形之间 过图形自身的某条直线 核心联系 ①把成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形； ②把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于该直线成轴对称 知识点2：轴对称的基本性质 1.成轴对称的两个图形（或轴对称图形的两部分）全等，对应线段相等，对应角相等。 2.连接任意一对对称点的线段，都被对称轴垂直平分（对称轴是对称点连线的垂直平分线）。 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.对称轴上的任意一点，到一对对称点的距离相等。 知识点3：线段的垂直平分线 1.定义：过线段的中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 3.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4.线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，线段有两条对称轴（自身垂直平分线、所在直线）。 知识点4：轴对称的作图 类型1：作一个图形关于某直线的对称图形 1.找：找出原图形的关键点（如三角形的顶点、四边形的端点、线段的端点）； 2.作：过每个关键点作对称轴的垂线，并截取相等的距离，得到各关键点的对称点； 3.连：按原图形的连接顺序，依次连接各对称点，得到对称图形； 4.验：检验对应点连线是否被对称轴垂直平分，确保作图准确。 类型2：作线段的垂直平分线（尺规作图） 1.分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径作弧，两弧分别在线段两侧相交于两点； 2.连接这两个交点，所得直线即为线段的垂直平分线。 类型3：作角的对称轴（角平分线，尺规作图） 1.以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于两点； 2.分别以这两个交点为圆心，以大于两点间距离一半为半径作弧，两弧在角内部相交于一点； 3.连接角的顶点与该交点，所得射线即为角的平分线（角的对称轴）。 知识点5：轴对称的实际应用 1.利用轴对称的性质解决最短路径问题：通过作某点关于直线的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间，线段最短”求解； 2.利用轴对称进行图案设计：以基本图形为基础，沿对称轴作对称图形，拼接成美观、对称的图案； 3.镜面对称：镜子中的像与实物关于镜面成轴对称，像与实物左右相反、上下一致。 【基础必考题型】 【题型1】轴对称图形的识别与判断 1.核心知识点 轴对称图形的定义；常见几何图形、生活图形的对称特征。 2.解题方法技巧 折叠检验法：想象将图形沿某条直线折叠，判断直线两旁部分是否完全重合； 特征排除法：排除无对称直线、折叠后部分重叠或错位的图形； 熟记常见图形：线段、角、等腰三角形、正方形、圆等是轴对称图形；平行四边形、一般梯形、一般三角形不是轴对称图形。 【例题1】.（2026·江西吉安·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆·月考）剪纸是我国历史悠久的传统民间艺术之一，它不仅是非物质文化遗产，还蕴含着丰富的文化内涵．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·山东聊城·一模）青州博物馆推出青博寻宝记考古盲盒，下列“微缩版藏品”的平面图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·云南临沧·一模）下面四种化学仪器的示意图不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】判断两个图形是否成轴对称 1.核心知识点 两个图形成轴对称的定义；对称点、对称轴的识别。 2.解题方法技巧 找对称点法：在两个图形中找对应点，判断是否存在一条直线，使所有对应点连线被该直线垂直平分； 折叠验证法：将一个图形沿某直线折叠，判断是否能与另一个图形完全重合； 注意区分：成轴对称的两个图形是“形状、大小相同，位置关于直线对称”，与平移后的图形相区分。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】确定轴对称图形的对称轴数量与位置 1.核心知识点 轴对称图形的对称轴定义；常见图形的对称轴特征。 2.解题方法技巧 几何特征法：根据图形特征找对称轴（如正方形的对角线、对边中点连线；圆的任意直径所在直线）； 折叠尝试法：通过不同方向折叠，找出所有能使图形重合的直线； 网格辅助法：网格中利用格点、网格线，找垂直或水平/斜向的对称直线，数准对称轴数量。 【例题3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·全国·期末）如图，这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？并作出其对称轴． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）分别画出下列各个图形的对称轴（不写画法）． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【题型4】轴对称性质的基础应用 1.核心知识点 轴对称的基本性质；对应线段相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 找对应关系：先确定对称点、对应线段、对应角，标注已知条件； 等量代换：利用“对应线段相等、对应角相等”将未知量转化为已知量； 简单计算：结合线段和差、角度和差进行基础求解，无需复杂推理。 【例题4】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【题型5】网格中的简单轴对称作图 1.核心知识点 轴对称的作图步骤；网格中关键点的对称点作法。 2.解题方法技巧 定关键点：优先选择图形的顶点、线段端点作为关键点（数量少、易定位）； 网格作对称点：在网格中，过关键点作对称轴的垂线，数格子截取等距得到对称点； 顺次连接：按原图形的连接顺序连接对称点，确保图形形状不变。 【例题5】.（25-26七年级下·江苏南通·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式题5-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【培优高频题型】 【题型6】利用线段垂直平分线性质求解 1.核心知识点 线段垂直平分线的定义与性质；轴对称与垂直平分线的关系。 2.解题方法技巧 找垂直平分线：根据轴对称性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，确定垂直平分线位置； 活用性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，实现线段的等量转化（如）； 结合周长：利用垂直平分线性质将三角形周长中的线段进行替换，简化周长计算。 【例题6】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西新余·月考）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为，．连接，交于点，连接．则的周长为（    ） A．17 B．18 C．25 D．30 【变式题6-3】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 【题型7】尺规作图综合 1.核心知识点 轴对称的尺规作图步骤；线段垂直平分线、角平分线的尺规作图方法。 2.解题方法技巧 牢记作图步骤：尺规作图无刻度，只能用圆规截取、直尺连线，保留作图痕迹（弧、线）； 确定作图半径：作垂直平分线/角平分线时，圆规半径需“大于线段/两点间距离的一半”，确保两弧相交； 多步作图分步完成：先作基础图形（如垂直平分线），再结合要求作对称图形，分步验证。 【例题7】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：，求作：，使得点D、E在线段上（均不与点B、C重合），且，． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的垂直平分线； (2)作的角平分线，交于点． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东青岛·月考）已知：中，求作一点P，使得点P到A、C两点的距离相等，并且到、的距离相等． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，．尺规作图作出正方形，点在上，点分别在上．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型8】镜面对称的实际问题 1.核心知识点 轴对称的性质；镜面对称的特征（左右相反、上下一致）。 2.解题方法技巧 数字/字母镜面对称：将数字/字母沿竖直直线翻折，得到实际数字/字母（如镜子中“51”实际为“15”）； 时钟镜面对称：实际时间=12:00-镜子中显示时间（如镜子中3:00，实际为9:00）； 实物镜面对称：作实物关于镜面的对称图形，确定像的位置与形状。 【例题8】.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型9】轴对称中的最短路径问题 1.核心知识点 轴对称的性质；“两点之间，线段最短”的基本事实。 2.解题方法技巧 单直线最短路径：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求点，此时路径最短； 实际场景建模：将河流、公路等抽象为直线，将起点、终点抽象为点，转化为单直线最短路径问题； 验证最短：利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证所作路径为最短。 【例题9】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 【变式题9-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，菜地在水渠的同侧，现要在上找一点，分别沿，铺地下水管向菜地引入水源，使得铺设水管的长度最短（即最短），请在图中找出点的位置． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·福建漳州·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 易错点 1.混淆“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”，误将一个图形的对称特征归为两个图形的对称关系； 2.判定轴对称图形时，漏数对称轴数量（如正方形有4条对称轴，易误数为2条）； 3.尺规作图时，未按要求选取半径（如作垂直平分线时半径小于线段一半，导致两弧不相交），或未保留作图痕迹； 4.利用轴对称求最短路径时，未作对称点，直接连接两点与直线的交点，导致路径不是最短； 5.镜面对称问题中，混淆“左右相反”和“上下相反”，时钟镜面对称时未用“12:00减镜像时间”计算； 6.图形折叠问题中，未找准折叠后的对应点、对应角，导致线段和角度计算错误； 7.误认为“对称轴是一条线段”，实际对称轴是直线，作图时未向两端延长。 重点 1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的定义，能准确识别并区分两者，熟记常见图形的对称特征； 2.掌握轴对称的基本性质，能利用“对应线段相等、对应角相等、对称点连线被对称轴垂直平分”求解线段和角度； 3.掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图方法，能在网格/平面中作出一个图形的轴对称图形； 4.理解线段垂直平分线的性质，能利用其进行线段的等量转化和周长计算； 5.能将实际场景（如最短路径、镜面对称、反弹问题）抽象为轴对称几何问题，利用轴对称性质解决。 难点 1.轴对称性质的灵活应用，能结合线段和差、角度等量代换，解决复杂的线段、角度计算问题； 2.尺规作图的规范操作，能根据不同要求（作对称图形、垂直平分线、角平分线）完成多步尺规作图，并保留痕迹； 3.轴对称中的最短路径问题，能熟练掌握“作对称点→连线段→找交点”的解题思路，解决实际场景中的最短路径问题； 4.轴对称与动点、折叠结合的动态问题，能利用分类讨论思想、代数式表示，求解线段最值和角度关系； 5.探究性、新定义类轴对称问题，能紧扣新定义，结合轴对称性质建立方程，分情况讨论求解； 6.利用轴对称进行图案设计和补形，能根据现有图形特征，找准对称轴，设计/补出符合要求的轴对称图形。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 5．如图，在长方形纸片中，，将和对折，使边，均落在上，得到折痕，，则的度数为_________． 6．如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿EF折叠，交于点G，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为__________． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 8．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 9．如图，在中，，请用尺规作图法，求作，使与关于所在的直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 10．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】 我们在《图形的初步认识》中学习了角的平分线，可以用折纸的方法作角平分线． 探究仿照下图，通过折纸作角平分线． 如图的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时与重合，所以，射线QM是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1，点，分别是长方形纸片的对边，上的点，连接，将和分别对折，使点，都分别落在上的和处，点落在处，分别得折痕，，则的度数是___________． 【类比再探】 （2）如图2，将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．若，求的度数； 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点，，分别落在点处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $