精品解析：上海市金山区2025-2026学年第二学期质量监控高三数学试卷

2025学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 不等式的解集为__________． 2. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 3. 将化成有理数指数幂的形式为___________． 4. 设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______. 5. 已知角为第四象限角，且，则__________． 6. 已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 7. 已知随机变量的分布为，则期望__________． 8. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 10. 已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 11. 已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 12. 申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 16. 已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 （1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01） （2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01） （3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率． 绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67 18. 已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 19. 已知函数，其中． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 20. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； （3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 21. 若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以原不等式的解集为. 2. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】由复数为纯虚数， 则，解得. 3. 将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： 4. 设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，，若是的充分条件，，则. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 已知角为第四象限角，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，，，， 为第四象限角，，. 6. 已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可． 【详解】不妨取， 所以，等差数列公差， 等差数列通项，则， 则该数列的第20项为． 7. 已知随机变量的分布为，则期望__________． 【答案】2 【解析】 【详解】由，解得， 所以. 8. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【解析】 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 10. 已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 11. 已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 12. 申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能. 【答案】 【解析】 【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为； 当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高， 比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm， 此时杯中不溢出的最大水量为 ， 所以杯中最多装的水. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【解析】 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 14. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 16. 已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解. 【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为. 中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数; 中任一元素满足事件，有以下三种情况， 且；所以所含基本事件个数为， 事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个， 所以. 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据： 数据 1 2 3 4 5 6 温度（） 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05 压强（） 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758 （1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01） （2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01） （3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率． 绝对零度（） 275.13 274.56 274.28 273.57 272.45 271.67 【答案】（1）℃, （2）℃ （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均值、方差的定义计算即可得解； （2）求出，代入回归方程求出，令，即可求解； （3）根据古典概型求解即可. 【小问1详解】 （）， . 【小问2详解】 ， 将，即代入， 解得，所以回归方程为， 令，解得（）， 预估该次实验下绝对零度的数值为. 【小问3详解】 因为，， ，， ，， 所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1， 所以 18. 已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【小问1详解】 因为长方形中，，折叠过程中，， 又平面，平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面，平面，故⊥， 因为，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 19. 已知函数，其中． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【小问1详解】 由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 20. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． （1）若，求点的坐标； （2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； （3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； （3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可. 【小问1详解】 由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. 【小问3详解】 设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 21. 若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． （1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； （2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； （3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）2； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【小问1详解】 由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； 【小问2详解】 由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为； 【小问3详解】 由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $