精品解析：北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷

顺义区2026年高三统一测试试卷 数学 2026.3 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数是，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 5. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 7. 已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______. 12. 已知，则________；________. 13. 已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 14. 设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. （1）设中点为，求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 17. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. （1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； （2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； （3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 18. 在三角形中，角所对的边长分别为，，. （1）求； （2）若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 21. 已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. （1）已知：，求，的值； （2）若为奇数，且，求证：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义区2026年高三统一测试试卷 数学 2026.3 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以 2. 已知复数的共轭复数是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，得到，利用复数的除法运算法则求出，进而求出复数即可. 【详解】由于，得， 则， 故选：A. 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 4. 若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线：，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 5. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过充分条件与必要条件求解. 【详解】对于任意，都有可以推出的值域是或其子集，故充分性不成立， 若的值域是，可以推出对于任意，都有，故必要性成立， 因此“对于任意，都有”是“值域为”的必要不充分条件. 6. 已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，，即， 由，，成等比数列，得，即， 得，所以. 7. 已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而. 又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 从而. 8. 已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 9. 一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据声压级的定义公式，结合对数的运算性质，分别对三个结论进行分析判断. 【详解】根据声压级定义，可得. 对于①：，①正确； 对于②：,②正确； 对于③：因为，可得， 因为实际声压降低到原来的，可得 所以，则声压级减少约为，③正确 10. 已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将平方后换元，通过数量积的计算公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解. 【详解】将平方得， 令，则，， 设与的夹角为，，当时，，与条件矛盾，， ，分子分母同时除以，， 令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，，， 所以当与的夹角最大时，. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 12. 已知，则________；________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】的展开式的通项是， 令，得，则， 令，得，则， 令，得，则， ∴，． 13. 已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，得到，取的中点，得到，且，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为直线与圆交于两点，且圆弧的长恰为圆周长的， 如图所示，可得，即为等腰直角三角形， 取的中点，连接，可得， 因为，可得，即圆心到直线的距离为， 所以，解得或. 14. 设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 ①. ，（任意符合的结果都正确） ②. 【解析】 【详解】利用辅助角公式化简得：， 由正弦函数的对称轴满足，令： ， 取，得一条对称轴为，（任意符合的结果都正确）； 再由正弦函数的单调递增区间满足， 令：  ， 整理得的单调递增区间为， 因为区间关于原点对称，只有时的递增区间包含原点， 要满足，得，因此的最大值为. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式可判断①正确，由空间直角坐标系面面垂直定理可判断②错误，由余弦定理判断③正确，由立体几何证明可判断④正确. 【详解】对于①：三棱锥的底面积为， 所以三棱锥的体积，为定值；结论①正确. 对于②：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，因为，， 设平面的法向量为，则， 取得； 因为，，平面的法向量为， 则，取得； 因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得， 判别式，无实根， 所以不存在点，使得平面平面，结论②错误； 对于③：计算三边长度的平方，， ， ， 所以，所以中最大， 因为， 所以最大角为锐角，因此为锐角三角形，结论③正确； 对于④：记，连接， 平面，平面，所以， 所以点到的中点距离等于，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论④错误. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. （1）设中点为，求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. 【小问2详解】 过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 17. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. （1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； （2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； （3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分别计算总情况数和满足题意的情况数，据此可得概率； （2）由题设可得可为，据此可得分布列及期望； （3）设两地分别有地面积为，由题可得与表达式，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； 【小问2详解】 分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； 【小问3详解】 设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 18. 在三角形中，角所对的边长分别为，，. （1）求； （2）若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件①②, ②③,可得，选择①③，不合题意 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，可求解； （2）利用余弦定理建立方程组可求解边长，最后可求面积. 【小问1详解】 由，将代入得： ， 根据正弦定理，可得，即 已知，代入得： ， 在中，，约去，得， 又因为，所以； 【小问2详解】 选择条件①、②来作解答： 已知，，在上，，， 故， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 代入已知条件得：， 由上两式消整理可得， ， 若，代入上式可得，此时判别式小于0，该方程无解； 若，代入上式可得， 解得正根， 代入：， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 选择条件①、③来作解答： 已知，在上，，，， 在中，由正弦定理可得：， 当为锐角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时， 当为钝角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为锐角，则满足，即， 故，此时， 则此时三角形为等边三角形， 故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答； 选择条件②、③来作解答： 已知，在上，，，， 过点作，垂足为，因为，所以， 由点在上，可知为锐角，则， 又由，，在直角三角形中，可解得：， 再由，可得， 再由，可得，即， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 19. 已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在满足条件的点，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质得到，再利用椭圆中的关系，就能求出，进而得到椭圆的方程； （2）先设出点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，求出直线的方程，令就能得到点的坐标，求出直线的方程，然后分别求出直线和直线的斜率，若两直线平行则斜率相等，可求出点的坐标，将其与椭圆方程联立，据此建立方程，判断方程是否有解. 【小问1详解】 由椭圆性质，左右顶点距离，得； 焦距，得； 由椭圆关系， 因此椭圆的方程为：； 【小问2详解】 不存在满足条件的点， 理由如下：由题意得，设， 中点坐标为，直线的斜率方程为，令得， 直线的斜率方程为， 若，则，而，故， 将代入化简得：， 因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：， 此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【小问1详解】 由求导得， 依题意，，解得 【小问2详解】 因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 21. 已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. （1）已知：，求，的值； （2）若为奇数，且，求证：； （3）求证：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，分别计算和时数列的各项，进而求出和的值. （2）通过以及数列的定义，通过递推关系和绝对值的性质，证明. （3）利用三角不等式和绝对值不等式进行放缩去证明. 【小问1详解】 已知：，. 当时，，，. ，. . 当时，，，，. . . 【小问2详解】 ，记（其中为常数且，，，），则对任意的，有. （且）. ，不妨记的有项，则的有项. ，. 又为奇数，，故仅当时等式成立. 当时，对所有成立，递推可得： ，即. 又，当时，则，结合，得. 当时，，则，进而可得. 综上，，证毕. 【小问3详解】 当时，且. 记，，故存在. 不妨设（循环数列，可平移下标），即，记，. 对任意，，由三角不等式： . 同理可得：. 对任意，. 故. 当为偶数时，. . 当为奇数时，. . 由可得. 即，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $