20.2 勾股定理的逆定理及其应用课时提优练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础提优题 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为ab,c,下列条件中，不能判定 △ABC为直角三角形的是() A.a:b:c=5:12:13 B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.a=9kb=40kc=41k(k>0) D.a=3,b=42,c=52 2.若△ABC的三边长ab,c满足 (a-b)2+V2a-b-3+c-32=0,则△ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形 3.2025西安雁塔区月考]如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正 方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,M,N均在格点上，点A,B,C,D中能与点 M,N构成一个直角三角形的是() A.点A B.点BC.点C D.点D (第3题) 4.[2025扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾 股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现 了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5； ②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；··根据上述规律，写出第⑤组勾 股数为 5.如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,以点A为圆心，AC长为半 径画弧，交AB于点D,BD=2,则∠ACB= (第5题) 6.如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得 CD=3m,AD=4m,BC=12m,AB=13m,其中∠ACB=90°. (I)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积. 综合应用题 7.如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为 6,8,10,12,则面积最大的三角形是() 6 A 6 8 8 B 6 10 12 D 8.新考法等线段代换法如图，在△ABC中，AB=6，AC=10, BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积为() A.30 B.24 C.20 D.48 C D (第8题) 9.如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点.线 段AB,CD的端点均在格点上，且交于点O,则∠BOD的度数为( D (第9题) A.30° B.45° C.50° D.60° 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股 数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数ab,c,其中ab均 小于c,a=支2-，c=m2+,m是大于1的奇数，则b=(用 含m的式子表示) 11.如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5,且周长为 36cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1qm/s的速度移动； 点Q从点B开始沿BC边向点C以2as的速度移动，如果同时出 发，则3s时，△BPQ的面积为 cm2. B 12.[2025淄博期末](1)如图①，P是等边三角形ABC内一点， PA=6,PB=8,PC=10.若P是△ABC外的一点，且 △PAB兰△PAC,求PP的长度及∠APB的度数； (2)如图②，Q是等边三角形ABC内一点，QA=5,QB=12, AQB=150°，求CQ的长 ① ② 创新拓展题 13.2025泉州期末]小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段 构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长” (1)如图①，已知线段AB=12,小明在线段AB上取点M和N,使得 AM=AB,MN=青AB,再将线段AM,MN,BN围成三角形，求证：所围成的 三角形是直角三角形； (2)如图②，P为线段AB上一点，请在线段BP上作点Q,使 AP,PQQB(PQ<QB)恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作 法，保留作图痕迹)： (3)已知正方形A,B的边长分别为有理数mn,且满足 支<m+n<1（1-m)(1-n)=支，若正方形C的面积等于正方形A和 正方形B的面积之和.求证：正方形C的边长也是有理数 B ① ② 第2课时勾股定理的逆定理的应用 基础提优题 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿 一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两 船分别位于A,B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙 船的航行方向是() A.北偏东50 B.北偏东45 C.南偏东50 D.南偏东60 (第1题) 2.[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD, 测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且 ABC=90°，则这块菜地的面积是() (第2题) A.48m2 B.114m2 C.122m2 D.158m2 3.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格 点上，则下列结论错误的是() A.AB2=20 B.∠BAC=90 C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 4.在△ABC中，AC=5,BC=12AB=13P为直线AB上一动点，连接 PC,则线段PC的最小值是· 综合应用题 5.如图，某小区的两个喷泉A,B之间的距离为250m·现要为喷泉铺设供 水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN 的长为120m,BM的长为150m,则喷泉B到小路AC的最短距离为 () A.90mB.120mC.150mD.180m M B (第5题) 6.如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 AC=24CmCB=18Cm,两轮中心的距离AB=30cm,则点C到 AB的距离为cm. (第6题) 7.展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现.如图，有一辆汽车沿 直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到 点A和点B的距离分别为60m和80m,且AB=100m,信号源中 心周围50m及以内可以接收到5G信号。 (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为10m/s,请问有多长时间可以接收到5G信号？ 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.D a-b=0, a=3, 2a-b-3=0, b=3 a2+ 2.D由题意得 解得 c-3V2=0, c=32, =c2,且a=b. ·△ABC是等腰直角三角形，故选D 点易错，已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不 是直角三角形.在利用公式+b=c2时，一定要注意c是最大边，即 ∠C=90° 3.D4.1160,615.90 6.【解】(I)△ACD是直角三角形 理由：：∠ACB=90,BC=12m,AB=13m, ·由勾股定理得AC=5m· 又：CD=3mAD=4m, ÷AD2+CD2=25=AC2 :△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°· (2)图中阴影部分的面积 =号AC×BC-AD×CD=专×5×12-号×4×3=24(m2). 7.C 8.B延长AD到E,使DE=AD,连接CE. :AD为BC边上的中线，·DC=BD·又：∠ADB=∠EDC, ·△ADB兰△EDC.CE=AB=6,S△ADB=S△EDc··S△ABc=S△AcE: 又：AE=2AD=8,AC=10,·AC2=AE2+CE2. ·△ACE为直角三角形，且∠E=90° :S△ABc=S△AcE=壹CE·AE=支×6X8=24. 9.B如图，取格点E,连接AE,BE,易知AE//CD,·∠BAE=LBOD. 由勾股定理得AB2=12+22=5,EB2=1+2=5AE2=1+3=10, ·AB2+BE2=AE2,AB=BE··△ABE是等腰直角三角形， ·∠BAE=45..∠B0D=45· 10.m由题意得=c2-=(传m+号)-(m2-)= 11.:m是大于1的奇数，·b=m 11.18 12.【解】(1)：△ABC是等边三角形， ·∠BAC=60°. :△PAB兰△PAC, ·PA=PA=6,PB=PC=10,∠PAB=∠PAC. :易知∠PAP=∠BAC=60°. :△APP为等边三角形 ·PP=PA=6,∠APP=60°. :PP2+PB2=62+82=102=PB2, :△BPP为直角三角形，且∠BPP=90°. ·∠APB=∠BPP+APP=90+60=150. (2)将△QAC绕点A逆时针旋转60°得到△QAB,连接QQ,则 △QAB兰△QAC, ÷QA=QA=5,QB=QC,∠QAQ=60° ·△AQQ为等边三角形. ÷QQ=QA=5,∠AQQ=60°. ∴∠Q'QB=LAQB-∠AQQ=90°. QQ2+QB2=52+122=169=QB2. :QB=13(负值己舍去).÷QC=13. 13.【解】(1)：AB=12AM=AB,MN=AB, .AM=3MN=4. :BN=12-3-4=5.:AM2+MN2=9+16=25=BW2 ·由线段AM,MN,BN围成的三角形是直角三角形. (2)点Q的位置如图所示