第二章相交线与平行线培优--综合与实践 2025-2026学年 北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 专题训练 综合与实践 1.【问题情境】 动手操作可提高我们的思维能力，白老师和同学们利用一副直角三角尺不同的摆放方式探究平行线的相关问题. 【初步尝试】 （1）如图a，将一副三角尺直角顶点A与E重合，若AF//BC,则∠CAD= °. 【深入探究】 白老师让同学们改变三角尺的位置，提出新的问题并作出解答. （2）①“智慧小组”提出问题：如图b，将三角尺ABC的顶点B放在三角尺DEF的边DF上，若AC∥DF，请说明：BC平分∠ABF. ②“善思小组”提出问题：将一副直角三角尺按如图c所示的方式摆放，若BC∥FH,AC∥EF，求∠DGC的度数. 2.【问题情境】 如图1，已知AB∥CD,∠BAD=120°，点E,F在直线AB上，且 ∠ACD=∠ACF,CE平分∠BCF. （1）求∠ACE的度数． 【实践探究】 （2）若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系. （3）如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，求出∠CAD的度数. 3.【问题情境】 （1）如图1，MN∥PQ，A是MN上一视频解题点，B是PQ上一点，点C在直线MN,PQ之间。 ①若，则ACB的度数为 。 【问题探究】 ②试探究∠MAC, ∠ACB, ∠PBC之间的数量关系，并说明理由。 【问题应用】 （1）如图2，OM,ON,NP是三面镜子，将一束光线沿AB方向射入镜子OM，通过镜子的反射，最后从镜子NP上的点C处射出，此时入射光线AB与反射光线CD平行。若∠ABM=α,∠DCP=β，试用含α，β的式子表示出∠BON+∠ONC的度数。 4.在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块直角三角尺,的不同摆放方式”为主题开展数学探究活动. 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的60°角的顶点G在CD上，，则2的度数为 【基础巩固】 （2）如图②，涵涵同学把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD上，请你探索AEF与FGC之间的数量关系，并说明理由. 【强化应用】 （3）如图③，雅雅同学把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E在AB上.若∠AEG=α,∠DFG=β，请写出∠AEG与∠DFG之间的数量关系（用含α，β的式子表示），并说明理由. 5.已知,点C为射线AD上一点（不与点A重合），连接BC. （1）【问题提出】如图1，AB//CE ∠BCD=70°，则∠B= °. （2）【类比探究】在图2中，类比问题（1)，探究∠BAD, ∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系，并说明理由. （3）【拓展延伸】如图3，在射线BC上取一点O，过点O作直线MN使MN∥AD,,BE平分∠ABC交AD于点E,OF平分∠BON 交AD于点F，OG∥BE交AD于点G，当点C沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值. 6.（1）【阅读理解】如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数.阅读并补充下面推理过程. 解：如图②，过点A作ED∥BC, 所以∠B= ，∠C= . 又因为， 所以 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC, ∠B, ∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决. （2）【方法运用】如图③，已知AB∥CD，求∠B+∠BPD+∠D的度数. （3）【深化拓展】已知直线AB//CD，点P为平面内一点，连接PA,PD. （i）如图④，已知，请直接写出∠APD的度数. （ii）如图⑤，请判断∠PAB, ∠CDP, ∠APD之间的数量关系，并说明理由. 7.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知AB//CD。 【初步感知】⑴如图1，若∠C=3∠B，求∠B的度数。 【拓展延伸】⑵如图2，当点E,F在两平行线之间时，试说明：∠B+∠BEF=∠CFE+∠C。 【类比探究】⑶如图3，若∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP,,，直接写出∠P 的度数。 8.如图，直线AB∥CD，点P,Q分别在CD,AB上，连接PQ，E是PQ上一点，连接EB,ED. 【猜想】（1）如图①，当点E在线段PQ上时，若,，则∠BED的度数为 . 【探究】（2）如图②，当点E在线段PQ上运动时，∠ABE与∠CDE的平分线交于点F，试判断∠BED与∠BFD间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图③，当点E在射线PQ上运动且∠ABE与∠CDE的平分线存在时，若∠ABE与∠CDE的平分线交于点F，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由. 9.如图，已知∠MPN为钝角，点A,C分别在射线PM，PN上，在∠MPN内部分别过点A,C作射线AB∥CD，在 ∠MPN内部过点P作射线PQ∥CD. 【感知模型】 （1）如图①，若PQ平分∠MPN，猜想∠PAB与∠PCD之间的数量关系，并说明理由. 【数学思考】 （2）如图②，若PQ不是∠MPN的平分线，直接写出∠PAB, ∠PCD和∠MPN之间的数量关系. 【深入探究】 （3）如图③，作∠PCD的平分线，交PQ于点G，过点G作PM的平行线交AB于点F, ∠BFG的平分线交射线CG于点E，点E与点F不重合.若∠MPN=α，则∠FEG的度数为 .（用含α的式子表示） 10.【综合与实践】 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义。如图1是一盏可折叠台灯。图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架AB,BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转，从而调节灯光照射方向。已知灯体顶角∠DOE=52°,∠DOE的平分线OP始终与OC垂直。 （1）求∠COD的度数； （2）如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向夹角∠θ的度数； （3）若（2）中支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数保持不变，将OC绕点C旋转到如图3所示的位置，旋转后，求此时OD与水平方向QN的夹角∠OQN的度数。 11.阅读下列材料，完成探究任务： 活动主题 探究自行车尾灯光路图 素材一 如图①，物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角.且反射角等于入射角.进而可得规律：入射光线与反射面的夹角α等于反射光线与反射面的夹角β. 图① 素材二 如图②，自行车尾灯是利用平面镜反射光线提醒后方车辆注意. 图② 问题解决 任务一 如图③，AB,BC为车尾灯内的两面镜子，已知，若要使进入车尾灯的光线EF经过两面镜子的反射，与离开车尾灯的光线HG互相平行，则镜面BC与光线HG的夹角∠GHC的度数为 图③ 任务二 如图④，在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C，因此反射光线CD应与水平视线DH成一定角度.若图中入射光线AB//DH，请求出∠CDH与∠LF之间的数量关系. 图④ 12.【问题初探】 数学课上，老师和学生探究课本35页的“思考·交流”的内容。 如图1，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时∠2+,∠1=∠2 （1）若，则∠3= ° （2) ∠ADE的余角是 。 （3) ∠ADF与∠BDE的数量关系是 ，依据是 。 （4）图1中可以表示的互余的角有 对。 【类比探究】 （5）如图2，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1=∠2,∠3=∠4，并且。如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么∠1= °才能保证黑球准确入袋。 【学科融合】 （6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似。光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）。如图3,EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O,ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线）,OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON。如图4，现有一激光反光装置，AE,BF是两块可以分别绕A,B 两点转动的镜面，O点是激光发射装置。由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG,BH是两束反射光线。A,B处于同一水平高度，已知入射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是10°和20°，镜面AE与立杆的夹角，则反射光线AG与水平面的夹角 ∠GAN= °；通过调节BF的角度，当∠FBD= °时，反射光线AG和BH平行. 13.【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，已知三角形ABC，点D在BC延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠BAC,，试说明：AB∥DE. 小军同学从DF//AC这个条件出发给出如下解题思路：如图②，延长BA交DF于点H，使这两条平行线被直线BH所截. 小博同学从结论AB//DE出发给出如下解题思路：如图③，连接AD，使直线AB与直线DE被直线AD所截. 请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程. 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都很好地构造出两条平行线的截线，从而转化成角，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师提出下面的问题，请你解答. 如图④，直线AB//CD，三角形EFM的顶点E在直线AB上，∠GHN的顶点H在直线CD上，FM∥HN,∠EFM=∠GHN.试说明：∠CHG=∠BEF 【学以致用】 （3）如图⑤，直线AB//CD，点M,N分别在直线AB,CD上，点E在直线AB,CD之间，MG平分∠AME,NH平分∠END,,NF∥MG，直接写出∠FNH的度数. 14.【阅读理解】如图，已知A是BC外一点，连接AB，AC,，求∠BAC+∠B+∠C的度数.阅读下面的推理过程： 解：如图＠，过点A作DE∥BC, 所以∠B=∠BAE,∠C=∠CAD. 又因为 所以 【方法运用】 （1）如图b，已知AB//ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数. 【解决问题】 （2）已知AB//CD，点C在点D的右侧，，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间. ①如图c，点B在点A的左侧，若，求∠BED的度数； ②如图d，点B在点A的右侧，且AB<CD,AD<BC，若∠ABC=n°，直接用含n的式子表示∠BED的度数. d c b a 15.【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.已知直线，在三角尺ABC与DEF中， 【操作发现】 （1）如图2-ZH-2①，三角尺ABC的顶点B在和之间，在绕点B转动三角尺的过程中，两直角边BC,AB分别与交于点M,N，且夹角分别是∠1和∠2，经过反复操作，发现∠1和∠2之间存在固定的数量关系，这个数量关系是 ; 【深入探究】 （2）如图②所示，将图①中的三角尺ABC的直角顶点B放在上，AC与交于点P,BC与的夹角为∠3,AC与的夹角为∠4，试探究∠3和∠4的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，固定三角尺DEF，使边DF在直线上，将三角尺ABC的顶点C固定在DE的延长线与的交点处，将三角尺ABC在两条平行线之间任意旋转，设∠ACD的度数为x°，试探究：在旋转的过程中，当x为何值时，三角尺ABC的边AB与三角尺DEF的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值. 专题训练 综合与实践 答案与解析 1. 解析：(1)135°． 详解：因为AF//BC,, 所以 因为，所以· （2）①因为AC∥DF, 所以 因为，所以∠ABC=∠CBF. 所以BC平分∠ABF. ②因为BC∥FH, 所以· 因为AC∥EF，所以· 所以· 因为BC∥FH，所以· 2.解析：(1)∵AB//CD, ∴ ∵ ∴ ∵CE平分∠BCF ∴ ∵∠ACD=∠ACF, ∴ （2）不变，∠BFC=2∠BAC，理由如下： ∵AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC. ∵∠ACD=∠ACF ∴∠BAC=∠ACF. ∵∠BFC=∠BAC+∠ACF, ∴∠BFC=2∠BAC. ∴ ∵∠BEC=∠CAD, ∴∠DCA=∠BCE. ∵∠ACD=∠ACF,∠FCE=∠BCE ∴∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE. ∵ ∴ ∴ 3. 解析：(1）①75° ②。理由如下： 如图1，过点C作CD//MN。 因为MN∥PQ，所以MN∥PQ∥CD, 所以, 所以∠MAC+∠ACB+∠PBC=∠MAC+∠ACD+∠BCD+ （2）如图2，过点0作OE∥AB，过点N作NF∥ABO 因为入射光线AB与反射光线CD平行， 所以AB∥OE∥NF∥CD, 所以∠MOE=∠MBA=α,∠FNP=∠DCP=β,∠EON+ 所以∠BON+∠ONC=∠MOE+∠EON+∠ONF+∠FNP= 4.解析 (1)40°． 详解：因为AB∥CD，所以 所以 (2) 理由：如图，过点F作FP∥CD，则∠FGC=∠GFP. 因为AB∥CD，所以AB∥FP. 所以∠AEF=∠EFP, 所以 (3) 理由：因为AB∥CD，所以∠AEF=∠EFD. 所以，所以 5.解析：(1)30 详解：因为AB∥CE，所以∠BCE=∠B ，∠DCE=∠BAD。 因为,，所以∠B=∠BCE=∠BCD-∠DCE= (2)∠BCD=∠BAD+∠B.理由如下： 如图，过点C作CP∥AB，则∠BAD=∠PCD，∠B=∠BCP. 因为∠BCD=∠PCD+∠BCP, 所以∠BCD=∠BAD+∠B. （3）不变. 设∠ABE=x, 因为BE平分∠ABC，所以∠CBE=∠ABE=x. 由（2）的结论可知∠BCD=∠BAD+∠ABC，且, 则 因为AD//MN，所以∠BCD=∠BON. 因为OF平分∠BON， 所以 因为OG∥BE，所以∠COG=∠CBE=x. 所以. 6.解析：（1）∠EAB；∠DAC. （2）如图，过点P作PF∥AB. 因为AB∥CD，所以PF∥CD.所以 因为PF∥AB，所以, 所以 即 （3)(i) ∠APD的度数为90°． 详解：如图，过点P作PM∥AB, 所以 因为AB//CD, PM∥AB，所以PM∥CD, 所以 所以 所以 (ii) 理由：如图，过点P作PN∥AB. 因为AB//CD，所以PN∥CD，所以∠CDP=∠DPN. 因为PN∥AB，所以 因为∠APN=∠DPN-∠APD, 所以 所以 7.解析：⑴∵AB∥CD， ∵∠C=3∠B, ⑵【拓展延伸】证明：过点E作EM//AB，过点F作FN∥AB， ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥EM∥FN, ∠EFN=∠FEM, ∴∠B+∠BEF=∠C+∠CFE; ⑶【类比探究】解：由上结论知，∠ABE+∠E=∠CFE+∠C, ∠ABE=3∠EBP ∠CFE=3∠EFP, 8.解析：(1)81° 详解：如图，过点E作EM∥AB, ∵AB//CD,EM∥AB,∴AB∥EM∥CD, ∴, ∴ (2).理由如下： 如图，过点E作EM∥AB, ∵AB//CD,EM//AB, ∴AB//EM//CD, ∴∠BEM=∠ABE,∠DEM=∠CDE, ∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE 同理可得，∠F=∠ABF+∠CDF, BF平分∠ABE,DF平分∠CDE ∴ （3）成立．理由如下： 如图，过点E作EM∥AB, ∵AB//CD,EM//AB,∴AB//EM//CD,∴ ∠BEM=∠ABE∠DEM=∠CDE, ∴∠BED=∠DEM-∠BEM=∠CDE-∠ABE 同理可得，∠F=∠CDF-∠ABF, BF平分∠ABE,DF平分∠CDE， ∴ 故（2）中的结论仍然成立． 9.解析：（1）∠PAB=∠PCD. 理由：因为AB//CD,PQ∥CD，所以PQ∥AB. 所以, 因为PQ平分∠MPN，所以∠APQ=∠CPQ. 所以∠PAB=∠PCD. (2) 理由：因为AB∥CD,PQ∥CD，所以PQ∥AB∥CD. 所以 所以 (3) 详解：如图，过点E作EJ∥AB，则∠BFE=∠FEJ. 因为AB∥CD，所以EJ//CD. 所以∠ECD=∠JEG. 所以∠FEG=∠BFE+∠ECD. 因为FG∥AP，所以∠BFG=∠PAB. 因为FE平分∠BFG，所以 因为CG平分∠PCD,，所以 所以 由（2）可得 所以 10.解析：(1)∵OP平分 ∴ （2）由题可知, 由题可知 （3）如图，分别过点C,O作CG∥MN,OH∥MN ∴BF//MN,CG//MN,OH//MN, ∴OH∥CG∥BF∥MN,∴, , 由（1）可知 11．解：任务一：54°； 任务二：如解图，过点C作AB的平行线CM， 因为AB∥DH，所以DH∥CM, 所以∠DCM=∠CDH, 根据素材一可知LBCD), 因为AB//CM，所以, 在三角形FBC中， 即 12.解析：(1)30 详解：因为∠1=∠2,，所以 (2)∠ADC,∠3 （3）相等 等角的补角相等 (4)9 详解：∠1和∠ADC、∠1和∠3、∠2和∠ADC、∠2和∠3、∠2和∠DNF、 ∠1和∠DNF、∠DNM和∠DNF、∠DNM和∠3、∠DNM和∠ADC互为余角。 (5)40 详解：如图，过点F作EF∥AB。由题意，得AB//CD，所以AB//EF∥CD。因为，所以因为∠3=∠4，所以，所以，所以∠1=，所以∠1=40°才能保证黑球准确入袋。 (6)80 50 详解：如图2，过点A作APLAE，过点B作BO⊥BF。根据反射角等于入射角，得∠GAP=∠OAP,∠HBO=∠OBO。由题意，得MN∥CD,AC⊥CD,BD⊥CD，所以AC⊥MN,BD⊥MN，所以∠因为∠，所以因为，所以∠OAP+∠OAN+∠EAN=，所以，所以∠OAP=35°，所以，所以所以.设∠FBD=a，则，因为BO⊥BF,，所以，所以∠HBO=2∠OBQ=2(α-，所以，当AG∥BH时，∠HBN=∠GAN，所以2α-，所以，即∠ 13.解析：(1）选择小军同学的解题思路： 如图，延长BA交DF于点H． 因为DF∥AC，所以∠BAC=∠AHD. 因为∠EDF=∠BAC，所以∠EDF=∠AHD. 所以AB//DE. 选择小博同学的解题思路： 如图，连接AD． 因为DF∥AC，所以∠CAD=∠FDA. 因为∠EDF=∠BAC，所以∠BAD=∠EDA. 所以AB//DE. （2）如图，设射线HG交直线AB于点Q，射线HN交EF于点P. 因为HN∥FM，所以∠2=∠EFM. 因为∠EFM=∠GHN，所以∠GHN=∠2. 所以EF∥HQ，所以∠1=∠FEB. 因为AB∥CD，所以∠1=∠CHG. 所以∠CHG=∠BEF. (3)∠FNH的度数为20°． 详解：如图，设射线NF交直线AB于点K，过点E作直线l∥AB, 因为MG平分∠AME,NH平分∠END， 所以∠1=∠2,∠3=∠ENH. 因为AB//CD,，所以AB//CD//l. 所以,∠6=2∠3. 所以 因为GM∥NK，所以∠1=∠4. 因为AB//CD，所以∠4=∠3+∠FNH. 所以∠1=∠3+∠FNH. 因为 所以 因为 所以 所以 14. 解析：(1）如图（a)，过点C作CF∥AB，所以∠B=∠BCF. 因为AB∥ED,CF∥AB，所以CF∥ED，所以∠D=∠DCF. 因为，所以, （2）①如图（b)，过点E作EF//AB，所以∠ABE=∠BEF. 因为EF//AB,AB//CD，所以CD∥EF 所以∠CDE=∠DEF. 因为BE平分∠ABC,， 所以 因为DE平分, 所以 所以 ②∠BED的度数是214 15. 解析：(2）数量关系为.理由如下：过点C作，如图①. 因为，所以，所以∠ECB=∠3,∠ECA=∠4. 因为，所 （3）①当AB∥EF时，如图②. 此时点B落在线段CD上，，所以x=30. ②当AB∥DF时，如图③.因为AB∥DF，所以 又因为，所以，所 所以，所以x=75. ③当AB∥DE时，如图④，所 所以，所以x=120. 综上所述，在旋转的过程中，当x的值为30或75或120时，三角尺ABC的边AB与三角尺DEF的一条边平行． 学科网（北京）股份有限公司 $