7.1.1条件概率教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 一、教材分析 本节课是人教A版（2019）选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列的起始课，核心是让学生理解条件概率的概念、公式与计算方法。条件概率不仅是学习事件独立性、全概率公式等后续内容的重要基础，也在随机变量及其分布列的整体学习中发挥着衔接前后、贯穿核心的关键作用。 二、教学目标 1、通过对具体情境的分析，直观认识条件概率的意义，进一步抽象出条件概率的概念，提高数学抽象的核心素养，并能用定义法和缩小样本空间法计算随机事件的条件概率； 2、能根据事件的独立性、条件概率的意义，描述“事件A、B独立的充要条件是条件概率等于无条件概率”，并能根据定义进行推理； 3、能根据条件概率的定义归纳概率的乘法公式，并会利用概率的乘法公式计算概率； 4、体会由特殊到一般、转化化归与数形结合的数学思想. 三、教学重难点 重点：理解条件概率的定义，掌握公式，能利用定义和缩减样本空间法解决简单条件概率问题。 难点：理解条件概率的本质，区分条件概率与普通概率，掌握公式推导逻辑及缩减样本空间法的合理运用。 4、 教学过程设计 1、旧知回顾 回顾1 ：古典概型概率计算公式 古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等； 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A发生的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。 回顾2：事件及概率 2、引入新知 在必修二《概率》一章的学习中，我们已经知道，对于同一试验中的两个事件A与B， 当事件A与B相互独立时，事件A与B同时发生的概率有 事件A发生与否 影响事件B发生的概率 思考：那么，当事件A与B不相互独立时，如何表示事件A与B同时发生(即积事件AB)的概率呢？ 设计意图：通过对比事件独立与不独立时积事件概率表示的差异，引导学生发现已有知识无法解决非独立事件的积事件概率问题，从而产生认知冲突，为后续条件概率概念的引入与公式推导做好铺垫，帮助学生建立知识间的逻辑联系，培养其数学思维的连贯性与严谨性。 【问题1】阅读教科书p44问题1，用符号表示样本空间和相关事件，阅读教科书p45问题2，用集合表示样本空间和问题中所涉及的事件.每个问题的两小问的样本空间有什么变化？是否满足古典概型的条件？最后计算解决相关事件的概率. 引例1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示． 单位：人 表7.1-1 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表． （1）选到男生的概率是多少？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少? 教师提问：为方便符号语言的表达，用A表示事件“选到团员”，用B表示事件“选到男生”。 (1) 回顾古典概型的定义及概率计算公式，引例1(1)的样本空间是什么，其中包含的样本点总数是多少？要求“选到男生的概率”，即求哪个事件的概率？ (2) 引例1(2)的样本空间是什么，其中包含的样本点总数是多少？满足“已知选到的是团员，那么选到的是男生”的样本点有哪些？应该用怎样的事件表达这些样本点？ (3) 问题1(2)中所求的概率与问题1(1)中的P(B)有区别吗？应该用怎样的符号语言表达问题1(2)中所求的概率？ 设计意图：通过具体实例，使学生对条件概率有初步的了解和认识，为引出条件概率的概念奠定基础。 引例2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 教师提问：(1) 类比问题1的解决过程，用符号语言表达问题2(1)的求解； (2) 问题2(2)的样本空间是什么，其中包含的样本点总数是多少？满足“已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩”的样本点有哪些？应该用怎样的事件表达这些样本点？ (3) 怎样用符号语言进行表达问题2(2)中所求事件的概率？ 设计意图：问题驱动激发学生探究欲，通过第二个问题的分析，让学生直观感知“已知某事件发生”这一前提对样本空间的缩减作用，为抽象概括条件概率的概念作铺垫。 【追问1】事件A的发生是如何改变样本空间？ 【追问2】第二问中计算，分子为什么要用而不是？ 设计意图：通过追问1引导学生明确“已知事件A发生”对样本空间的限制作用——将原样本空间Ω缩减为事件A对应的样本点集合，直观感受条件概率中样本空间的变化规律；追问2则促使学生深入思考条件概率的计算逻辑，理解在事件A发生的前提下，事件B发生的样本点必须同时属于A和B，即积事件AB的样本点，从而为后续抽象出条件概率的定义公式提供具象支撑，帮助学生突破对条件概率本质的理解难点，提升其逻辑推理与数学抽象的核心素养。 3、新知探究 【问题2】上述两个引例有何共同点？在一般的古典概型中有类似的结论吗？由此你能探索出条件概率与，之间的关系吗？在此基础上请你抽象出条件概率的概念. 设计意图：引导学生从两个具体引例中提炼共性特征，发现两者均是在已知某一事件发生的前提下计算另一事件发生的概率，且计算过程中均体现了“缩减样本空间”的思想。通过让学生在一般古典概型中验证这一规律，帮助其归纳出条件概率与、之间的定量关系，进而抽象出条件概率的严格定义。这一过程既遵循了“从特殊到一般”的认知规律，又能让学生深刻理解条件概率的本质内涵，有效提升数学抽象、逻辑推理等核心素养。 教师提问：结合以上两个具体问题——引例1和引例2的分析过程，我们一起来探究一下，一般情形下的条件概率应该如何计算呢？ 总结：在上面两个引例中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 教师追问：以上公式可以帮助我们在古典概型的基础上求解条件概率，但是如果失去了古典概型的前提条件，即无法根据题目条件获知n(AB)和n(A)时，应该怎样求解条件概率呢？ 教师引导学生借助Venzn图将问题1和问题2的分析过程推广至一般情形：用整个矩形来表示样本空间Ω，用矩形内任意封闭曲线围成的图形分别表示事件A、B，则阴影部分表示积事件AB。 若已知事件A发生，则只需在A发生的范围内考虑，即现在的样本空间为A，而在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，这个结论对于一般的古典概型仍然成立，如右图，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即 （推广到一般情形）， 所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算． 学生在上面两个引例的基础上，通过小组讨论和交流，从特殊到一般地初步归纳出条件概率的概念，并用自己的语言加以描述。教师在学生回答的基础上，进一步精炼语言。 (1) 条件概率的的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率(conditional probability)． 判断：(1) ( × ) （2） 事件A发生的条件下，事件B发生，相当于事件A，B同时发生.( √ ) 设计意图：通过这两个判断题，引导学生对比分析条件概率与的区别；同时强化对“事件A发生条件下B发生等价于AB同时发生”这一核心关系的理解，帮助学生从本质上把握条件概率的内涵。【问题3】 【问题4】 【问题5】如何判断条件概率? 设计意图：引导学生梳理条件概率的核心特征，明确判断条件概率的关键在于是否存在“已知某事件发生”的前提条件，以及该前提是否导致样本空间的缩减，从而帮助学生准确区分条件概率与普通概率。 练1　【多选题】下列概率问题属于条件概率的是(　　) A．甲、乙二人射击的命中率分别是 0.8，0.9，各射击一次都命中的概率 B．甲、乙二人射击的命中率分别是0.8，0.9，在甲命中的前提下乙也命中的概率 C．在含有3件次品的10件产品中依次抽取2件，已知第一次抽到次品，第二次也抽到次品的概率 D．在含有3件次品的10件产品中依次抽取2件，第一次抽到次品且第二次也抽到次品的概率 (2) 条件概率的的判断： ①当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率; ②当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率. (3) 条件概率的计算方法： ①定义法： ②缩小样本空间法： (多用于古典概型) （即仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率，几何直观上，相当于B在A内的那部分(即AB)在A中所占的比例．） 练：(1)若事件A，B互斥，则( ) (2)在半径为1的圆内随机取一点，已知该点落在圆内接正方形内（即正方形四个顶点在圆上），求该点同时落在正方形内切圆内的概率。 (3)将一枚硬币任意抛掷两次，事件A={第一次出现正面}，事件B={第二次出现反面}，则=________. 设计意图：通过三个层次的练习，帮助学生巩固条件概率的定义及计算方法。第(1)题针对互斥事件与条件概率的关系设置辨析，明确互斥事件A发生时B不可能发生，故第(2)题结合几何概型场景，让学生运用“缩小样本空间”的思路计算条件概率，直观感受几何直观中比例的意义；第(3)题通过古典概型实例，巩固定义法或缩小样本空间法的应用，加深对条件概率核心特征的理解。整体练习旨在帮助学生灵活运用条件概率的计算方法解决不同类型的问题，提升逻辑推理与问题解决能力。 【问题6】在上述引例中，都有为什么？ 如果那么事件A、B应满足什么条件？ 设计意图：引导学生对比条件概率与无条件概率的差异，发现事件A对事件B概率的影响规律；通过等式变形推导出等价于引出事件独立性定义，帮助学生理解其本质：事件发生互不影响；结合条件概率与事件独立性，构建知识逻辑联系，培养逻辑推理和数学建模能力，为后续学习事件独立性的应用及全概率公式等内容奠定基础。 (4)条件概率与事件独立性的关系 事件A与事件B相互独立 ⟺ ⟺ ⟺ 【问题7】当事件A与B相互独立时，有如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢？ 设计意图：引导学生回顾条件概率的定义，自主推导非独立情况下积事件的概率公式，明确积事件概率计算的两种情形（独立与非独立），实现知识的自然迁移与构建，帮助学生体会从特殊到一般的数学思想。 (5)概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若则 思考：目前你学会了哪些求积事件AB概率的方法？ 设计意图：引导学生系统梳理已学的求积事件概率的方法，明确不同方法的适用条件，培养学生归纳总结的数学思维习惯。 4、应用新知 【例1】在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 【追问】试用概率的乘法公式计算例1.这两种解法中样本空间的差异是什么？ 设计意图：通过例1，帮助学生巩固条件概率的定义及概率乘法公式的应用，通过追问，深化对条件概率与乘法公式内在联系的理解。 【例2】已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 【追问】如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？ 老师追问，学生探讨，得出结论：事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关． 设计意图：例2选取贴近生活的抽奖情境，让学生经历“提出问题—分析问题—解决问题”的过程，理解放回与不放回抽样中事件独立性的区别，验证“中奖概率与抽奖次序无关”的结论，体会概率的公平性，渗透转化化归思想（将实际抽奖问题转化为概率模型）。 5、目标检测，检验效果 P48-1.设且.据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出和的值，再由条件概率公式进行验证. [变式]已知某产品的合格率是，合格品中的一级品率是，则这种产品的一级品率是_____. 设计意图：P48-1结合事件包含关系，引导学生从直观意义和公式验证两方面理解条件概率的本质，深化对定义的认识；变式题聚焦概率乘法公式的实际应用，帮助学生建立“合格品中一级品率”与条件概率的联系，提升知识迁移能力。 P48-2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张牌，抽出的牌不得放回。已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率。 P48-3.袋中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个红球，从中随机摸出1个球，摸出的球不放回。求： (1) 在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率； (2) 两次都摸到红球的概率。 设计意图：P48-2和P48-3以不放回抽样为背景，分别考查条件概率的计算及乘法公式的运用，既强化了“无放回”情境下的概率思维，又检验了学生对条件概率与乘法公式内在关联的理解。 6、课堂小结 (1)从知识层面上讲，本节课学习了条件概率的定义和计算方法，并在此基础上学习了事件独立性判定方法和概率乘法公式。 (2)从思想层面上讲，本节课始终贯穿着“样本空间缩小（局部化）”这一核心思想——当已知条件发生时，我们的视野就从整体样本空间聚焦到条件事件这一局部区域，并在其中重新审视比例关系，通过韦恩图将抽象的公式具象化，体现了数形结合思想。本节课的逻辑思路是从具体问题出发，通过类比、归纳，抽象出一般情形下条件概率的定义，充分体现了由特殊到一般的思想。而化归转化思想帮助我们成功地将条件概率问题还原为已学过的古典概型或概率运算，实现了新旧知识的无缝对接。 7、课后作业 ：(1)考试化作业 (2) 提高练习 类型一：求条件概率 1、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 2、甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（    ） A． B． C． D． 题型二：概率乘法公式求积事件的概率 3、某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关。某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_______. 4、10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率． 设计意图：通过不同类型的题目检验学生对条件概率核心知识的掌握程度。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $