专题11 截面、翻折问题常考5题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题11 截面、翻折问题 题型1 截面形状的判断 题型4 截面的最值（难点） 题型2 求截面的周长或面积（重点） 题型5 翻折问题（重点） 题型3 球的截面（重点） 题型一 截面形状的判断（共4小题） 1．（2025·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.    故选：C 2．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 3．（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 4．（多选）（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．无论点N在何处，始终有成立． B．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】CD 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，故体积为定值；C选项，作出辅助线，得到即为直线MN与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围，得到C正确；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面，得到D正确. 【详解】A选项，当点N与重合时，如图， 此时与不垂直，夹角为锐角，A错误； B选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，B错误； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面BDN截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 故选：CD 题型二 求截面周长或面积（共9小题） 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 6．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    7．（24-25高三上·云南昆明·月考）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 【答案】ABD 【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 故选：ABD 8．（多选）（24-25高一上·重庆渝中·月考）已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面 D．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【详解】如图，对于A，在正方体中，， 故直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角， 在中，，则不为，故A错误； 对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C，连接，则， 又平面平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，故平面，故C正确； 对于D，由C选项可知平面， 故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行. 设的中点分别为，，依次连接， 则，，， 且，， 可得六边形为正六边形， 而平面平面，故平面. 同理可证平面， 又平面，故平面平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为， 其面积为，D正确. 故选：BCD. 9．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 10.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 11．（多选）（25-26高一下·浙江金华·月考）在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（    ） A． B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 12．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 【答案】 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 又， 所求截面的面积. 故答案为： 13．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 题型三 球的截面（共5小题） 14．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：.    15．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知球O是四棱锥的外接球，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为______． 【答案】 【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，取BC的中点，连接，，如图， 由，，得四边形都为菱形， 则，即是梯形ABCD外接圆圆心， 而O为四棱锥的外接球球心，因此平面ABCD，又平面ABCD， 则，而PA为球O的弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接OE，OA， 于是，而，即有，四边形为矩形，， 因此球O的半径，在中，， ，， ，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于OM， 设此时截面圆半径为r，则，所以截面圆面积的最小值为． 故答案为： 16．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为________． 【答案】 【详解】如图，根据题意，，，， 由余弦定理，， 则有，所以， 则可以将三棱柱补形为长方体，棱长分别为，，， 所以长方体的外接球O的半径． 由题意可得，球心O到侧面的距离h是的一半即， 设侧面所在平面被球O所截的圆的半径为r，则，所以， 所以该截面面积为． 故答案为：. 17．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 题型四 截面分体积（共4小题） 19．（2025高三上·广东·专题练习）棱长为1的正方体中，分别为的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，延长交延长线于，连接， 由是的中点， ，得是的中点，又， 则与的交点必为的中点，而平面平面， 即几何体是三棱锥被平行于底面的平面所截而成， 因此截面将正方体分成体积较小的部分为三棱台， 三棱台的体积为. 故选：D 20．（多选）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 21．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 22．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）答案见解析；（ii） 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分， 分别为三棱锥与四棱锥，很显然两个棱锥的高相等，记为h， 的面积与的面积之比为， 所以的面积与四边形的面积之比为1:2， 则. 题型五 截面的最值(共4小题） 23．（2025高三·全国·专题练习）已知正方体 的体积为1，点 在棱 上（点 异于 ， 两点）， 为 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为五边形，则的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正方体 的体积为1，所以该正方体的棱长为1，则 . 当 时，连接 ， ，则 ， ， ， ， 四点共面，截面为四边形 （如图），不符合题意， 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得, 所以，因为，所以在线段上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 过作于，连接，则易知， 所以，即四点共面，所以截面为四边形. 当 时，延长, 交于点， 由与相似可得， 所以，因为，所以在线段的延长线上一定存在一点， 使得,即四边形为平行四边形，所以; 如图，过向的延长线作垂线，交于点，连接，交于， 则易知，所以，即四点共面. 连接交于，连接，即所求截面为五边形. 综上可知，故B正确. 故选：B. 24．（多选）（24-25高一下·江苏·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 25．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 26．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 题型五 翻折问题（共8小题） 27．（2026高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的个数（  ） ①平面平面 ②直线与平面所成角是 ③平面平面 ④二面角余弦值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①：因为，，所以， 又，，所以， 则，即， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 若平面平面，则平面或平面， 由图象得平面于点C，则平面不垂直平面，故①错误； 对于②：在四边形中，由①得平面， 则为直线与平面所成角，且为，故②正确； 对于③：因为平面，平面， 所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故③正确； 对于④：由③得，平面，则为二面角的平面角， 设，则， 因为，所以，所以，故④正确. 故选：C. 28．（多选）（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（   ） A．平面PAD B．平面平面 C．Q到平面的距离为2 D．当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【详解】对于A，取的中点，连接，由题知平面， 因为平面，所以， 又四边形为长方形，则， 又，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设平面平面， 因，平面，平面，则平面， 因平面，且平面平面，则， 由A选项可知，平面，结合平面， 有，则， 故为二面角的平面角， 因，为正三角形，则， 因，则在中，有，同理， 则，即， 故平面平面，则B正确； 对于C，由AB选项易得，设点到平面的距离为， 则由得，， 即， 故Q到平面的距离为，故C错误； 对于D，因， 则， 故D正确. 故选：ABD 29．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 30．（2026高一·全国·专题练习）如图左，是由一个四边形和两个三角形构成的平面图形，已知四边形为矩形，和都是边长为的等边三角形，将和分别沿直线 和折起，连接，得到几何体，如图右，在这个几何体中， ，若几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为____. 【答案】 【详解】连接交于点，因为四边形为矩形， 则点为矩形的外接圆圆心，连接，则平面， 取的中点，连接， 平面，平面，平面平面， 所以，可得， 因为和为等边三角形，则， ，，，平面，平面，所以平面， 且平面，可得平面平面， 因为平面，且平面，所以平面， 设，所以到平面的距离， 设，外接球的半径为，因为， 则，， 且，， 则，解得， 所以， 故球的表面积为. 31．（2026高一·全国·专题练习）点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作， 设，中，利用余弦定理得的值，然后利用面面垂直证明平面，即得，在中，由勾股定理得与的关系式，可得当时，取得最小值． 【详解】解：过点作于点E，连接，如图所示． 设，由 则，，． 在中，由余弦定理得， ． ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面． 又平面，∴． 在中，由勾股定理得， ∴当时，取得最小值，为． 32．（24-25高一下·吉林长春·期末）（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）点在平面上的射影恰好落在上， 则平面，平面，所以． 因为四边形是矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由平面，则直线与平面所成的角为， 在矩形中，，， 因为平面，平面，所以 在中，因为，， ，所以， 所以直线与平面所成的角． 33．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. 34．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11截面、翻折问题 题型归纳·内容导航 题型1截面形状的判断 题型4截面的最值（难点） 题型2求截面的周长或面积（重点） 题型5翻折问题（重点） 题型3球的截面（重点） 题型通关·靶向提分 题型一截面形状的判断（共4小题） B,C 1.(2025山东枣庄·二模)如图，有一正方体形状的木块，A为顶点， 分别为棱的中 A,B,C 点，则过点 的平面截该木块所得截面的形状为() A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.六边形 2.(2425高一下云南昆明期中)在正方体1C中，M为48的中点，N为8C的中点， P为线段CC上一动点（不含C).过M,N,P与正方体的载面记为“，下列说法中正确的 是() CP 1 A.当CC2时，截面a为五边形 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP 1 B.当CC2时，截面a只能是六边形 CP 1 C.当CC,3时，截面au的面积最大 CP 1 D.当CC3时，截面a只能是五边形 3.（多选)(24-25高一下·江苏宿迁·期末)如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经 CBBC DD 过木料表面 内（不含边界）一点P与棱把木料锯成两块，为此需要先在面 CBBC 内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是() D A 、B ..p DA-8333L----- C A.截面形状是梯形 B.截面形状可能为等腰梯形 DD C.直线与直线相交 D.直线'与直线44相交 4.(多选)(24-25高一下·四川泸州·期末)如图，在正方 ABCD-AB,CD中，M是 CD BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有() A A., D 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD⊥MN A.无论点N在何处，始终有 成立 N-BAA B.三棱锥 的体积随着点N的位置的改变而随之变化. C.直线MW与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[Q,V] ABCD-ABCD D.平面BDW截得正方体 的截面可能是三角形或四边形. 题型二求截面周长或面积（共9小题） 5.(24-25高一下-江西南昌期末)如图，在棱长为5的正方体4BCD-4B'CD中，点 E、F、G分别是棱AB'、B'C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所 得的截面多边形的面积等于() D G B D C E B 3w5 5 3W2 A.2 B.2V3 C.2 D.2 6.(24-25高一下广西南宁期末)如图，已知正方 ABCD-AB,GD的棱长为4，E是 楼99 AB E 的中点，则平面 截正方体1CD-ABCD 所得截面图形的面积为() D E C A B D B 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9V2 B.18 c.18V2 D.36 7.(24-25高三上云南昆明·月考)如图，已知正方 ABCD-AB,CD的棱长为1， E,F,G,H 分别 是MB,BC,4,CC的中点，用一个平面“截该正方体，截面面积为，则下 列结论正确的是() D B H G D F E A.若a经过点B,A,C,M>3 2 B.若a经过点B,G,H,则心6 2 c.若“经过点 则“经过点D E,F,G D.则经过点 E,F,D 则“经过M的一个三等分点 8.（多选)（24-25高一上·重庆渝中·月考)已知正方体 BCD-AB,CD的棱长为2，P为 棱1A的中点，则下列说法正确的是() A.直线PD与BC所成的角为30 25 B.直线PD与平面ABBA所成角的正弦值为5 C.BD平面ABC 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.过点P且与8P垂直的平面藏正方体所得载面的面积为35 9,（多选)(24-25高一下-江西南昌期末)如图，在棱长为V5 的正方体 ABCD-A'B'CD'中，点E、F、G分别是棱AB、B'C、CD的中点，则由点E、F、G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于() D G A B D C B 35 55 3v2 A.2 B.25 C. D.2 10.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末)如图，正方体 ABCD-ABC D 的棱长为6，E,F 分别是10，D0的中点，点P是底面BCD内一动点，则下列结论正确的为《() D D p B A若伊平面C0,则P点运对执达长度为35 25 B.若FP=V57,则P点运动轨迹长度为3 C.过8E, V5+9W2 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D.三棱锥F-ABC的外接球表面积为81π 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(多选)(25-26高一下·浙江金华月考)在长方体 BCD-AB,CD中，底面MBCD是 边长为4的正方形，P在楼40上，且PA=0,PD=V5,则( A.A4=1 B.过点木八C的平面裁该长方体，所得裁面周长为52+2而 C.以点P为球心，5为半径作一个球，则球面与底面4BCD的交线长为2n D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π ABCD-ABC D 12.(24-25高一下·陕西榆林期中)如图，正方体 的棱长为2，N为G 的中点，若过8P的平面“”平面C0,则“裁该正方体所得截面图形的面积为 C N C 13.(24-25高一下·贵州黔南·期末)在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被 BB 称为“堑堵”·如图，三棱柱 BC-4BC为一“堑堵”，P是的中点， AA=AC=BC=4 AC平 ,则该“堑堵”的外接球的表面积为；在过点P且与直线 行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A 题型三球的截面（共5小题） 14.(24-25高一下河南信阳·期末)已知正三棱锥A-BCD的外接球是球O,正三棱锥底 侧棱B=2V BC=3 边 5,点E在线段BD上，且2BE=DE,过点E作球O的截面，则所 得截面圆面积的取值范围是 15.(24-25高一下河北雄安期末)已知球O是四棱锥P-ABCD的外接球，PA⊥平面 ABCD,底面ABCD是等腰梯形， AD/IBC AB-AD-3 P4-4 BC=6 =B.过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为一 16.(24-25高一下.贵州贵阳·月考)在直三棱柱 BC-48,C中，AM=2,B=2 AC=1,∠BAC=60°，则此三棱柱的外接球被平面 BCC B 截得的截面面积为 17.(24-25高一下·辽宁大连期末)已知H是球0的直径AB上一点，AH:HB=1:3, AB⊥a,H为垂足，平面a截球O所得截面的面积为3π，M为a内的一点，且MH=l, 则球O的表面积为：过点M作球O的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为 18.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)已知正三棱柱16C-4BC的各棱长均 2N5,D,E分 别为棱 B,“的中点，经过DE作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 题型四截面分体积（共4小题） 19.(2025高三上·广东专题练习)棱长为1的正方体 BCD-4BCD中，M, 分别为 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD,CD A,M,N 的中点，过 三点的截面将正方体分成两部分，则其中体积较小的几何体的 体积为() 19 5 17 7 A.24 B. 24 c. 24 D. 24 20.(多选)(24-25高一下·辽宁辽阳期末)如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别 PA,PC 的中点，则下列结论正确的是() PO1 A.设PDn平面BEF=Q,则PD-3 B.三棱锥E-BDF与正四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4 PA 5 C.若AB2,则正四棱锥P-ABCD内切球与外接球的半径之比为1：6 D.正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之比为1：5 21.(25-26高一下·全国课堂例题)如图所示，在三棱柱 ABC-AB,C中，E、F分别为 AB、AC的中点，平面 EBC F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 C 8/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(24-25高一下·辽宁丹东·期末)如图，四面体 中，点G是△1BC ABCD 的重心，点E 在AD上，AE=2ED. G。 GE∥ BCD (1)求证： 平面 (2)设过点G,E,C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. ()请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）： (ii)求出“将四面体分成两部分几何体体积之比. 题型五截面的最值（共4小题） 23.（2025高三全国专题练习)已知正方体18CD-4BCD 的体积为1，点M在棱 BC上（点M异于B,C两点），N为CG的中点，若平面4MN截正方体 ABCD-ABCD 所得的截面为五边形，则BM的长的取值范围是() cB 。5别 24.(多选)(24-25高一下·江苏期中)如图，在棱长为1的正方 ABCD-ABCD中， 点F,G分别是CB,CD的中点，E在棱CC上满足CE=C,k0,,P为线段D 上的一个动点，平面a∥平面EFG,则下列命题中正确的是() 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B p 夕 A.当k=时，AD,M平面EFG 1 3 B。当4<k<1时，过点A”下'E的平面截该正方体所得的截面为五边形 1 √5 c.当k=2时，平面4裁该正方体所得截面面积的最大值为 1 V8+3V6 D.当k=2时，PF+PG的最小值为2 25.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)》已知正三棱柱1BC-4BG的各棱长均为 2N5,D,E分 AB,AA 别为棱 的中点，经过D正作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 26.(2026高-全国专题练习)在三棱锥M-BCD中，已知1B=BC=CD=AD=2W5 ∠ABC=∠ADC= 2,平面ABC⊥平面ACD,且三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的 球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），BE=V2C,当三棱锥 E-ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为一· 题型五翻折问题（共8小题） 27.(2026高一下·全国·专题练习)如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,AD=AB, ∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列判断正确的个数() ①平面ABD⊥平面ABC 10/13