热点04 尺规作图与网格作图题6大题型训练（热点专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 热点04尺规作图与网格作图题训练 ◆ 召热点聚集 召方法精讲 但能力突破 第一部分热点聚焦。析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分题型引领。讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01基础尺规作图应用 题型02特殊图形的尺规作图 题型03网格中的图形变换作图 题型04网格中满足条件的图形作图 题型05尺规作图与几何证明、计算综合 题型06无刻度直尺作图 第三部分能力突破。限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升 热点聚 析考情碧 近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查稳定出现，形式灵活，主要分布在解答题中，通常作为一道独立的 中档题(6-8分)。 1.尺规作图：提供文字描述或简单图形，要求用无刻度的直尺和圆规完成指定作图，并保留作图痕迹， 不要求写作法。常与证明、计算结合。 2. 网格作图：在正方形网格（如4×4、5×5）或平面直角坐标系的网格背景下，要求画出符合特定条件 的格点图形（如平移、旋转、轴对称后的图形，或特定三角形、四边形）。 (2)命题特点 1. “操作”与“推理”并重：绝非单纯考查作图技能，而是*“以作图为载体，考查几何原理”*。作 图后常紧跟“求证某结论”或“求某线段长”，将动手操作与逻辑推理紧密结合。 2. 基础作图是核心：题目本质是对五种基本尺规作图（作一条线段等于己知线段、作一个角等于已知角、 作角平分线、作线段的垂直平分线、过一点作己知直线的垂线)的直接应用或组合应用。 3.融合性强，背景丰富：作图任务常置于特殊的几何图形（如菱形、矩形、圆、平行四边形）或几何变 换（平移、旋转、轴对称、位似）的背景下进行考查。 网格作图的“几何直观”要求高：利用网格的对称性和勾股数，考查学生对图形变换性质（对应点连 线平行/垂直、距离相等、角度相等等)的直观理解和精准操作。 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 核心考查内容与能力要求 1.核心知识： ()五种基本尺规作图的原理与步骤。 (②)图形变换（平移、旋转、轴对称、位似）的基本性质。 (3)特殊四边形（菱形、矩形、正方形、平行四边形）的判定与性质。 (④)圆的基本性质（垂径定理、切线性质等）。 2.核心能力： (①)几何直观与空间想象能力：能根据文字指令想象出最终图形，并在网格或平面上准确呈现。 (2)逻辑推理能力：能依据作图步骤，推理出所作图形满足题目要求的原因。 (3)程序化操作与规范表达能力：能有序、规范地使用尺规完成作图，并清晰保留作图痕迹。 趋势展望 预计2026年中考将保持现有风格，并可能增加探究性： 1. 尺规作图：可能更侧重“探究一作图一验证”的完整过程，或要求根据作图痕迹逆向推理原始条件 2.网格作图：可能融入更多动态元素或限制条件（如“画出所有符合条件的点”），考查分类讨论思想。 3.与其它热点的结合：可能与解直角三角形、函数图像等结合，要求先作图构建模型，再进行求解。 2026年中考复习备考方向与策略建议 1. 回归本源，掌握“五种基本作图”：必须让学生理解每一种基本作图的数学原理（如垂直平分线基于 “到两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”)，而不仅仅是记忆步骤。这是解决所有复杂作图 题的基石。 2. 强化“作图语言”与“几何语言”的互译训练：带领学生练习将“作一个点，使该点满足某条件”之 类的文字描述，转化为具体的尺规操作步骤。 3. 专题训练“组合作图”与“逆向推理”： (①)组合作图：针对“作菱形”、“过圆外一点作圆的切线”等复杂任务，训练学生将其分解为多个 基本作图的组合。 (②)逆向推理：给出尺规作图痕迹，让学生说明所作的是什么线（如角平分线），并证明其正确性。 4. 提升网格作图的精准度：训练学生在网格中快速识别关键格点，利用网格线确保所作图形的对称性、 平行性和垂直性。强调“先找对应点，再连线成图”的步骤。 5. 规范训练，重视说理：在日常练习中，严格要求学生保留清晰的作图痕迹（弧、交点）。对于需要说 明理由的题目，训练学生用严谨的几何语言进行表述。 ⊙题型引领 饼方法 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01基础尺规作图应用 解|题|策|略 1.典型题干特征：直接要求完成一个基本作图或简单组合，如“作∠AOB的平分线”、“作线段AB的垂 直平分线”、“过点C作直线1的垂线”。 2. 核心策略：直接调用五种基本尺规作图方法。 3.实战技巧与步骤： (1)审题定类型：明确题目要求对应哪一种或哪几种基本作图。 (②)规范操作：严格按照基本作图步骤操作，圆心、半径要画清楚，交点要标出。 (3)完成作图：作出最终要求的线或点，并保留所有作图痕迹（决定最终线的弧线不能擦掉）。 4. 教学关键：确保学生工具使用规范，理解每一步操作的几何依据。 例更(2025浙江杭州模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交BC于点D,连接AD,若AC=8,BC=I2, 则△DAC的周长为() A.17 B.16 C.18 D.20 例2(2025浙江台州二模)如图，在ABC中，AB=AC,且AB>BC. 任务①：请小明作∠A的平分线AD;任务②：请小红作AC边上的高线BE; 小明的作法如图①：分别以B,C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点M,作射线AM交BC于点D, 则AD为∠A的平分线： 小红的作法如图②：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点N,再分别以N,C为圆心，大于 CN长为半径画弧，两弧交于点G,作射线BG交AC于点E:则BE为AC边上的高线. G米 B 图① 图② (1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法 ②小红的作法 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请从(1)中任选一项判断说明理由. 【变式1】(2025浙江模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=2. (1)尺规作图： ①作∠BAC的角平分线AD,交BC于点P; ②作点P到AB的距离PE.(保留作图痕迹，不写作法)· (2)在(1)的条件下，求BE的长. 【变式2】(2025浙江衢州模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC. (I)用无刻度的直尺和圆规作线段AC的中垂线，分别交边AD、BC于点E、F.(保留作图痕迹，不写 作法) (2)连接AF,CE,求证：四边形AFCE为菱形. 【变式3】(2025浙江衢州一模)如图1，∠B=30°，AB=8.在图1中，用无刻度的直尺和圆规作 ABC,使AC=a. B30 图1 图2 (1)若线段α长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形； (2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的α的值. 题型02特殊图形的尺规作图 解|题|策|略 1.典型题干特征：在给定图形（如三角形、平行四边形）中，要求作出一个特殊图形，如“在口ABCD 的边BC上找一点E,使四边形ABED是菱形”(2024浙江卷21题)、“在△ABC中作菱形”等。 2. 核心策略：将特殊图形的判定条件转化为尺规作图任务。 3. 实战技巧与步骤： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)分析条件：分析目标图形（如菱形)的判定条件（如邻边相等的平行四边形、对角线垂直平分 的四边形)。 (②)转化任务：将判定条件分解为可操作的作图指令。例如，作菱形可转化为：①作一边的垂直平 分线（确定对角线的位置）；②以垂直平分线与边的交点为圆心，一定长为半径截取等长线段。 (3)执行操作：按分解后的步骤进行尺规作图。 (④)验证简述（若题目要求）：简要说明所作图形满足条件的理由。 4. 常见模型：作己知角的等角、作已知线段的垂直平分线、截取等长线段是此类题目的常用手段。 例1(2026浙江舟山一模)已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD 小亮的作法：如图1，连接BD,分别以D、B为圆心大于BD的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四 2 边形两边交于点A,C,连接AB,CD,则四边形ABCD即为菱形. 图1 图2 (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由： (2)小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在 图2中作出图形（保留作图痕迹）· 例2(2025浙江模拟预测)如图，在ABC中，AB=AC,点E在AB上，以点A为圆心，AE长为半 径画弧，交AC于点F,再分别以点E,F为圆心，大于二EF长为半径画弧，两弧相交于点P,连结AP 并延长，交BC于点D. B D (I)求证：DE=DF. (②)当EB=ED时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由. 【变式1】(2025浙江宁波模拟预测)如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (I)尺规作图：作CF平分BCD交AD于点F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：四边形AECF是平行四边形 【变式2】(2025浙江金华模拟预测)己知平行四边形ABCD,观察如图所示的尺规作图痕迹. D (I)求证：四边形ABEF是菱形； (2)连结AE,若AE=6,BF=8,记AD与BC之间的距离为h,求h的值. 【变式3】(2025浙江衢州三模)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，点E为AD上一点， 且CE平分∠ACD. E D B (I)请利用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线交BC于点F(保留作图痕迹)· (2)在(1)的基础上，求证：四边形AFCE是平行四边形. 题型03网格中的图研形变换作图 解|题|策|略 1. 典型题干特征：在正方形网格中，给出了一个格点三角形或多边形，要求画出它经过平移、旋转、 轴对称后的图形。 2.核心策略：抓住图形变换的本质，确定关键点的对应点，再连线。 3.实战技巧与步骤： (1)平移：确定平移方向和距离。每个顶点沿相同方向移动相同格数，得到对应点后连线。 (②)旋转：确定旋转中心、方向和角度。分别将每个顶点与旋转中心相连，绕中心按指定方向旋转 指定角度（通常为90°、180°），找到对应点后连线。可利用网格正方形的直角特性辅助定位。 (3)轴对称：确定对称轴。作每个顶点关于对称轴的垂线，并截取等距，得到对称点后连线。 4.易错点：旋转时方向错误；轴对称时找对称点不准确。务必利用网格的几何特征进行校验。 例1(2023浙江宁波模拟预测)如图，在方格纸中，ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上， 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 按要求作一个三角形（每小题只需作出一个三角形即可），使它的顶点在方格的顶点上 A C (图1〉 (图2) (图3) (I)如图1，将ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部. (2)如图2，以点C为旋转中心，将ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部. (3)如图3，过点B作出平分ABC面积的直线I 例2(2024浙江台州模拟预测)如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格 点，ABC的三个顶点均在格点上， (I)将ABC先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的△A'B'C'. (2)点D为边BC与网格线的交点，试用无刻度的直尺找出点D关于AB对称的对称点D 【变式1】(2024浙江温州模拟预测)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A1,-1),B(2,-4),C(5,-3. 4 2 儿.... - :-2 2 (I)将ABC先向左平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A,B,C,画出两次平移后的△A,BC,并 写出点A的坐标； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)画出△AB,C绕点C顺时针旋转90°后得到的△A,B,C1,并写出点4的坐标： (3)在(2)的条件下，求旋转过程中点A所经过的路径长，（结果保留π） 【变式2】(2024浙江台州·三模)如图是8×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，ABC的 三个顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图。 B 图1 图2 (I)在图1中画出一个以A、B、C、D为顶点的平行四边形： (2在图2的BC边上画点E,使BE={ EC3 【变式3】(2024浙江温州·二模)如图，在5×6的方格纸中，已知格点ABC和格点M,请按要求画 格点三角形（顶点均在格点上）· 图1 图2 (I)在图1中，画出ABC平移后的图形，使M为其中一边的中点 (2)在图2中，画出与ABC成中心对称的图形，使M为其中的一个顶点. 题型04网格中满足条件的图形作图 解|题|策|略 1.典型题干特征：在网格中，要求画出一个满足特定条件的格点三角形或四边形，如“以格点P为顶点 画等腰三角形”、“画出以AB为一边的直角三角形”等。 2. 核心策略：利用网格的勾股定理和对称性，进行穷举或构造。 3. 能力要求：此题型要求学生熟悉常见的网格线段长，并具备较强的直观探索能力。 例1(2024浙江宁波模拟预测)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在 小正方形的顶点上. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 (1)在图1中画出以线段AB为一边且面积为12的平行四边形ABCD(点C和点D均在小正方形的顶点 上，画出一个即可) (②)在图2中画出以线段AB为腰，底边长为25的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上.再画出 该三角形向左平移4个单位后的△A'B'E'(画出一个即可). 例2(2023浙江温州一模)如图，在4×8的方格纸中，己知线段AB,请按要求画格点图形（顶点均在 格点上)· B 图1 图2 (1)在图1中画一个以AB为腰的等腰三角形ABC,再画出该三角形向右平移2个单位后的图形. (2)在图2中画一个以AB为斜边的直角三角形ABD,再画出该三角形关于直线AB的轴对称图形， 【变式1】(2023浙江温州·三模)如图在10×10的方格纸中，已知ABC各顶点均在格点上，请按要求 画格点三角形（顶点均在格点上）. (I)在图中画出ABC平移后的△A'B'C',使点D为△A'B'C'的一边中点. (2)在图中画aDEF,使它与ABC成轴对称，且点C与点D对应，并画出对称轴. 【变式2】(2025浙江丽水·二模)如图，在5×5的方格纸中，ABC三个顶点在格点上.用无刻度的 直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由 B 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)在BC边上找一点P,使得AP⊥BC; (2)将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB'C'. 【变式3】(2025浙江模拟预测)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正 方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图 D (1) (2) (1)在图(1)中，将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF; (2)在图(2)中，M是BE与网格线的交点，画点M关于BD的对称点N. 题型05尺规作图与几何明、计算综合 解|题|策|略 1.典型题干特征：先要求完成尺规作图，再基于所作图形进行证明或计算，如“求证：四边形XX是菱 形”或“若X=XX,求XX的长”。 2. 核心策略：作图是前提，推理是核心。作图时必须保证所作图形满足后续证明所需的条件。 3.实战流程： ()精准作图：严格按照题目隐含的几何条件进行作图，这是后续所有推理的基础。 (②)识别图形：观察所作图形，识别其中的全等、等腰、平行等基本关系。 (3)逻辑证明/计算：利用图形的几何性质进行证明或列方程计算。作图痕迹本身（如弧线）就是边 相等或角相等的直观证据。 4. 教学重点：引导学生建立“作图操作”与“几何性质”之间的必然联系，理解为什么这样作图就能保证图 形满足某个条件。 例1(2025·浙江杭州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,点O为对角线BD的中点，E为 线段AB上一点，连结EO,并延长交DC于点F,以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD于点M, 交EF于点N.再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点P,连接FP,并延长交线段AB于点 Q.则下列两个命题中说法正确的是() E OB ①△QEF为等腰三角形； ②设AE长为x,BQ长为y,则4-x)4-y)=4. 热点04 尺规作图与网格作图题训练 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 基础尺规作图应用 题型02 特殊图形的尺规作图 题型03 网格中的图形变换作图 题型04 网格中满足条件的图形作图 题型05 尺规作图与几何证明、计算综合 题型06 无刻度直尺作图 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查稳定出现，形式灵活，主要分布在解答题中，通常作为一道独立的中档题（6-8分）。 1. 尺规作图：提供文字描述或简单图形，要求用无刻度的直尺和圆规完成指定作图，并保留作图痕迹，不要求写作法。常与证明、计算结合。 2. 网格作图：在正方形网格（如4×4、5×5）或平面直角坐标系的网格背景下，要求画出符合特定条件的格点图形（如平移、旋转、轴对称后的图形，或特定三角形、四边形）。 （2）命题特点 1. “操作”与“推理”并重：绝非单纯考查作图技能，而是**“以作图为载体，考查几何原理”**。作图后常紧跟“求证某结论”或“求某线段长”，将动手操作与逻辑推理紧密结合。 2. 基础作图是核心：题目本质是对五种基本尺规作图（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线）的直接应用或组合应用。 3. 融合性强，背景丰富：作图任务常置于特殊的几何图形（如菱形、矩形、圆、平行四边形）或几何变换（平移、旋转、轴对称、位似）的背景下进行考查。 4. 网格作图的“几何直观”要求高：利用网格的对称性和勾股数，考查学生对图形变换性质（对应点连线平行/垂直、距离相等、角度相等等）的直观理解和精准操作。 核心考查内容与能力要求 1. 核心知识： (1) 五种基本尺规作图的原理与步骤。 (2) 图形变换（平移、旋转、轴对称、位似）的基本性质。 (3) 特殊四边形（菱形、矩形、正方形、平行四边形）的判定与性质。 (4) 圆的基本性质（垂径定理、切线性质等）。 2. 核心能力： (1) 几何直观与空间想象能力：能根据文字指令想象出最终图形，并在网格或平面上准确呈现。 (2) 逻辑推理能力：能依据作图步骤，推理出所作图形满足题目要求的原因。 (3) 程序化操作与规范表达能力：能有序、规范地使用尺规完成作图，并清晰保留作图痕迹。 趋势展望 预计2026年中考将保持现有风格，并可能增加探究性： 1. 尺规作图：可能更侧重“探究—作图—验证”的完整过程，或要求根据作图痕迹逆向推理原始条件 2. 网格作图：可能融入更多动态元素或限制条件（如“画出所有符合条件的点”），考查分类讨论思想。 3. 与其它热点的结合：可能与解直角三角形、函数图像等结合，要求先作图构建模型，再进行求解。 2026年中考复习备考方向与策略建议 1. 回归本源，掌握“五种基本作图”：必须让学生理解每一种基本作图的数学原理（如垂直平分线基于“到两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”），而不仅仅是记忆步骤。这是解决所有复杂作图题的基石。 2. 强化“作图语言”与“几何语言”的互译训练：带领学生练习将“作一个点，使该点满足某条件”之类的文字描述，转化为具体的尺规操作步骤。 3. 专题训练“组合作图”与“逆向推理”： (1) 组合作图：针对“作菱形”、“过圆外一点作圆的切线”等复杂任务，训练学生将其分解为多个基本作图的组合。 (2) 逆向推理：给出尺规作图痕迹，让学生说明所作的是什么线（如角平分线），并证明其正确性。 4. 提升网格作图的精准度：训练学生在网格中快速识别关键格点，利用网格线确保所作图形的对称性、平行性和垂直性。强调“先找对应点，再连线成图”的步骤。 5. 规范训练，重视说理：在日常练习中，严格要求学生保留清晰的作图痕迹（弧、交点）。对于需要说明理由的题目，训练学生用严谨的几何语言进行表述。 题型01 基础尺规作图应用 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：直接要求完成一个基本作图或简单组合，如“作∠AOB的平分线”、“作线段AB的垂直平分线”、“过点C作直线l的垂线”。 2. 核心策略：直接调用五种基本尺规作图方法。 3. 实战技巧与步骤： (1) 审题定类型：明确题目要求对应哪一种或哪几种基本作图。 (2) 规范操作：严格按照基本作图步骤操作，圆心、半径要画清楚，交点要标出。 (3) 完成作图：作出最终要求的线或点，并保留所有作图痕迹（决定最终线的弧线不能擦掉）。 4. 教学关键：确保学生工具使用规范，理解每一步操作的几何依据。 例1（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：D． 例2（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，且． 任务①：请小明作的平分线；任务②：请小红作边上的高线； 小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点D，则为的平分线； 小红的作法如图②：以B为圆心，长为半径画弧，交于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E；则为边上的高线． (1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法________；②小红的作法________； (2)请从（1）中任选一项判断说明理由． 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【分析】此题考查了尺规作图，菱形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）他们的作图方法都是正确的； （2）①小明的作法：连接，，证明四边形菱形，即可证明平分； ②小红的作法：连接，，，证明是线段的垂直平分线，即可证明为边上的高线． 【详解】（1）解：他们的作图方法都是正确的， 故答案为：正确；正确； （2）解：①小明的作法： 连接，， 由作图知，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴平分； ②小红的作法： 连接，，， 由作图知，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴为边上的高线． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作的角平分线，交于点P； ②作点P到的距离．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、全等三角形的性质与判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）①利用尺规作角平分线的方法即可作图；②利用尺规作垂线的方法即可作图； （2）利用勾股定理求出，再通过证明，得到，利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图所示，角平分线和点P即为所求： ②如图所示，点P到的距离即为所求： （2）解：， ， ， ， 由（1）作图得，平分，， ，， ， 又， ， ， ， 的长为． 【变式2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作线段的中垂线，分别交边、于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：如图，连接，， ∵垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式3】（2025·浙江衢州·一模）如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使． (1)若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形； (2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作弧，交的另一边于，，连接，即可； （2）当时，唯一，此时， 【详解】（1）如图，，即为所求； （2）解：当时，唯一，此时， ． 题型02 特殊图形的尺规作图 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：在给定图形（如三角形、平行四边形）中，要求作出一个特殊图形，如“在▱ABCD的边BC上找一点E，使四边形ABED是菱形”（2024浙江卷21题）、“在△ABC中作菱形”等。 2. 核心策略：将特殊图形的判定条件转化为尺规作图任务。 3. 实战技巧与步骤： (1) 分析条件：分析目标图形（如菱形）的判定条件（如邻边相等的平行四边形、对角线垂直平分的四边形）。 (2) 转化任务：将判定条件分解为可操作的作图指令。例如，作菱形可转化为：①作一边的垂直平分线（确定对角线的位置）；②以垂直平分线与边的交点为圆心，一定长为半径截取等长线段。 (3) 执行操作：按分解后的步骤进行尺规作图。 (4) 验证简述（若题目要求）：简要说明所作图形满足条件的理由。 4. 常见模型：作已知角的等角、作已知线段的垂直平分线、截取等长线段是此类题目的常用手段。 例1（2026·浙江舟山·一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． (1)判断小亮的作法是否正确，并说明理由； (2)小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)小亮的作法正确，理由见解析； (2)小丽的作法错误；见解析． 【分析】（1）设与交于点，由作图方法可知，垂直平分，则，证明，推出，据此可得结论； （2）先根据角平分线的尺规作图方法作图，再根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，进一步可证明，则四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明，则无法证明是菱形，据此可得结论． 【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下： 设与交于点． 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，即． ， ∴， ∴， ∴ 四边形是菱形； （2）解：作图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明是菱形， ∴小丽的作法不正确． 例2（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在上，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，连结并延长，交于点． (1)求证：． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是菱形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据题意可得：，平分，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答； （2）先利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用（1）的结论和等量代换可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：由题意得，平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，平行四边形中，平分交于点E． (1)尺规作图：作平分交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）作角平分线交于点F即可； （2）由平行四边形的性质得到，由角平分线的定义得到，证明，则，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（2025·浙江金华·模拟预测）已知平行四边形，观察如图所示的尺规作图痕迹． (1)求证：四边形是菱形； (2)连结，若，，记与之间的距离为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，基本作图，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行+角平分线得到，由作图得到，继而，即可先证明为平行四边形，再证明为菱形； （2）根据菱形的性质以及勾股定理求出菱形边长，再由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）证明：设交于点， 在平行四边形中，有， ， 由作图得：，平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为菱形； （2）解：为菱形； ，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2025·浙江衢州·三模）如图，在平行四边形中，为对角线，点为上一点，且平分． (1)请利用无刻度的直尺和圆规作出的平分线交于点（保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作出的平分线交于点，即可作答． （2）先根据四边形是平行四边形，得，则， 因为平分，且由（1）得平分，故，所以，运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】（1）解：的平分线交于点，如图所示： （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，且由（1）得平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型03 网格中的图形变换作图 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：在正方形网格中，给出了一个格点三角形或多边形，要求画出它经过平移、旋转、轴对称后的图形。 2. 核心策略：抓住图形变换的本质，确定关键点的对应点，再连线。 3. 实战技巧与步骤： (1) 平移：确定平移方向和距离。每个顶点沿相同方向移动相同格数，得到对应点后连线。 (2) 旋转：确定旋转中心、方向和角度。分别将每个顶点与旋转中心相连，绕中心按指定方向旋转指定角度（通常为90°、180°），找到对应点后连线。可利用网格正方形的直角特性辅助定位。 (3) 轴对称：确定对称轴。作每个顶点关于对称轴的垂线，并截取等距，得到对称点后连线。 4. 易错点：旋转时方向错误；轴对称时找对称点不准确。务必利用网格的几何特征进行校验。 例1（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上，按要求作一个三角形（每小题只需作出一个三角形即可），使它的顶点在方格的顶点上． (1)如图1，将平移，使点落在平移后的三角形内部． (2)如图2，以点为旋转中心，将旋转，使点落在旋转后的三角形内部． (3)如图3，过点作出平分面积的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查图形的平移或旋转，熟练掌握平移或旋转的性质是解题的关键， （1）根据平移的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质即可得到答案； （3）根据三角形等面积（同底等高），找出的中点，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：平移后的三角形如图1所示（答案不唯一）． （2）解：旋转后的三角形如图2所示． （3）解：平分面积的直线如图3所示． 例2（2024·浙江台州·模拟预测）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．    (1)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的． (2)点D为边与网格线的交点，试用无刻度的直尺找出点D关于对称的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图，作轴对称图形，熟练掌握平移的性质与轴对称的性质是解题的关键． （1）利用平移性质作出点A、B、C的对应点、、．再顺次连接即可； （2）利用网格和轴对称的性质作出点C关于的对称点，再连接这点与点B，交格线的点即为所求点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，    （2）解：如图所示，点即为所求．    【变式1】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出两次平移后的， 并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求旋转过程中点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)． 【分析】（）利用平移的性质作出对应点，然后连接即可； （）利用旋转的性质作出对应点，然后连接即可； （）用勾股定理求出，再利用弧长公式求解； 本题考查了平移，旋转，勾股定理和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求，； （2）解：如图， ∴即为所求，； （3）解：∵， ∴旋转过程中点所经过的路径长为：． 【变式2】（2024·浙江台州·三模）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的三个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图．    (1)在图1中画出一个以为顶点的平行四边形； (2)在图2的边上画点，使． 【答案】(1)作图见解析（答案不唯一） (2)作图见解析 【分析】本题考查负值作图，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，根据题意，结合平行四边形性质、相似三角形的性质作图即可得到答案． （1）由平行四边形性质，取的矩形，连接对角线；取的矩形，连接对角线；取的矩形，连接对角线；任选一个即可满足题意； （2）将点向下平移1个单位长度得到；将点向上平移3个单位长度得到，连接与交于点，根据相似性质即可得到． 【详解】（1）解：如图所示：   即是所求平行四边形（或或均可）； （2）解：如图所示：   点即为所求． 【变式3】（2024·浙江温州·二模）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点． (2)在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作图一平移变换、旋转变换，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质结合网格特点即可作出图形； （2）根据中心对称的性质结合网格特点即可作出图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； 题型04 网格中满足条件的图形作图 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：在网格中，要求画出一个满足特定条件的格点三角形或四边形，如“以格点P为顶点画等腰三角形”、“画出以AB为一边的直角三角形”等。 2. 核心策略：利用网格的勾股定理和对称性，进行穷举或构造。 3. 能力要求：此题型要求学生熟悉常见的网格线段长，并具备较强的直观探索能力。 例1（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以线段为一边且面积为12的平行四边形（点C和点D均在小正方形的顶点上，画出一个即可）． (2)在图2中画出以线段为腰，底边长为的等腰三角形，点E在小正方形的顶点上． 再画出该三角形向左平移4个单位后的（画出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握平移的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定按要求画图即可； 根据等腰三角形的判定、勾股定理、平移的性质分别画图即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图，等腰三角形和即为所求（答案不唯一）． 例2（2023·浙江温州·一模）如图，在的方格纸中，已知线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个以为腰的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形． (2)在图2中画一个以为斜边的直角三角形，再画出该三角形关于直线的轴对称图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，先作出图形，再画出向右平移2个单位后的图形，即可作答． （2）根据直角三角形的定义，先作出图形，再画该三角形关于直线的轴对称图形，即可作答． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 【点睛】本题考查了等腰三角形以及平移的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质．综合性适中，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2023·浙江温州·三模）如图在的方格纸中，已知各顶点均在格点上，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图中画出平移后的，使点为的一边中点． (2)在图中画，使它与成轴对称，且点与点对应，并画出对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质画出即可； （2）画出对称轴，利用轴对称的性质画出即可； 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （2）如图所示，即为所求；    【点睛】本题考查了作图-平移变换，作图轴对称变换，正确地作出图形是解题的关键 【变式2】（2025·浙江丽水·二模）如图，在5×5的方格纸中，三个顶点在格点上．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． (1)在边上找一点，使得； (2)将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的性质与判定，画旋转图形， （1）取的格点，连接交于点，则点即为所求 （2）根据旋转的性质找到的对应点，进而画出． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段绕点B顺时针旋转，画对应线段； (2)在图（2）中，M是与网格线的交点，画点M关于的对称点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，旋转变换． （1）根据旋转的性质结合网格特点作图； （2）根据轴对称的性质，先画出线段关于的对称线段，再根据轴对称的性质并结合网格画点． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，点N即为所求． 题型05 尺规作图与几何证明、计算综合 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：先要求完成尺规作图，再基于所作图形进行证明或计算，如“求证：四边形XX是菱形”或“若XX=XX，求XX的长”。 2. 核心策略：作图是前提，推理是核心。作图时必须保证所作图形满足后续证明所需的条件。 3. 实战流程： (1) 精准作图：严格按照题目隐含的几何条件进行作图，这是后续所有推理的基础。 (2) 识别图形：观察所作图形，识别其中的全等、等腰、平行等基本关系。 (3) 逻辑证明/计算：利用图形的几何性质进行证明或列方程计算。作图痕迹本身（如弧线）就是边相等或角相等的直观证据。 4. 教学重点：引导学生建立“作图操作”与“几何性质”之间的必然联系，理解为什么这样作图就能保证图形满足某个条件。 例1（2025·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段于点．则下列两个命题中说法正确的是（    ） 为等腰三角形； 设长为，长为，则． A．正确，正确 B．正确，错误 C．错误，正确 D．错误，错误 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由已知、根据“两直线平行， 内错角相等”得，由作图可知，从而得到，由“等角对等边”得到，即是等腰三角形，结论正确；由已知、根据证明，得到，从而得到，过点作 于点，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形是矩形，从而得到，在中，由勾股定理得，整理得得出结论正确． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，结论正确； 矩形中，，，， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理， 得即， ∴， ， ， ∴，即结论正确， 故选：． 例2（2025·浙江杭州·三模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； (3)如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）设过点能作直线“紫金线”交于点，证出，得出与周长不相等，则可得出结论； （2）由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，证明，得出，则可得出结论； （3）作出的中垂线，记直线与，分别交于点、，连接，证明直线平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过点不能作出的“紫金线”， 理由：设过点能作直线“紫金线”交于点， 如图： 则点为中点，满足平分面积， ， ， 与周长不相等， 故不能平分该图形周长， 不能作出的“紫金线”； （2）解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”， 则是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，左右两部分梯形面积也一样， 即平分周长也平分面积， 直线是矩形的“紫金线”， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，直线即为所求： 记直线与，分别交于点、，连接，． 直线是的垂直平分线， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， 直线平分该图形周长， ， ， 直线平分该图形面积， 直线为四边形的“紫金线”． 【变式1】（2025·浙江杭州·三模）如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． (1)请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． (2)请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 作线段的垂直平分线，交弧于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求． 正确， 理由：由作图知，平分， ， ； （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点， 则点即为所求． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）如图，直线，连接，作的平分线，交于点C． (1)求证：． (2)圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义，证明即可． （2）不能证明是菱形，正确做法是：作的平分线，交于点D． 【详解】（1）证明：∵, ∴， ∵的平分线是， ∴， ∴， ∴． （2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.正确的做法如下： 作的平分线，交于点E，交于点D． ∵, ∴， ∵的平分线与的平分线相交于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线垂直平分线线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式3】（2025·浙江温州·一模）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？ 小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． (1)按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线． (2)小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：正确， 证明：四边形为平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ， 平分． 题型06 无刻度直尺作图 解｜题｜策｜略 1. 典型题干特征：限定工具为“无刻度的直尺”，在给定的具有特殊性质的图形（如网格、菱形、矩形、含切线的圆）中，完成特定作图，如“作出某条线段的中点”、“作出某个角的平分线”。 2. 核心策略：利用给定图形的特殊性质（平行、中点、对称、切线等）和几何定理，进行“连线”构造。 3. 实战技巧： (1) 网格中：充分利用网格线的平行和垂直关系，连接对角线、中点等可以构造出平行线，从而实现等分。 (2) 特殊四边形中：菱形、矩形的对角线性质（互相平分、垂直、相等）是解题关键。连接对角线交点与顶点，常能解决中点、平行等问题。 (3) 圆中：利用直径对直角、切线垂直于过切点的半径等性质进行构造。 4. 能力侧重：此题型高度考查学生对图形性质的深刻理解和在限制条件下的创造性构图能力。 例1（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 例2（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）网格作图问题： 【问题背景】如图，在边长为的小正方形网格中的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在上找一点，使得． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图，我在点左侧找到一个点，然后将这个点和连结，与的交点即为所求． 小帆：按照你的思路，我也可以在点的正上方找到一个点，然后将这个点…… 老师：由，我们可以得到是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点呢？ 小金：哦…我明白了！ (1)请你按照小帆的作法，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） (2)请你按照老师的提示，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】（1）根据勾股定理可得，取格点、，连接构造一组相似三角形，即，则，即此时点满足； （2）先构造等腰，作边中线，根据三线合一定理可知，再作，可证，则有，有，即此时点满足． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接交于点，点即为所求： （2）解：取格点，连接，取的中点，连接， 取格点，使，交于点，点即为所求： 【点睛】本题考查的知识点是作图—应用与设计作图，勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识点并用于设计作图． 【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)如图1是的正方形网格，点，均在格点上，作线段的中点； (2)如图2，在，点为的中点，作边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形三条中线交于一点的性质． （1）取格点，连接交于点,可证明即可； （2）连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求，可用三角形的三条中线交于一点来解释． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 【变式3】（2025·浙江绍兴·二模）小张和小李分别完成一个作图问题： 如图1，在中，是边上一点，连结．利用适当的作图工具在边上作一点，使得． 小张：如图1，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结即为所求． 小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图． (1)给出小张作法中的证明过程； (2)请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）证明四边形是平行四边形即可； （2）连接与交于点，连接并延长交于点，连接．则点Q即为所求． 【详解】（1）证明：在中，由作法得， ，而， 四边形为平行四边形． ． （2）解：如图，点Q即为所求． （20分钟限时练） 一、单选题 1．（2026·浙江·二模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可证明为等边三角形，则，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（2024·浙江金华·二模）根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线平分的有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的作法以及全等三角形的判定和性质逐一进行判断即可． 【详解】图①中，利用基本作图可判断平分； 在图②中，根据基本作图可得是的中点，不能判断平分； 在图③中， 根据作图可得，是半圆的直径， ∴ ∴平分； 图④根据作法可知： ，， 在和中，， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， 所以点到和的距离相等， 平分； 综上，只有图②不能判定平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,直径所对的圆周角是直角，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 3．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定． 【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结， ∴， 由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段， 故D正确； ∵无法确定和的关系， ∴A和D无法确定； 只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定； 故选D． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：第一步，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（　　） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的“三线合一”定理，勾股定理，由等腰三角形的“三线合一”定理得到，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：由作法得是的平分线， ， ，， 在中， ． 故选：A． 二、填空题 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，如图，在菱形中，按如下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点、； ②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接．若，则的长为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形；根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知，，即，则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：四边形为菱形， ， 依题意．题中作图为作边垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得： ， 故答案为：． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，． 按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与的两边分别交于、两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作两弧相交于点，过、两点作射线；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于、两点，过点、作直线分别交射线、边于点、．则的长是______ 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，垂直平分线，等腰三角形的性质以及勾股定理，根据作图得出，连接，可得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示 ∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∵ ∴ 又是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 7．（2023·浙江杭州·三模）如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则_____，的长为_____（用含a的代数式表示）．    【答案】 【分析】由题干的作图步骤可知：，，即，由菱形的性质可得则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：依题意．题中作图为作边垂直平分线， ∴，，即， ∴，即，； ∴； 四边形为菱形， ，，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的作法、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，能根据作图步骤知道作图所表示的含义是解答本题的关键． 三、解答题 8．（2025·浙江温州·二模）小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． (1)填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”） 小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______． (2)请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 【答案】(1)正确；错误；正确 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理判定，根据角的平分线的交点是三角形的内心，判定，利用三角形外角性质判定解答即可． （2）利用外心，圆周角定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定： 小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确． 故答案为：正确；错误；正确． （2）证明： 小聪的作图： 根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角， 故． 小明的作图思路： 根据题意，得，， 故． 【点睛】本题考查了基本作图，圆周角定理，内心的意义，三角形的外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 9．（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线交于点P，即可得到； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点P，即为所求作： （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据作图痕迹，平分，设，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， 由，， 解得， ∴； ②当时，， 由得， 解得， ∴； ③当时，，则， 由得，则，不符合题意， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．（2025·浙江·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (1)如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使； (2)如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． ①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点； ②若，则的长度为多少． 【答案】(1)作图见解析 (2)①作图见解析；②5 【分析】（1）延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示，即可在图中画的内接三角形，使； （2）①过点尺规作图作即可得到答案；②由切线性质，结合平行线的性质证明平分，再根据三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点，如图所示： ∵， ∴，                        ∵为的直径， ∴，            ∴，则即为所求； （2）解：①过点作，交与点，如图所示： ∵为直径，， ∴为的切线；                ②∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆综合，综合性较强，难度适中，涉及无刻度直尺作图、圆周角定理、三角形的相似判定、尺规作图作垂线、切线的判定、平行线性质、直径所对的圆周角是直角、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质和三角形相似的判定定理是解本题的关键． / 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