精品解析：山东泰安市新泰中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性考试数学试题

新泰中学2025级高一下学期第一次阶段性考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 7. 设平面向量，，且，则=（ ） A. 1 B. 14 C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 在中，，，，为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当为边中点时， D. 若点为内任一点，的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是复数且，则的最小值为___________. 13. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m． 14. 中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______. 四、解答题 15 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点B，C的坐标； （2）求证：四边形OABC为等腰梯形． 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 18. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若该三角形为锐角三角形，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2025级高一下学期第一次阶段性考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 2. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在OAC和OBD中，根据是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解. 【详解】解：在OAC中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 在OBD中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 所以． 故选：D． 3. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的周期性化简，再利用复数的四则运算化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：D. 4. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 5. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 6. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 7. 设平面向量，，且，则=（ ） A 1 B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出把两边平方，可求得，把所求展开即可求解. 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11. 在中，，，，为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当为边中点时， D. 若点为内任一点，的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据余弦定理求解，判定A正确；结合三角形面积公式，利用等面积法建立方程求解，可判定B正确；结合，结合模的计算公式，可判定C错误；建立平面直角坐标系，表示出、和从而得到，利用即可求得最小值，可判定D错误. 【详解】对于A中，在中，由余弦定理得 即，所以，所以A正确； 对于B中，当为角的角平分线时， 由等面积法得， 即，解得，所以B正确； 对于C中，由为边中点时，可得， 则， 所以，所以C错误； 对于D中，以为原点，以为轴，过A垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图， 所以，设， 则，，， ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为.所以D错误. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 13. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解. 【详解】由题意可知，，，，， 设，则，，， 根据， 则，解得： 所以塔尖距离底面高度为米. 故答案为： 14. 中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，， 因为、，则，所以，，故， 由余弦定理可得 ， 所以，，即，故， 当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和共线. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【小问1详解】 由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； 【小问2详解】 若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点B，C的坐标； （2）求证：四边形OABC为等腰梯形． 【答案】（1），；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求解B点坐标，再利用，即得解； （2）利用坐标，可得，分析即得解 【详解】（1）设，则， ， ∴， ∴，． （2）证明：连接OC．∵，， ∴，∴． 又，， ∴四边形OABC为等腰梯形． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【小问1详解】 因在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故，. 所以 故①式. 故. 18. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若该三角形为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简求值即可. （2）由正弦定理及辅助角公式求解即可. （3）根据正弦定理及辅助角公式求出的解析式，结合锐角三角形求出角的范围，进而求的 范围即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得， 即，又，所以. 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. 【小问3详解】 由正弦定理得， 则，， 可得， 因为该三角形为锐角三角形，所以，，均为锐角，且， 所以，解得，则，所以， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $