精品解析：2026年广东省深圳市南山区北京师范大学深圳南山附属学校中学部九年级中考数学第一次模拟考试试卷

2025-2026学年第二学期九年级一模考试数学试卷 时间：90分钟 总分：100分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知规则确定公元年份的记法即可得出结果． 【详解】解：∵公元前600年记作年，说明规定公元前用负数表示，公元用正数表示， ∴公元2026年应记作年． 2. 位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案． 【详解】解；从上面看，看到的图形是一个圆，故“中国天眼”的俯视图是圆， 故选：D． 3. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a-b=0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 8. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 计算：________． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据同分母分式加法法则计算后，对结果约分即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴原式． 10. 如图，将沿x轴方向向右平移得到，点B的坐标为，，则点E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，熟练掌握平移变换规律是解答的关键．先由点B坐标求得，进而求得，根据平移性质可求得点E坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∵沿x轴方向向右平移得到， ∴， ∴， ∴点E坐标为， 故答案为：． 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OD、DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点B、点D到对角线AC的距离相等， ∴S△ADE= S△ABE=， ∵AD⊥x轴， ∴AD∥OE， ∴S△ADE=S△ADO=， 设点D(x，y) ， ∴S△ADO=OA×AD=xy=， ∴k=xy=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键． 13. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG， ∵ED⊥DF， ∴∠EDF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°， ∴∠GDF=∠ADE， ∵， ∴， ∴， 又AE=1，解得， 由勾股定理可得，， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键. 三、解答题（共7小题） 14. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、化系数为1解分式方程，注意要检验． 【详解】解：原方程可化为， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为１，， 检验，时，，则为方程的增根， 故原方程无解． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：①图见解析；②；③ 85 ；任务人；任务 3 ：我认为九年级成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图； ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为乘以占比即可； ③根据中位数定义进行求解即可； 任务二：用样本估计总体即可； 任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可． 【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人， 故补全条形统计图，如图所示： ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为： ； ③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90， 则中位数为； 任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：人； 任务三：我认为九年级成绩更好． 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 17. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； （2）当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键． （1）设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，根据两种杯子的购买金额为1550元和全部销售后可获利润210元，建立方程组求出其解即可； （2）设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，表示出购买的总资金，由总资金部超过1600元建立不等式就可以求出的取值范围，再设销售后的总利润为元，表示出总利润与的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润． 【小问1详解】 解：设超市购进甲种水杯个，乙种水杯个，由题意，得 ， 解得：， 答：超市购进甲种水杯个，乙种水杯个； 【小问2详解】 解：设甲种水杯减少，则乙种水杯增加个，由题意，得 ， 解得：． 设全部销售后获得的毛利润为万元，由题意，得 ， 随的增大而增大， 当时，． 答：当超市购进甲种水杯15个，乙种水杯40个时，全部销售后获利最大．最大毛利润为元． 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）如图，过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 以为直径的交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点， 在中，， ， ， ， ，， ， ，，， ∴，，， 四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】对于涉及切线的问题常常连接圆心和切点以及求不规则阴影部分的面积需要通过作辅助线转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． （1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2）、 （3）故y的最大值与最小值的差为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）令直线的函数表达式为，将点，代入，利用待定系数法求解析式即可； （2）由点在抛物线上，可得关于、的方程，根据抛物线与直线仅有一个交点，也可得关于、的方程，由此得出方程组，求解方程组即可； （3）先得出平移后的抛物线的解析式为，再根据“幸运点”求得点，的坐标，得出的取值范围，根据结合二次函数的图像与性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：令直线的函数表达式为， 将点，代入函数表达式， 得，解得， 故直线的函数表达式为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， 可得， 又∵抛物线与直线仅有一个交点， 故方程只有一个实数解， 方程变形为， 即， 可得方程组，解得， 故、． 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为， 结合抛物线与直线， 得方程， 解得或， 故，抛物线的对称轴为直线， 故当，对应函数值最小，此时， 当时，对应函数值最大，此时， ， 故y的最大值与最小值的差为． 20. 如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，的面积最小，最小值是 【解析】 【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可得是的垂直平分线，利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出的面积，再利用轴对称的性质求出四边形的面积； (2)过点作，交于点，利用轴对称的性质可知，根据垂线段最短的性质可知的最小值就是线段的长度，利用等边三角形的性质求出的长度即为的长度； (3)因为四边形为“对称四边形”，可知，，根据垂线段最短可知的最小值是，可得的面积最小值是，再根据对称的性质求出点的坐标． 【详解】(1)解：四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”， ，， 在和中，， ， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形的面积是； 故答案为：； (2)解：如下图所示，过点作，交于点， 四边形是“对称四边形”，是“对称线”， ， ， 当点、、三点共线且时，最小， 即最小， ， ， 由对称可知， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； (3)解：存在， 理由如下： 是“对称线”， ，， 点的坐标为， ， ， 四边形为“对称四边形”， ， 垂线段最短， ， ， 则点的坐标是， 是“对称线”， 点是的中点， 点的坐标是， 当点的坐标是时，的面积最小，最小值是． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据垂线段最短确定当时，的面积最小，再利用轴对称的性质求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级一模考试数学试卷 时间：90分钟 总分：100分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2. 位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 计算：________． 10. 如图，将沿x轴方向向右平移得到，点B的坐标为，，则点E的坐标为______． 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 13. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是________． 三、解答题（共7小题） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 17. 某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/个） 40 25 售价（元/个） 43 30 （1）该超市计划用1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润210元．超市购进甲、乙两种水杯各多少个？ （2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量．已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 19. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． （1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 20. 如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $