计数原理：分类加法与分步乘法计数原理的综合应用、涂色问题、数字排列问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理计数原理单元内容，以“分类加法与分步乘法综合应用、涂色问题、数字排列问题”为核心考点，用表格呈现考点目录，每个考点通过“解题原理+解题思路”模块构建知识脉络，突出分类分步逻辑、相邻约束处理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题链”设计，如非遗手工作坊选嘉宾、校园绿植角涂色等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过“特殊优先分步”“区域顺序涂色”等方法指导，培养逻辑推理与数学思维，例题与变式训练覆盖不同难度，基础生可掌握步骤，优秀生能深化应用，助力教师实施分层教学与精准复习。

计数原理：分类加法与分步乘法计数原理的综合应用、涂色问题、数字排列问题讲义 计数原理：分类加法与分步乘法计数原理的综合应用、涂色问题、数字排列问题讲义 考点目录 分类加法与分步乘法计数原理的综合应用 涂色问题 数字排列问题 考点一 分类加法与分步乘法的综合应用 【知识点解析】 一、解题原理 分类加法（完成一件事有类方法，各类独立，总数=各类方法数和）+分步乘法（完成一件事需步，步步相依，总数=各步方法数积），综合应用时先分类，再对每类分步，类间加、步间乘。 二、解题思路 1. 定目标：明确要完成的“一件事”（如选元素、排位置）； 2. 先分类：按核心约束条件（如元素特征、位置要求）分类，保证类间无重复、无遗漏； 3. 再分步：对每一类，按完成步骤依次拆解，确定每一步的方法数； 4. 算总数：每类内分步用乘法算方法数，各类间用加法求和，得总方法数。 关键：分类标准唯一，优先按“是否符合特殊条件”分类，简化分步难度。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北邢台·月考）某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（    ） A．27 B．54 C．60 D．78 【答案】B 【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 例2．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 例3．（25-26高二下·上海·月考）新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】 【详解】把班和班捆绑为个整体，内部有2种排列顺序， 除去班、班，剩下的元素为：班和班整体加上其余个节目，共个元素， 有种排法， 个元素排好后共产生个空位，从个空位中选个插入班和班，共有种排法， 总方案数为各步骤乘积：种. 例4．（2026·辽宁大连·二模）现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【答案】24 【详解】①甲、乙中有且只有1人被抽到有2种抽法， 若抽到的三人中不含丙，则从剩余的三人中抽取2人有3种抽法， 抽到的3人安排其中一人唱歌有3种抽法， 根据分步乘法计数原理，共有种抽法. ②若抽到的三人中含丙，则丙需被安排去唱歌，甲乙选1人跳舞，除甲、乙、丙的3人中选1人跳舞， 共有种， 根据分类加法原理，共有种抽法. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北保定·月考）某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法， 若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法， 若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法， 由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为. 变式2．（25-26高二上·北京西城·期末）某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有2种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有6种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有2种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 变式3．（24-25高二上·安徽芜湖·月考）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 【答案】57 【分析】按千位数字分类，利用计数原理可得答案. 【详解】在小于2024的四位自然数中， 当千位为1时，“可加数”需满足个位数字，十位数字， 百位数字，共个； 当千位为2时，“可加数”需满足百位只能为0，十位数字， 个位数字，共个； 故“可加数”共有. 变式4．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 【答案】 【详解】对游泳比赛的安排进行分类讨论： ①若游泳比赛安排在第二场，为保证马术、跑步不相邻， 则第一场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种； ②若游泳比赛安排在第三场，为保证马术、跑步不相邻， 则第四场安排马术比赛或跑步比赛，剩余两项比赛的安排无限制， 此时不同的安排方法种数为种. 综上所述，不同的安排方法种数为. 故答案为：. 考点二 涂色问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理涂色重复/相邻约束，核心是按涂色顺序（区域/颜色）分步，相邻区域不同色为核心约束，颜色可重复使用但相邻必不同。 二、解题思路（2大主流法，按需选） 方法1：按区域顺序分步涂色（通用，首选） 1. 定顺序：按区域相邻关系定涂色顺序（如从相邻最多的区域开始，减少分类）； 2. 分步涂：依次给每个区域涂色，每一步确定当前区域的可选颜色数（排除相邻区域已涂颜色）； 3. 遇分类：若某一步涂色受后续区域约束（如颜色可选数不唯一），按可选颜色数分类，再对每类分步； 4. 算总数：步间乘、类间加，得总涂色方法数。 方法2：按颜色数量分类涂色（适用于颜色数固定、区域数少） 1. 定范围：确定完成涂色需用的颜色数（如个区域用种颜色，）； 1. 先选色：从总颜色中选种，用组合数（为总颜色数）； 1. 再涂色：将选好的种颜色按“相邻不同色”涂到区域，用排列数/分步乘法算方法数； 1. 算总数：每类（不同颜色数）内“选色×涂色”，各类间相加。 关键：优先从相邻区域最多的区域开始涂色，减少分类；颜色无区别时只分步，有区别时结合排列。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 【答案】D 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 【答案】C 【详解】用两种颜色时，涂法有种； 用三种颜色时，涂法有种； 用四种颜色时，涂法有种； 所以不同的涂色方法共有种. 故选：C. 例3．（24-25高二下·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 【答案】 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法； 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 故答案为：． 例4．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 变式2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 变式3．（24-25高二下·福建莆田·期中）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______． 【答案】420 【详解】由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色、四种颜色、五种颜色. （1）当用三种颜色时，花池2,4同色和3,5同色，此时共有种方案； （2）当用四种颜色时，花池2,4同色或3,5同色，此时共有种方案； （3）当用五种颜色时，花池都不同色，此时共有种方案； 因此，所有栽种方案共有种. 故答案为：420. 变式4．（24-25高二下·天津·月考）如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有______种. 【答案】144 【详解】先涂红桥区，河北区和南开区，此时共有种方法， 若和平区与红桥区不同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 若和平区与红桥区同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 因此总的涂色方法有， 故答案为：144 考点三 数字排列问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理数字的特殊约束（如首位非0、奇偶性、重复/不重复、某数位固定等），核心是先排特殊位置/特殊数字，再排普通位置/数字。 二、解题思路（核心：特殊优先，分类讨论） 1. 清约束：明确数字排列的约束条件（如数字是否可重复、首位非0、某数位为奇数/偶数、含特定数字等）； 2. 特殊优先： - 特殊位置优先排（如首位、指定数位）：先排有约束的位置，再排无约束的普通位置； - 特殊数字优先排（如0、奇数/偶数、指定数字）：先排特殊数字到对应位置，再排普通数字； 3. 分步/分类算： - 无重复数字：排完一个位置/数字，剩余可选数减1，步间乘； - 有重复数字：每步可选数不变，步间乘； - 约束冲突时分类（如0与奇偶性同时约束）：按特殊数字的位置/取值分类，类间加、步间乘； 4. 验结果：排除不符合约束的排列（如首位为0、数位奇偶性错误），确保结果有效。 关键：首位非0是高频核心约束，数字不重复时注意剩余数字的可选数，有重复时直接按步计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南许昌·开学考试）从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)该数是奇数： (2)不大于4210的偶数； (3)数字4和5至多出现一个. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，排四位奇数的排法分三步： 第一步：先排个位共有种排法， 第二步：再排千位有种排法， 第三步：最后排中间两位共有种排法， 根据分步乘法计数原理共有：种排法； （2）第一类：千位为1或3时，个位为选一个，共有种排法； 第二类：千位为2时，个位为和选一个，共有种排法， 第三类：千位为时，个位为0时， 当百位2时，十位排1共有1种排法，当百位排1时，十位有3种排法， 所以千位为时，个位为0时，共有种排法， 第四类：千位为4时，个位为2时，百位从0和1选一个排有种排法，十位有种排法， 所以共有种排法， 根据分类加法计数原理共有：种排法； （3）第一类：数字4和5没有出现，则从排四位数，共有种排法； 第二类：数字4出现一次，数字5没有出现，数字4排千位有种排法， 数字4不排千位，在后面三位选一个位置排数字4有种选法， 再排千位有种选法， 最后排剩下的两个位置有种排法，共有种排法， 所以数字4出现一次，数字5没有出现，共有种排法； 第三类：数字5出现一次，数字4没有出现， 同理数字4出现一次，数字5没有出现的情况，共有种排法， 根据分类加法计数原理共有种排法. 例2．（24-25高二下·山西·期末）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)四位数； (2)四位偶数； (3)大于4000的四位奇数. 【答案】(1)300 (2)156 (3)60 【详解】（1）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位数的个数为. （2）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位偶数的个数为. （3）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位奇数的个数为. 例3．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 【答案】(1)24 (2)6 (3)12 【详解】（1）能组成的四位数的个数为. （2）能组成可以被5整除的四位数，其个位数字为5，所求个数为. （3）能组成为偶数的四位数，其个位数字为2，4之一，所求个数为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏无锡·月考）在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当个位数为时，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数； 当个位数不为时，则个位数有种选法，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数， 综上所述，能组成个无重复数字的四位偶数； （2）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （3）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 变式2．（24-25高二下·江苏镇江·月考）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)120 (2)96 (3)32 【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个； （2）首位不能为0，则有个； （3）由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 变式3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 【答案】(1)60 (2)51 (3)36 【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类： 第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个， 第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个， 所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有. （2）1或2排在首位的数共有个， 则接下来按从小到大排列的数是， 所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个. （3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体， 根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个. 2 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理：分类加法与分步乘法计数原理的综合应用、涂色问题、数字排列问题讲义 计数原理：分类加法与分步乘法计数原理的综合应用、涂色问题、数字排列问题讲义 考点目录 分类加法与分步乘法计数原理的综合应用 涂色问题 数字排列问题 考点一 分类加法与分步乘法的综合应用 【知识点解析】 一、解题原理 分类加法（完成一件事有类方法，各类独立，总数=各类方法数和）+分步乘法（完成一件事需步，步步相依，总数=各步方法数积），综合应用时先分类，再对每类分步，类间加、步间乘。 二、解题思路 1. 定目标：明确要完成的“一件事”（如选元素、排位置）； 2. 先分类：按核心约束条件（如元素特征、位置要求）分类，保证类间无重复、无遗漏； 3. 再分步：对每一类，按完成步骤依次拆解，确定每一步的方法数； 4. 算总数：每类内分步用乘法算方法数，各类间用加法求和，得总方法数。 关键：分类标准唯一，优先按“是否符合特殊条件”分类，简化分步难度。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北邢台·月考）某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（    ） A．27 B．54 C．60 D．78 例2．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 例3．（25-26高二下·上海·月考）新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 例4．（2026·辽宁大连·二模）现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北保定·月考）某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·北京西城·期末）某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·安徽芜湖·月考）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 变式4．（25-26高二上·河南驻马店·期末）某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有______种. 考点二 涂色问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理涂色重复/相邻约束，核心是按涂色顺序（区域/颜色）分步，相邻区域不同色为核心约束，颜色可重复使用但相邻必不同。 二、解题思路（2大主流法，按需选） 方法1：按区域顺序分步涂色（通用，首选） 1. 定顺序：按区域相邻关系定涂色顺序（如从相邻最多的区域开始，减少分类）； 2. 分步涂：依次给每个区域涂色，每一步确定当前区域的可选颜色数（排除相邻区域已涂颜色）； 3. 遇分类：若某一步涂色受后续区域约束（如颜色可选数不唯一），按可选颜色数分类，再对每类分步； 4. 算总数：步间乘、类间加，得总涂色方法数。 方法2：按颜色数量分类涂色（适用于颜色数固定、区域数少） 1. 定范围：确定完成涂色需用的颜色数（如个区域用种颜色，）； 1. 先选色：从总颜色中选种，用组合数（为总颜色数）； 1. 再涂色：将选好的种颜色按“相邻不同色”涂到区域，用排列数/分步乘法算方法数； 1. 算总数：每类（不同颜色数）内“选色×涂色”，各类间相加。 关键：优先从相邻区域最多的区域开始涂色，减少分类；颜色无区别时只分步，有区别时结合排列。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 例3．（24-25高二下·云南临沧·月考）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有______种不同的书写方案． 例4．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 变式3．（24-25高二下·福建莆田·期中）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______． 变式4．（24-25高二下·天津·月考）如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有______种. 考点三 数字排列问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理数字的特殊约束（如首位非0、奇偶性、重复/不重复、某数位固定等），核心是先排特殊位置/特殊数字，再排普通位置/数字。 二、解题思路（核心：特殊优先，分类讨论） 1. 清约束：明确数字排列的约束条件（如数字是否可重复、首位非0、某数位为奇数/偶数、含特定数字等）； 2. 特殊优先： - 特殊位置优先排（如首位、指定数位）：先排有约束的位置，再排无约束的普通位置； - 特殊数字优先排（如0、奇数/偶数、指定数字）：先排特殊数字到对应位置，再排普通数字； 3. 分步/分类算： - 无重复数字：排完一个位置/数字，剩余可选数减1，步间乘； - 有重复数字：每步可选数不变，步间乘； - 约束冲突时分类（如0与奇偶性同时约束）：按特殊数字的位置/取值分类，类间加、步间乘； 4. 验结果：排除不符合约束的排列（如首位为0、数位奇偶性错误），确保结果有效。 关键：首位非0是高频核心约束，数字不重复时注意剩余数字的可选数，有重复时直接按步计算。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河南许昌·开学考试）从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)该数是奇数： (2)不大于4210的偶数； (3)数字4和5至多出现一个. 例2．（24-25高二下·山西·期末）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)四位数； (2)四位偶数； (3)大于4000的四位奇数. 例3．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏无锡·月考）在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 变式2．（24-25高二下·江苏镇江·月考）用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 变式3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少? (2)在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个? (3)在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少? 2 学科网（北京）股份有限公司 $