精品解析：吉林长春市新解放学校初中部2025-2026学年九年级下学期数学学科活动三

新解放初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动三 满分90分 时间95分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【详解】解：由图可知，，，，， 比较四个数的绝对值排除和， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 3. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放置到小正方体的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析将小正方体放置到小正方体的正上方前后，主视图、左视图、俯视图的变化情况．本题主要考查了几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），熟练掌握从不同方向观察几何体时，方块的排列变化对视图的影响是解题的关键． 【详解】解： 原几何体主视图为．将放到正上方后，主视图变为，故项正确 ． 原几何体左视图为．将放到正上方后，左视图也为，故项错误 ． 原几何体俯视图为．将放到正上方后，俯视图也为，故项错误 ． 由上述分析，左视图和俯视图不变，只有主视图改变，并非三种视图都改变 ． 故D项错误 ． 故选： ． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ． 5. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得，，再加上公共边，根据，即可判断． 【详解】解：∵得， ，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，属于基础题，解题的关键是理解一元二次方程的解，并能将其代入方程得到代数式的值． 利用方程根的定义，将已知方程代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 7. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题可在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解．本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数（正弦函数）的定义，熟练掌握正弦函数的含义是解题的关键． 【详解】解：在中，，米，． 米 即卡车在竖直方向上升的高度为米， 故选： ． 8. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题． 【详解】解：作轴于． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 10. 用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查近似数与精确度，精确到百分位，需对千分位的数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】解：精确到百分位即保留两位小数可得． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式与最简二次根式的概念，根据同类二次根式的定义列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 12. 如图，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=100°，则∠D=__________度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ABC=180°，进而得到∠ABC的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，根据,可得答案． 【详解】∵AD∥BC， ∴ ∵ ∴ ∵BD平分∠ABC， ∴ ∵AD∥BC， 故答案为40. 【点睛】考查平行线的性质以及角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键. 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A、C重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有______（填写结论序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等，即可判断①结论；时，点D是弧的中点，无法确定，即可判断②结论；最长时，为直径，则，进而得到，即可判断③结论；在上截取，则是等边三角形，证明，得到，即可证明④结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ，， ，①结论正确； 若，则点D是弧的中点，无法确定，②结论不一定正确； 当最长时，为直径， ， ， ， ，③结论正确； 如图，在上截取， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，④结论正确， 一定正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共48分） 15. 先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 16. 轮船在顺水中航行所需的时间和在逆水中航行所需的时间相同．已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度． 【答案】 轮船在静水中的速度为． 【解析】 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 依题意得： ， ， ， ， ， 即轮船在静水中的速度为． 17. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，为的弦，连接，，求证：直线是的切线． 【答案】 证明：连接， 在中，，， ， ， 在中，， ， 是的半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】根据题意连接，先求出，利用圆的切线判定定理进行证明即可． 【详解】略 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （2）在图②中，画平行四边形，使其面积为9． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点画出图形即可； （2）利用网格特点画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图①所示，即为所求； 理由是：由勾股定理得，，，, ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， 的面积为， 则满足题意； 【小问2详解】 如图②所示，平行四边形即为所求； 理由是：∵，， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积为， 故平行四边形满足要求． 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、平行四边形的判定等知识，准确作图是解题的关键． 19. 某篮球队全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中5次”所在扇形的圆心角是______；并补充完整条形统计图； （2）全员定点投篮训练的众数是______次，中位数是______次； （3）若在投篮结果为2次的10名队员中随机选择x名队员进行投篮集训，集训结束后，这x名队员再次进行五次定点投篮，命中结果均大于3次．将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，发现中位数达到了4次，则x的最小值为______． 【答案】（1），补全图形见解答 （2）4，3 （3）3 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数和众数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用命中3次的人数除以所占的比例求出总人数，用360度乘以命中5次的人数所占的比值，求出圆心角的度数，求出命中4次的人数，补全条形图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （3）根据中位数的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 被调查的总人数为人， “命中5次”所在扇形的圆心角是为， “命中4次”的人数为人，补充条形统计图如图： 故答案为：； 【小问2详解】 命中4次的人数最多，故全员定点投篮训练的众数是4次， 将数据排序后，第20和第21个数据均为3， 故中位数为次， 故答案为：4，3； 【小问3详解】 原命中结果中位数为3次，按从小到大排序后，原命中结果第20位与第21位都为3，且第11位到第22位也是3， 将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，中位数发生变化，变为4，且数据的总数不变， ∴第20位和第21位的数据都为4， 这x名队员命中结果均大于3， ∴当时，中位数变为，当时，中位数变为， ∴x的最小值为3； 故答案为：3． 20. 【模型认知】 如图①，，，D为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（ ▲ ）； 第三步：如图④，过点作于，（ ☆ ）； 第四步：，最小值为． （1）“▲”处应填写的推理依据为_________，“☆”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上……， （2）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中作出符合条件的点的位置； （3）的最小值为_____________． 【模型应用】 （4）如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为________． 【答案】（1）三角形，两边之和大于第三边；垂线段最短 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系及垂线段最短解答即可； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （3）先得出点、的位置与（2）中图的、重合，的最小值为，利用三角函数求出的长，进而可得答案； （4）作，过点作于，则，根据一次函数解析式得出，，，根据特殊角的三角函数值可得，，根据得出、、在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用的三角函数得出的值，根据即可得答案． 【小问1详解】 解：第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（三角形两边之和大于第三边）； 第三步：如图④，过点作于，（垂线段最短）； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上， ∴点、的位置与（2）中图的、重合，的最小值为， ∵，， ∴，， ∴的最小值为． 【小问4详解】 解：如图，作，过点作于，则， ∵一次函数分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、在同一条直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴有最小值为， ∴， ∴的最小值为． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为（），点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②时，当线段被y轴分成的两部分时，求的值； ③点为坐标原点，连接、，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为， （2）①；②或；③或； 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出的值，进而求出顶点坐标； （2）①先求出点、、，再求出的长和点到的距离，进而求出的面积； ②先根据平行四边形的性质求出，设线段与轴的交点为，过点作轴于点，容易证明，则，分和两种情况讨论，结合，，求出的值； ③连接，将平移至处，过点作轴的平行线交于点，结合题意可知，点在的内部或者边上，即点、在的同一侧，同时点、在的同一侧．由点、在的同一侧可知，或；由点、在的同一侧可知，，化简得，分类讨论求出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，设与轴的交点为， ∵， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴点的坐标为，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴； ②将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形 ∴对角线与互相平分 由中点公式可得，，即 ， 解得， ∴点的坐标为， 设线段与轴的交点为， 当时，如图，过点作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得； 当时，如图， 同理，， ∴ ∴，解得； 综上所述，的值为或； ③如图，连接，将平移至处，过点作轴的平行线交于点， 由平移的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴点在的内部或者边上， ∴点、在的同一侧，且点、在的同一侧， ∵，，为， ∴或， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵点、在的同一侧， ∴，或，， ∴， ∴， 化简，得， ∵， ∴， 当时， ∴，解得或， ∴， 当时， ∴，解得， ∴， 当或时，点在轴上，此时点与点重合，不符合题意，故舍去； 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新解放初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动三 满分90分 时间95分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 3. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放置到小正方体的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：x2－25=_________________. 10. 用四舍五入法将数字精确到百分位得到的近似数是_____． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则的值为_____． 12. 如图，，，则的长为_____． 13. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=100°，则∠D=__________度． 14. 如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A、C重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有______（填写结论序号）． 三、解答题（本大题共7小题，共48分） 15. 先化简．再求值：，其中． 16. 轮船在顺水中航行所需的时间和在逆水中航行所需的时间相同．已知水流的速度是，求轮船在静水中的速度． 17. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，为的弦，连接，，求证：直线是的切线． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （2）在图②中，画平行四边形，使其面积为9． 19. 某篮球队全员进行定点投篮训练，每人投五次，训练结束后，发现命中的结果只有2次、3次、4次、5次，并把结果制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）“命中5次”所在扇形的圆心角是______；并补充完整条形统计图； （2）全员定点投篮训练的众数是______次，中位数是______次； （3）若在投篮结果为2次的10名队员中随机选择x名队员进行投篮集训，集训结束后，这x名队员再次进行五次定点投篮，命中结果均大于3次．将此结果与其他队员的原命中结果组成一组新数据，发现中位数达到了4次，则x的最小值为______． 20. 【模型认知】 如图①，，，D为上动点，求的最小值． 第一步：如图②，由于，在直线异于点一侧构造； 第二步：如图③，过点作于，得，即，连接，则（ ▲ ）； 第三步：如图④，过点作于，（ ☆ ）； 第四步：，最小值为． （1）“▲”处应填写的推理依据为_________，“☆”处应填写的推理依据为_________． 【模型探究】 如图⑤，中，，，为上一点，求的最小值． 解：过点作交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时有最小值，此时、、三点在同一条直线上……， （2）用圆规和无刻度的直尺在图⑤中作出符合条件的点的位置； （3）的最小值为_____________． 【模型应用】 （4）如图⑥，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为________． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为（），点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②时，当线段被y轴分成的两部分时，求的值； ③点为坐标原点，连接、，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $