精品解析：2026年山东省聊城市莘县初中中考模拟监测九年级数学试题（一）

2026年山东省聊城市莘县初中中考模拟监测九年级数学试题（一） 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各式的结果中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 青州博物馆推出青博寻宝记考古盲盒，下列“微缩版藏品”的平面图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着国产品牌影响力逐步提升，“中国制造”正向“中国智造”“中国创造”大步迈进．下图为某国产品牌智能平板学习机，该学习机的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式组的解集是，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（ ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，以为直径作，交于点，且点为的中点，连接，交于点．则下列结论： ①连接，；②连接，则；③的长为，④和线段、所围成的阴影图形的面积为．一定正确的是（ ） A. ②④ B. ③ C. ④ D. ①② 10. 如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点为上任意一点，则的最小值为 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 我国自主研发设计的17.5万立方米液化天然气（）运输船“海瀚”轮2026年1月28日在大连交付．17.5万用科学记数法可以表示为__________． 12. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，现将卡片背面朝上并洗匀，从中抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为__________． 13. 若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 14. 如图，正六边形的边长为1，点是其中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，二者交于点P，则__________． 15. 如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图所示，、处有两架固定机位的无人机，位于的正上方，在处观察的仰角为，为使演出效果最佳，需要调整处无人机的位置，当上升米到达处时测得的仰角为，测得的仰角为． （1）求与之间的距离； （2）求处两架固定机位的无人机的距离． 18. 如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 19. 为了解学生对“碳达峰，碳中和”知识的知晓情况，某中学举行了有关“碳达峰，碳中和”的知识竞赛，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，回答下列问题． 类别 分数 人数 A 8 B 15 C D 70分以下 5 （1）求的值； （2）扇形统计图中，所对应的圆心角是__________； （3）如果抽取的学生数占全校总人数的，则全校中类学生大约有多少名？ （4）学校打算从七，八，九年级中各选取一名获得“”类的同学作为“碳达峰，碳中和”义务宣讲员，则三个年级选取的恰好都为女生的概率为多少？ 20. 我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： （1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； （2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； （3）已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长； （3）若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 22. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 23. 小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在Rt中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为__________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为__________； 【迁移运用】 （2）如下图，一次函数和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市莘县初中中考模拟监测九年级数学试题（一） 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各式的结果中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据相反数、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出每个选项的结果，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∵ ∴结果最大的是． 2. 青州博物馆推出青博寻宝记考古盲盒，下列“微缩版藏品”的平面图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知，C选项对应的图形为轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则，单项式除以单项式的运算法则，负整数指数幂和化简二次根式的方法逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 随着国产品牌影响力逐步提升，“中国制造”正向“中国智造”“中国创造”大步迈进．下图为某国产品牌智能平板学习机，该学习机的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图从上面往下看，得到的图形，存在看不见的线用虚线表示，进行判断即可. 【详解】解：该学习机的俯视图为： 5. 若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象位置与增减性，再根据各点横坐标范围比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点横坐标， ∴点在第三象限，得， ∵点、横坐标，， ∴、都在第一象限，得，， 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴. 综上，，故选C． 6. 若关于的不等式组的解集是，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式组的解集是，可知，进而可得，，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得， 由不等式②，可知， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 7. 为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种优惠方案，结合题干给出的两个等量关系，分别列出方程，再对应选项选出正确方程组． 【详解】解：原计划购买根跳绳，． ∵方案二比方案一节省元， ∴，整理得． ∵用方案一原计划的总金额按方案二购买，可多买根，即共购买根， ∴． 综上，方程组为． 8. 如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（ ） ①点的坐标为；②； ③当或时；④四边形的面积为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别联立两条直线和双曲线求出，，，，即可判断①；然后利用勾股定理的逆定理判断②；求出，，证明出四边形是矩形，然后利用矩形面积公式求解即可判断④；由图象结合A，B的横坐标即可判断③． 【详解】解：联立直线和双曲线得， 解得或 ∴，，故①正确； 如图，连接， 联立直线和双曲线得， 解得或 ∴， ∴，， ∴ ∴是直角三角形，且，故②正确； ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积为，故④错误． 由图象可得，当或时，直线的图象在双曲线图象上方，即，故③正确； 综上所述，说法正确的个数是3． 9. 如图，在中，，以为直径作，交于点，且点为的中点，连接，交于点．则下列结论： ①连接，；②连接，则；③的长为，④和线段、所围成的阴影图形的面积为．一定正确的是（ ） A. ②④ B. ③ C. ④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，与圆有关的计算，掌握圆周角定理，对图中的角进行等量代换求解是解题关键． 先通过圆周角定理推出是等边三角形，从而得到特殊角，再利用这个特殊角逐项推导计算判断即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵是直径， ∴， 又是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是圆心，是直径， ∴，点O是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵点O是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 由勾股定理，得， ∴， 记图中阴影部分面积为S，则， 故④正确，   故选： A． 10. 如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ） A. B. 点为上任意一点，则的最小值为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为直角三角形，可得，故A不符合题意；证明，可得，再证明，可得，故D符合题意；证明，可得，求解，证明是的垂直平分线，如图，连接交于，连接，可得的最小值为，故B不符合题意；求解，可得，故C不符合题意． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴，故A不符合题意； ∵四边形为正方形，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵点是上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， 如图，连接交于，连接， ∴， ∴， ∴的最小值为，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 我国自主研发设计的17.5万立方米液化天然气（）运输船“海瀚”轮2026年1月28日在大连交付．17.5万用科学记数法可以表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定，的值即可. 【详解】解：17.5万 12. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字，现将卡片背面朝上并洗匀，从中抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出数字之和为正数的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表得出所有等可能结果如下： 和 0 2 0 2 由表可知，共有种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有种， 根据概率公式，得所求概率为． 13. 若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 14. 如图，正六边形的边长为1，点是其中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，二者交于点P，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，根据正方形的性质可得，则，证明，推出，再由三角形的中位线定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是正六边形的中心， ∴点O在上，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 15. 如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的锐角三角函数值、分式的化简求值． 首先根据特殊角的锐角三角函数值、负指数幂、绝对值的定义，把算式中的各部分分别转化为一般形式的实数，再根据运算法则进行计算即可； 首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，然后再把代入化简后的代数式中计算求值即可． 【详解】解： ； 解： ， 当时， 原式． 17. 如图所示，、处有两架固定机位的无人机，位于的正上方，在处观察的仰角为，为使演出效果最佳，需要调整处无人机的位置，当上升米到达处时测得的仰角为，测得的仰角为． （1）求与之间的距离； （2）求处两架固定机位的无人机的距离． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作交过点的水平线于点，交过点的水平线于点，解，，表示出，根据建立方程，求得，进而即可求解； （2）由（1）可得，，依题意，，，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交过点的水平线于点，交过点的水平线于点， 依题意，，， 在中， 在中， ∴ 解得： ∴， 答：与之间的距离为米 【小问2详解】 解：由（1）可得， 依题意， ∴ ∴米 答：处两架固定机位的无人机的距离为米 18. 如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 19. 为了解学生对“碳达峰，碳中和”知识的知晓情况，某中学举行了有关“碳达峰，碳中和”的知识竞赛，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，回答下列问题． 类别 分数 人数 A 8 B 15 C D 70分以下 5 （1）求的值； （2）扇形统计图中，所对应的圆心角是__________； （3）如果抽取的学生数占全校总人数的，则全校中类学生大约有多少名？ （4）学校打算从七，八，九年级中各选取一名获得“”类的同学作为“碳达峰，碳中和”义务宣讲员，则三个年级选取的恰好都为女生的概率为多少？ 【答案】（1）12 （2） （3）160 （4） 【解析】 【分析】（1）先由D的人数除以占比求出抽查学生总数，再由抽查学生总数减去A、B、D的人数即可求解m值； （2）由C的人数除以抽查学生总数求出占比，再乘以即可； （3）先求出学校总人数，再由学校总人数乘以类学生的占比即可； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽查学生总数： ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：学校总人数：， 答：全校中类学生大约有名； 【小问4详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知共有8种等可能结果，其中三个年级恰好抽到的都为女生的结果有1种， 三个年级选取的恰好都为女生的概率为． 20. 我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： （1）求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； （2）求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； （3）已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标，其对称轴为直线； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）由“和谐点”定义可得，则，解方程计算即可； （3）由“和谐点”定义可得，则，根据二次函数（为常数）不存在“和谐点”，则方程无解，得到，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标，其对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由“和谐点”定义可得， ∵， ∴， 解得， ∴或， ∴二次函数的所有“和谐点”的坐标为或； 【小问3详解】 解：由“和谐点”定义可得， ∵， ∴， 整理得， ∵二次函数（为常数）不存在“和谐点”， ∴方程无解， ∴， 解得． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，求的长； （3）若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到是的中位线，得到，进而得到，即可得证； （2）先证明为等边三角形，进而得到，，平行线的性质，得到，解，即可； （3）根据，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（2）可知：为等边三角形，， ∴，， 作于点，则， ∴， ∴ ． 22. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可得，且平分，进而可知均为等腰直角三角形，易得，进一步可得，再证明，由全等三角形的性质可得；证明四边形是正方形，进而可得，，，即，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，且平分， ∴，即均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，是该正方形的对角线， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 23. 小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在Rt中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为__________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为__________； 【迁移运用】 （2）如下图，一次函数和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，求最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由垂线段最短求解即可；②过点作于点，则由①可得，根据求解 即可； （2）过点P作轴，交直线于点G，可得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，那么设P的横坐标为t，则，则，再利用二次函数的性质求解的最小值，即可求解的最小值． 【小问1详解】 解：①由题意得，， 由垂线段最短可得，时，取得最小值， ∵， ∴； ②过点作于点，则由①可得， 由题意得，， ∵， ∴ ∴当点三点共线，且点与点重合时，取得最小值为； 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线于点G，如图1 ∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C， 当时，得，解得 当时，得， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴ 设P的横坐标为t，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值为， ∴此时取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $