精品解析：天津市第五十五中学2025-2026学年高一下学期第一次质量调查数学学科试题

2025—2026学年高一下学期第一次质量 调查数学学科 一、选择题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（ ） A. 1 B. －1 C. D. 3. 在中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（ ） A B. C. D. 8. 圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（ ） A B. C. D. 9. 已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 10. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 二、填空题 11. 设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______. 12. 设向量、满足，则_______． 13. 已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 14. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 15. 在中，是边中点，，，，设为平面上一点，且，其中，则的最小值为______. 16. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.且 D为BC边上一点，且AD⊥AC，△ABC的面积为_____ 三、解答题 17 已知向量，满足，. （1）求； （2）若，且，求的坐标； （3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 已知的内角的对边为，且. （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 20. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一下学期第一次质量 调查数学学科 一、选择题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：D. 2. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底表示出，即可确定参数. 【详解】因为E为AO的中点，所以， 所以， 即，所以，，所以D正确. 故选：D. 3. 在中，，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可 【详解】由可得， 又，解得，， 又由可得， 所以的面积为， 故选：D 4. 已知非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，由可得，利用平面向量数量积的定义求解夹角即可. 【详解】解：因为，所以，所以， 由得，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 故选：B. 5. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简，求出与的关系，即可判断三角形的形状． 【详解】解：，由正弦定理可知，，因为， 所以，所以， 即 所以，所以，， 因为、、是三角形内角， 所以． 所以是等腰三角形． 故选：A． 6. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求，结合的范围判断解的个数. 【详解】A：由，则，而，无解； B：由，则，而，有唯一解； C：由，则，而，有两解； D：由，则，而，有两解； 故选：B 7. 在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D分别作的平行线交于，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比. 【详解】如图，因为，过D分别作的平行线交于， 则为的中点，为的靠近A的三等分点， 则，， 所以，∴. 故选：B. 8. 圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 9. 已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断. 【详解】解：根据题意，，即， 所以，则向量在向量上的投影为的一半， 所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上， 所以点O为该三角形外心． 故选：B． 10. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，. 所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故选：D 二、填空题 11. 设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由共线定理可得存在实数，使，从而可得关于的方程组，进而可求出. 【详解】由题意知，与共线， ∴存在实数，使. ∵，不共线， ∴解得或， ∵与反向， ∴，. 故答案为： 12. 设向量、满足，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可. 【详解】，故. 故答案为：2 13. 已知两点，，，，三点共线，且满足，则点的坐标为______. 【答案】或 【解析】 【详解】令，且三点共线，，则， 所以， 则或， 所以或，故或. 14. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 15. 在中，是边的中点，，，，设为平面上一点，且，其中，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底，由，求出，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算把表示为关于的函数，由二次函数性质求最小值. 【详解】中，D是AC边的中点，，， ， 解得，即； 中，，，， 以为坐标原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，    则有，设 由，得， 解得，，即， 则有，， ， 则有时，有最小值. 16. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.且 D为BC边上一点，且AD⊥AC，△ABC的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算求得，根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到，结合余弦定理得到，两式联立得到，结合三角形面积公式即可得到答案. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以. 如图所示，因为， 所以， 因，所以， 所以， 所以， 即，即， 又因为，所以， 在中由余弦定理得， 即， 代入，解得或（负值舍去）， 所以，则， 所以. 三、解答题 17. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若，且，求的坐标； （3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而求的坐标及其模长； （2）设，，根据向量垂直的坐标表示运算求解； （3）求和的坐标，根据数量积大于0运算求解，注意排除向量共线的特殊情况. 【小问1详解】 因为，， 则，， 可得，所以. 【小问2详解】 因为，设，，则， 若，则， 整理可得，解得，所以. 【小问3详解】 因，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 18. 已知的内角的对边为，且. （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得：，， ，又，. 【小问2详解】 由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长； （2）根据已知得，再由正弦定理求； （3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； 【小问2详解】 由且，则， 由正弦定理，则； 【小问3详解】 由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 20. 在中，为的中点，在边上，交于；且，设，. （1）试用，表示； （2）已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案. （2）①及已知条件，利用数量积的运算律及向量的夹角公式求解.②设，结合及数量积的运算律得，再列出不等式求出的范围即可. 【小问1详解】 由共线，得，则， 整理得， 由共线，得，则， 整理得，而不共线， 由平面向量基本定理，得，解得， 所以. 【小问2详解】 ①（1）得，， 由，得， 则， ， ， 所以. ②由（1）知，则， 由共线，设. 由，得，而，， 则，整理得， 即，显然，则， 由，得，则，解得， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $