精品解析：甘肃陇南市西和县2025—2026学年度第二学期阶段学业能力自测 八年级数学

2025-2026学年度第二学期阶段学业能力自测八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； B、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； C、不是二次根式，故该选项不符合题意； D、由于，故是二次根式，故该选项正确， 故选：D． 2. 要使在实数范围内有意义，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解． 【详解】解：由题意可知，， 解得，， 四个选项中只有不符合题意， 故选：A． 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 4. 在中，分别是的对边，若，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，据此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵在中，分别是的对边， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若点的坐标为，则的长是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理可求得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理、点的坐标，理解点的坐标意义是关键． 6. 数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答． 【详解】解： 矩形周长为：， 需铁丝的长度为． 故选：C． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 故选：C 8. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 9. 等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，根据题意可得，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 13. 最简二次根式与能合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， ． 故答案为：． 14. 已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于直角三角形的斜边不确定，需分两种情况讨论：当5为斜边时，第三边为直角边；当第三边为斜边时，4和5均为直角边，分别计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：当5为斜边时，第三边长为； 当第三边为斜边时，第三边长为； 故第三边的长为3或， 故答案为：3或． 15. 如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，连接，利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵圆形水杯的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵木棍长， ∴， 故答案为：5． 16. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、利用二次根式的性质化简、整式的加减．先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：， 则 ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再算二次根式的加减即可. 【详解】解：原式 . 18. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】进行二次根式乘除运算，并将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据进行计算即可求解； （3）根据进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 21. 如图，中，是上一点，．且．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的求解方法是解答的关键．在中，利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差即可求得的长． 【详解】解： 在中： 22. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用，数形结合表示出阴影部分矩形的长和宽，并运用二次根式乘法运算求解是解决问题的关键．先由题中两个正方形面积分别为和，直接开平方得到边长，进而表示出阴影部分矩形长和宽，再由矩形面积公式代值求解，由二次根式乘法运算计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为，则边长为； 正方形的面积为，则边长为； 阴影部分矩形长为，宽为，则屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为， 答：屋顶未利用区域（阴影部分）的面积为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图1中正方形的边长为______； （2）在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出正方形的边长即可； （2）由构造直角三角形，可得出长度为的线段，再以原点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点即可． 【小问1详解】 解：观察图形，正方形每条边均可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边， 由勾股定理可得边长为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 故可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边， 作图如下，点即为所求： 24. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠的性质得，设，在中，建立方程，求出，再由三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 25. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 26. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 27. 在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： （1）计算：； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过平方差公式完成分母有理化化简； （2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果； （3）先对分母有理化，再将所求式子变形为完全平方，代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解： ， ， ， 把代入得 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段学业能力自测八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使在实数范围内有意义，则的值不可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，分别是的对边，若，则的值为（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 50 5. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，若点的坐标为，则的长是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（ ） A. B. C. D. 2 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 9. 等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 12. 若，则的值为 _______． 13. 最简二次根式与能合并，则________． 14. 已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为___________． 15. 如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝______． 16. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 化简： （1）； （2）； （3）． 21. 如图，中，是上一点，．且．求的长． 22. 光伏产业作为可再生能源领域的重要组成部分，近年来在全球范围内实现了快速发展．某大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．求屋顶未利用区域（阴影部分）的面积． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图1中正方形的边长为______； （2）在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置． 24. 如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 25. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 26. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 27. 在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： （1）计算：； （2）化简：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $