期中复习讲义01 平面向量及其应用11大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义01平面向量及其应用 【考点一】 相等向量与共线向量 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点二】向量的加法运算 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点三】向量的减法运算 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 【考点四】向量的数乘运算 【考点十】平面向量的应用 【考点五】平面向量基本定理 【考点十一】余弦定理、正弦定理 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 一、向量的基本概念（基础考点） 1. 核心定义 向量：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的数量）。 零向量：长度为0，记作，方向任意，与任意向量平行。 单位向量：长度为1的向量；与同向的单位向量为。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量；规定$\vec{0}$与任意向量平行。 相等向量：长度相等且方向相同；相反向量：长度相等、方向相反。 2. 易错提醒 向量不能比较大小，但向量的模（长度）可以比较。 共线向量≠在同一直线上，平行向量与共线向量是同一概念。 书写向量必须加箭头（如、），区别于数量。 二、平面向量的线性运算（高频考点） 1. 加法运算 法则： 三角形法则：首尾相连，和向量由起点指向终点。 平行四边形法则：共起点，对角线为和向量。 运算律：交换律；结合律。 2. 减法运算 法则：共起点，差向量指向被减向量（）。 本质：（减去向量等于加上其相反向量）。 3. 数乘运算 模：。 方向：时与同向；时反向；时为。 定义：实数与向量的积是向量。 运算律：；；。 4. 共线向量定理（核心） 向量与非零向量共线存在唯一实数，使。 应用：证明三点共线（如、、共线）、求参数值。 三、平面向量基本定理与坐标表示（核心考点） 1. 平面向量基本定理 如果、是同一平面内不共线的向量（基底），则平面内任意向量，有且只有一对实数、，使。 关键：基底不共线；分解唯一。 2. 坐标运算（必考） 设，，实数： 加减： 数乘： 共线坐标： 四、平面向量的数量积（重中之重） 1. 定义与性质 定义：非零向量、，夹角为，则；。 几何意义：$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于$|\vec{a}|$与$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上投影的乘积。 运算律：交换律；分配律；。 2. 坐标表示 ，，则。 3. 重要公式（必背） 模长： 夹角： 垂直： 五、向量的应用（综合考点） 1. 平面几何中的应用 平行/共线：用共线定理（）。 垂直：用数量积为0（）。 长度/距离：用模长公式。 夹角：用夹角公式。 2. 解三角形（核心应用） 正弦定理：（为外接圆半径） 余弦定理 ；； 应用：已知三边、两边及其夹角。 三角形面积： 3. 物理中的应用 力、速度、位移的合成与分解（遵循平行四边形法则）。 力的做功：（为与夹角）。 【考点一】相等向量与共线向量 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 3．（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 6．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 7．（24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 【考点二】向量的加法运算 8．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 9．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 11.（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为______． 【考点三】向量的减法运算 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·四川·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一下·陕西渭南·期中）的化简结果为________. 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 17.（23-24高一下·四川·期中）（1）已知非零向量,求作向量，使； （2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由． 【考点四】向量的数乘运算 18．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 20.（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 21．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 22.（24-25高一下·贵州黔南·期中）在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则_________． 23．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 24．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 25.（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 26．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【考点五】向量的数量积 27.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 31．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 33.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 34．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 35．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 【考点六】平面向量基本定理 36．（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 38．（多选）（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 39.（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 40．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 41．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 42.（多选）（23-24高一下·河北张家口·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 43.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 44.（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 45．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 46．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 47.（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 48.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，若，则__________. 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 49．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知平面向量，，若，则______． 52．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）平面内给定两个向量，． (1)求，夹角的余弦值； (2)求． 【考点十】平面向量的应用 53．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 54．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 55．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 56．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【考点十一】余弦定理、正弦定理 57．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 58．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 59．（24-25高一下·河南·期末）在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 60.（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义01平面向量及其应用 【考点一】 相等向量与共线向量 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点二】向量的加法运算 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点三】向量的减法运算 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 【考点四】向量的数乘运算 【考点十】平面向量的应用 【考点五】平面向量基本定理 【考点十一】余弦定理、正弦定理 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 一、向量的基本概念（基础考点） 1. 核心定义 向量：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的数量）。 零向量：长度为0，记作，方向任意，与任意向量平行。 单位向量：长度为1的向量；与同向的单位向量为。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量；规定$\vec{0}$与任意向量平行。 相等向量：长度相等且方向相同；相反向量：长度相等、方向相反。 2. 易错提醒 向量不能比较大小，但向量的模（长度）可以比较。 共线向量≠在同一直线上，平行向量与共线向量是同一概念。 书写向量必须加箭头（如、），区别于数量。 二、平面向量的线性运算（高频考点） 1. 加法运算 法则： 三角形法则：首尾相连，和向量由起点指向终点。 平行四边形法则：共起点，对角线为和向量。 运算律：交换律；结合律。 2. 减法运算 法则：共起点，差向量指向被减向量（）。 本质：（减去向量等于加上其相反向量）。 3. 数乘运算 模：。 方向：时与同向；时反向；时为。 定义：实数与向量的积是向量。 运算律：；；。 4. 共线向量定理（核心） 向量与非零向量共线存在唯一实数，使。 应用：证明三点共线（如、、共线）、求参数值。 三、平面向量基本定理与坐标表示（核心考点） 1. 平面向量基本定理 如果、是同一平面内不共线的向量（基底），则平面内任意向量，有且只有一对实数、，使。 关键：基底不共线；分解唯一。 2. 坐标运算（必考） 设，，实数： 加减： 数乘： 共线坐标： 四、平面向量的数量积（重中之重） 1. 定义与性质 定义：非零向量、，夹角为，则；。 几何意义：$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于$|\vec{a}|$与$\vec{b}$在$\vec{a}$方向上投影的乘积。 运算律：交换律；分配律；。 2. 坐标表示 ，，则。 3. 重要公式（必背） 模长： 夹角： 垂直： 五、向量的应用（综合考点） 1. 平面几何中的应用 平行/共线：用共线定理（）。 垂直：用数量积为0（）。 长度/距离：用模长公式。 夹角：用夹角公式。 2. 解三角形（核心应用） 正弦定理：（为外接圆半径） 余弦定理 ；； 应用：已知三边、两边及其夹角。 三角形面积： 3. 物理中的应用 力、速度、位移的合成与分解（遵循平行四边形法则）。 力的做功：（为与夹角）。 【考点一】相等向量与共线向量 1．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知是平面内不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断方法，从两个方向判断即得. 【详解】因为是不共线的四点， 若，则有，，故四边形为平行四边形； 若四边形为平行四边形，则有. 故“”是“四边形为平行四边形”的充要条件. 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．时间能称为向量 B．所有单位向量都是相等向量 C．模为0的向量与任一非零向量平行 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断A；根据相等向量的定义判断BD；根据平行向量的定义判断C. 【详解】时间只有大小，没有方向，不是向量，故A错误； 所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故B错误； 模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C正确； 相等向量要求大小和方向都相同，故D错误． 故选：C． 6．（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【答案】D 【分析】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【详解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 7．（24-25高一下·河南洛阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 D．若与是平行向量，则 【答案】B 【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误. 【详解】A：由单位向量只是模长相等，但方向任意，故不一定成立，错； B：如下图，上北右东，则南偏西60°的向量，北偏东60°的向量， 显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对； C：直角坐标系中，、轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错； D：与是平行向量，也有可能方向相反的情况，故不一定成立，错. 故选：B 【考点二】向量的加法运算 8．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 9．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 10．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 11.（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为______． 【答案】 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【考点三】向量的减法运算 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】由，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 13．（24-25高一下·四川·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可得计算结果. 【详解】. 故选：D. 14．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】依题意得，，则，， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 15.（24-25高一下·陕西渭南·期中）的化简结果为________. 【答案】 【分析】根据向量加减运算法则直接得出结果. 【详解】易知. 故答案为： 16．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 17.（23-24高一下·四川·期中）（1）已知非零向量,求作向量，使； （2）（1）中表示的有向线段能构成三角形吗？说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）当两个向量不共线时，利用平行四边形法则或者三角形法则作出，再作出其相反向量即是；当两个向量共线时,直接首尾相连做出，再作出相反向量即可； （2）通过（1）可得当两个向量不共线时，对应有向线段可以构成三角形，当两个向量共线时,不可以构成三角形. 【详解】解：（1）如图所示，当两个向量，不共线时，作平行四边形OADB， 使得，，则． 又 ，所以，即． 法二：利用向量的三角形法则，如图，作ABC， 使得，，，则，即． 当向量，两个共线时，如图，使得，，， 则 ，，所以 ，即 ． （2）由（1）可知，当向量，不共线时，表示，，的有向线段能构成三角形； 当向量，共线时，，，的有向线段不能构成三角形． 【考点四】向量的数乘运算 18．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 19．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 20.（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 21．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 22.（24-25高一下·贵州黔南·期中）在平行四边形中，已知点E在线段上，且，设向量，用表示，则_________． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 23．（24-25高一下·四川成都·期中）在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则__________. 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 24．（24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 25.（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得. 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 26．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 【考点五】向量的数量积 27.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 28．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解． 【详解】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 29．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 30．（24-25高一下·四川资阳·期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【详解】因为，，平面向量，的夹角为，且， 所以 31．（23-24高一下·湖北·期中）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 【答案】2 【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解. 【详解】∵， ∴，即， 则. 又∵，， ∴，解得：． 故答案为：. 33.（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求出的值，即可求得答案； （2）根据向量的模的计算公式结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 34．（24-25高一下·福建泉州·期中）（1）已知向量不共线，．若，求； （2）已知，，．若，且，求． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由向量不共线和向量相等即可求解； （2）先由题设求出，再由题设得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为向量不共线，所以； （2）由题可得， 所以由且得， 所以. 35．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知，，. (1)求与的夹角； (2)若，且，求t及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由及，求解即可； （2）由及向量的线性运算，即可求出的值，再由向量的模的公式求解即可. 【详解】（1）解： ， 所以， 又， 所以. （2）解：由题意知 ， 即，解得， 所以， ， 所以. 【考点六】平面向量基本定理 36．（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，E是靠近B点的三等分点，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，E是靠近B点的三等分点， 则 , 故选：C 37．（24-25高一下·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出. 【详解】由点是线段的中点，得， 由，且四边形为平行四边形，得， 则 ， 故.    故选：A 38．（多选）（23-24高一下·广东深圳·月考）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 39.（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知在中，为上的一点，且，若，则_________． 【答案】/ 【分析】结合向量的线性运算公式及平面向量基本定理可得，进而可求得的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则. 故答案为：或. 【考点七】平面向量加、减运算的坐标表示 40．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 41．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 42.（多选）（23-24高一下·河北张家口·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则另一个顶点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，按平行四边形的对角线情况分类，结合向量的坐标运算得解. 【详解】记点分别为，第4个顶点为， 当线段为平行四边形对角线时，，则点，B是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，D是； 当线段为平行四边形对角线时，，则点，C是. 故选：BCD 43.（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 44.（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知． (1)求线段的中点的坐标； (2)若点是线段的一个四等分点，点靠近端，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的分解式的坐标运算即可求解； （2）由向量的分解式的坐标运算即可求解. 【详解】（1） ， 因为的坐标是，所以线段的中点的坐标是； （2）若点是线段的一个四等分点，点靠近端， 则点是的中点， 类比第一问解析可得， 即点的坐标是. 【考点八】平面向量数乘运算的坐标表示 45．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（   ） A．1或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 46．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 47.（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据平面向量基底的定义，以及向量共线的条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：零向量与任意向量都共线, 故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故A错误； 对于B：，所以，不共线，所以其可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C：，所以与不共线的，所以其可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 对于D：，所以与是共线的，故其不可以作为它们所在平面内所有向量的基底，故D错误. 故选：BC. 48.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，若，则__________. 【答案】13 【分析】由平面向量共线定理求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 解得， 故答案为：13 【考点九】平面向量数量积的坐标表示 49．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】D 【分析】利用向量垂直的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得，解得. 故选：D 51．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由向量垂直求得，由模的坐标运算公式求解即可. 【详解】已知平面向量，，若，则,解得， 所以. 故答案为：. 52．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）平面内给定两个向量，． (1)求，夹角的余弦值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案． 【详解】（1）由题意可得，， 则，夹角的余弦值. （2）由题意可得，即. 【考点十】平面向量的应用 53．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 54．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 55．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 56．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面上三点A，B，C，且，，． (1)若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若为钝角三角形，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或且 【分析】（1）根据三点共线，结合向量平行的坐标关系即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，故，共线， 所以，解得． 故当时，A，B，C不构成三角形， （2）当C为钝角时，， 所以，解得且， 当A为钝角时，，，， 即，，所以， 当B为钝角时，，， ，，无解． 所以或且． 【考点十一】余弦定理、正弦定理 57．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 58．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 59．（24-25高一下·河南·期末）在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 【答案】2 【分析】由余弦定理得关系后，与已知比较即可得. 【详解】，则， 又，所以， 故答案为：2. 60.（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【详解】（1）变形为：， 所以，因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $