1.1 第2课时 三角形的外角 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 1.1 第2课时 三角形的外角 第一章 三角形的证明 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月4日 北师大版数学八年级下册1.1 第2课时 三角形的外角 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕“三角形的外角”核心内容设计，侧重三角形外角的定义、外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角之和、外角大于任何一个与它不相邻的内角）及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握外角的识别方法，能运用外角性质求未知角度，理解外角与内角的关系，规避外角识别、性质应用中的常见错误。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形外角的定义，正确的是（ ） A. 三角形的一个内角的对顶角是三角形的外角 B. 三角形的一个内角的邻补角是三角形的外角 C. 三角形一边的延长线与另一边所组成的角是三角形的外角 D. 三角形的三个内角之外的角都是三角形的外角 2. 三角形的一个外角等于（ ） A. 与它相邻的内角 B. 与它不相邻的一个内角 C. 与它相邻的两个内角之和 D. 与它不相邻的两个内角之和 3. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 三角形的一个外角一定大于它的一个内角 B. 三角形的外角和为180° C. 三角形的一个外角一定是钝角 D. 三角形的一个外角等于两个内角之和 5. 在△ABC中，若与∠A相邻的外角为120°，则∠B+∠C的度数为（ ） A. 60° B. 120° C. 180° D. 240° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角；一个三角形有________个外角。 2. 三角形外角的性质1：三角形的一个外角等于与它________的两个内角的和。 3. 三角形外角的性质2：三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角。 4. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角的度数为________°；与∠A相邻的外角的度数为________°。 5. 若三角形的一个外角为100°，且与它不相邻的一个内角为30°，则另一个不相邻的内角为________°。 三、解答题（每题10分，共20分） 1. 运用三角形外角的性质，求下列各图中未知角的度数（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，求与∠C相邻的外角∠ACD的度数； （2）在△ABC中，与∠A相邻的外角为110°，∠B=45°，求∠C的度数； （3）在△ABC中，∠C=90°，一个外角为140°，求这个外角所对应的内角的度数及另一个锐角的度数。 2. 辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形外角的性质）。 （1）判断：三角形的一个外角一定大于与它相邻的内角； （2）解题：在△ABC中，∠A=25°，∠B=35°，求与∠A相邻的外角的度数。解：与∠A相邻的外角=∠A+∠B=25°+35°=60°； （3）推导：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以三角形的外角一定大于其中一个不相邻的内角，该推导正确。 四、拓展题（10分） 已知在△ABC中，∠A的外角为130°，∠B的外角为120°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。 五、应用题（10分） 一个三角形的一个外角是与它相邻内角的2倍，求这个相邻内角的度数；若这个外角比与它不相邻的一个内角大50°，求这个三角形另外两个内角的度数。 参考答案提示：一、1.C 2.D 3.B 4.A 5.B；二、1.延长线，6 2.不相邻 3.不相邻 4.90，140 5.70；三、1.（1）∠ACD=∠A+∠B=50°+40°=90°；（2）与∠A相邻的外角=∠B+∠C，故∠C=110°-45°=65°；（3）这个外角对应的内角=180°-140°=40°，另一个锐角=90°-40°=50°；2.（1）不正确，改正：三角形的一个外角不一定大于与它相邻的内角（如直角三角形的一个外角等于90°，与相邻内角相等），错误原因：忽略直角三角形、钝角三角形的特殊情况；（2）不正确，改正：与∠A相邻的外角=180°-∠A=155°，错误原因：混淆了“与∠A相邻的外角”和“与∠A不相邻的外角”；（3）正确；四、∠A=180°-130°=50°，∠B=180°-120°=60°，∠C=180°-50°-60°=70°，△ABC是锐角三角形；五、设相邻内角为x°，则外角为2x°，x+2x=180，解得x=60；另一个不相邻内角=2x°-50°=70°，第三个内角=180°-60°-70°=50°，故另外两个内角为50°、70°。 2026年4月4日星期六8时17分23秒 2026年4月4日星期六8时17分27秒 1 三角形的外角的概念 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A D 问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角. 问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. 三角形的外角应具备的条件： 每一个三角形都有 6 个外角． 归纳总结 1 2 3 6 5 4 A B C 2 三角形的外角的性质 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 探究1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 探究2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠BCD. 你能借助平行线的知识证明此结论吗？ D 证明：过点 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 证一证 推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理： 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A + ∠B. 知识要点 A B C D 探究3 (1) 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； (2) 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：∵∠2=∠1+∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 知识要点 定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形内角和定理推论2： 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. A B C D 1.说出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) ∠1 = 40°，∠2 = 140° ∠1 = 18°，∠2 = 130° 练一练 例2 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC. A C D B E 证明：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ， ∴∠C = ∠EAC . ∵ AD 平分∠EAC. ∴∠DAC = ∠EAC . ∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC. 还有其他证明方法吗？ 例3 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC. 求证：∠BPC＞∠A. 证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D. ∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)， ∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)， ∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A. A B C P D 还有其他证明方法吗？ 1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(　　) D 返回 中考考法 15 2．如图，△ABC的外角是________，________。 ∠CBD 返回 ∠ABE 中考考法 16 3．[教材P6随堂练习T1变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(　　) A．120° B．110° C．100° D．90° A 返回 中考考法 17 4．[烟台中考]如图，这是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．20° A 返回 中考考法 18 5．[福建中考]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用两个三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°。当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　) A．5° B．15° C．25° D．35° B 返回 中考考法 19 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。 65 返回 中考考法 20 7．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。 中考考法 21 解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。 又∵∠AED＝40°，∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。 返回 中考考法 22 8．在下列四个图形中，∠2＞∠1一定成立的是(　　) C 返回 中考考法 23 9．(4分)如图，点D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。 中考考法 24 返回 证明：∵∠ECD是△ABC的外角， ∴∠ECD＞∠A。 又∵∠BED是△CDE的外角， ∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。 中考考法 25 10．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．∠ADB>∠ADE B．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3 C．∠ADB>∠1＋∠2 D．以上都不正确 C 返回 中考考法 26 11. 如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点。若∠1＝165°，∠2＝20°，则∠3的大小为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° B 返回 中考考法 27 12．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° B 返回 中考考法 28 13．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝____________°。 215 返回 中考考法 29 14．如图，这是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠A＝50°，∠B＝60°，∠D＝20°，∠E＝30°。为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，且∠A，∠B，∠E保持不变，则∠D应调整为________。 30° 返回 中考考法 30 15．(8分)[南昌期末]如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。 中考考法 31 (1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数； 解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE。 ∵∠E＝25°，∠BAC＝80°， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠BAC－∠E＝55°。 ∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠B＝∠DCE－∠E＝30°。 中考考法 32 (2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。 返回 证明：由(1)知∠ECD＝∠ACE。 ∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E， ∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。 中考考法 33 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 $