冲顶实战演练（三）-【真题密卷】2025年高考数学考前冲顶实战演练

2024一2025学年度考前冲顶实战演练 数学（三) 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂区 e 拉 MIM①II)I o0000000▣ 座位号 2] 2刀 33 K 3 B 33 B 4444444+4 姓名××× 准考证号×××××× 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ ④4I④4印4I4④4I44I 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记） 66 66 66 6 6 贴条形码区 (77 IIII刀 刀 刀 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 88I 88 888 8 8 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 9 选择题 单项选择题 : IA ID 3☒团四 5IB田UI 7四B团U 2四BaD 4IB☒C) 6四围四 8IB☒CUD 多项选择题 9AB C 10A☒四 11四B四 非选择题 12 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) A↓ N 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三)第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三)第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 紫 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第5页（共5页）1 2024一2025学年度考前冲顶实战演练 数学（三） 姓名 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 边 )①))①))①)① D 卫DD0卫D0 D 座位号 3] 333I33333] 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ 4④ 4④④4④4I4④4I4④ 4④ 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) I 6 贴条形码区 园 I I ma I I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 8]8 88I 8]8] 8 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 四 选择题 单项选择题 1AIB]C☒I 3 AB]C 5 A B CD 7IB田I) 2四田 4AB CD 6团B围☑) 8四B☒四) 多项选择题 9AIB图C☒D 10B田D 11A☒☑四 非选择题 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三)第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三)第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 擗 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸数学（三）第5页（共5页）2024一2025学年度考前冲顶实战演练 光题 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知 +i_4+3i =5°，则之的虚部为 ( A.-1 B.1 C.-i D.i 2.已知集合M={x|x2一x一2>0}，N={xx2>a},若N二M,则实数a的取值范围为 () A.(1,2) B.[1,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 3.在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足BD=3BM,若AM=λAB+uAC,则λ十 A= () 4号 B.3 c 4.某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm,现从生产的钢管中随机抽取10根， 测得10根钢管的平均直径为45.3mm,方差为0.2mm,若再加入1根直径为 45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的 () A.平均数变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.方差变大 5.记等差数列{am}的前n项和为Sm,公差d≠0，a1=1,数列{bm}为等比数列，且b1=a3, b2=a7,b3=a15,则 () 5 A.2 b.2 D.3 |x2-2x,x<1, 6.已知函数f(x)= lnx-1,x≥1， 则不等式了)≥号-1的解集为 A.（-∞，2 B.(-∞，1] C.(0,2] D.[2,十∞) 数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·考 7.已知双曲线C名-1@，b均为正整数)的左、有焦点分别为F,F,0为坐标原 班级 点，P为C右支上一点，△PF1F2的周长为25，O到直线PF1,PF2的距离分别为d1, d,石名：名则C的前证线方程为 ( 姓名 2 A.y=±3x 我= Cy=± Dy 得分 8.在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC,AB=2√3，PA=4,若 P,A,B,C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为 ( ) A号 B C. D.3 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某蔬菜批发市场统计了近5个月某种蔬菜的批发价格（单位：元/千克），如表所示，若y 与x线性相关，且线性回归方程为y=一0.44x十a,则 ( ) 月份序号x 1 2 4 5 批发价格y:元/千克 4.2 4 3.8 3 A.变量y与x负相关 B.a=5.32 C.当x=3时，y的观测值与估计值的差为一0.88 D.可以预测当x=6时，批发价格不超过2.8元/千克 10.如图(1)所示，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BC=2AB=4,将△ABE沿BE 翻折，使点A到达点P的位置，如图(2)所示，点F为PC的中点，且PC=2√3，则 () 图(1) 图(2) A.平面PBE⊥平面BCDE B.直线PC与平面BCDE所成的角为30° C.DF∥平面PBE D.PB⊥DF 1.已知函数)=-a十1》x+ax-1u∈0了（✉）为f)的号函数则下列谈 法正确的是 () A.当a=1时，若f'(x)≥mx,则m的取值范围为[-4,0] B.若y=2x是f(x)的一条切线，则实数a的值有且只有1个 C.当a=一1时，f(x)的图象关于点(0，一1)对称 D.当aE(仔+)时，f)有3个零点 冲顶实战演练 数学试题（三）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知snle+）-3则cosf2a--》 13.《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（国发〔2024）7号)于2024年3月1 日经国务院常务会议审议通过.在某次以旧换新的活动中，某家庭从冰箱、洗衣机、电 视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机8个品类中任选4个品类进行以旧换新，则 电视、空调、电脑和热水器更换至少2个品类的概率为 x2y2 14.已知椭圆C:十=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上异于长轴端点的 一点，点M满足PF=3PM,MF·OP=0,O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2 a cos B-√3b)cosA= √3 a cos B-2bcos2A. (1)求A; (2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，AD=DC,△ABC的面积为3√3，求 △ABC的周长. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥BC,AB=BC=22,AD=DC=√5，点M 为棱PD上一点，PA=PC,O为AC的中点. (1)证明：平面PBD⊥平面MAC. (2)已知PD=√5，PO=2,点N在棱BC上，且BN=2NC,若直线PN与平面MAC 所成角的正弦值为 PD的值. 数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)已知函数f(x)=2x2+alnx-(a+1)x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性. (2)若存在两个不同的x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0,证明：x1十x2>2. 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，点M在C上且在 第一象限，FM=2p,△OMF的面积为2. (1)求C的方程. (2)A,B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB 过定点 (3)点M关于x轴的对称点为N,分别过M,N作C的两条切线，这两条切线的交点 G恰好在x轴上，GS=λSM(0<λ≤1)，过S作C的切线，切点为R(异于点M), 且与线段GN交于点T,求△GST面积的最大值. 19.(17分)定义：在数列{am}中，随着n(n≥3)的增大，{an}的个数按照一定的规律逐渐增 加，则称{am}为“个数发散数列”.记数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,a2=3,S+1 S7-1-2(am+1+am)(Sm+1)=0,n≥2. (1)当n=3,4,5时，求{am},并验证{am}是否为“个数发散数列”； (2)当n=5时，在所有{am}中随机抽取3个数列，记S5=1的{an}的个数为X,求X的 分布列及E(X); (3)当n≥3，an+4=am时，求Sn. 考前冲顶实战演练 数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度考前冲顶实战演练 数学（三） 一、选择题 1.A【解标】由3+i_4十3 5(3+i)5(3+i)(4-3i) h2-10,即当≥1时，nx-1<3x-1恒成立， 5 得之 4+3i(4+3i)(4-3i) 1 所以当x≥1时，不等式f(x)≥ 5(15-51D=3-,所以z的虚部为-1， 2x一1无解.综上，所 25 2.D【解析】M={x|x<-1或x>2),因为NCM,所以 求不等式的察条为-引 7.B【解析】设|F1F2=2c,因为|PF1|+|PF2十 a>0,则N={xlx<-√a或x>√a},所以 -a←-1'解 |F1F2|=25,所以PF1|+PF2|=25-2c①，由双 Wa≥2， 曲线的定义，得|PF1-|PF2|=2a②，由①②得 得a∈[4，+∞). 1Pr,=25+2a-2c,PF,1=25-2a-2c 3.D【解析】因为AM=A店+BM=A店+号BD①， 2 2 AMi=Ad+DM-2AC-号BD@,由①X2+@,得 因为△PF,0与△PF,0的面积相等，所以2× 3威=2A立+A花，所以A-号Ai+行A花，印A 1PFXd-×Pxd则-号 号g-日所以X+-日 2 所以资十公二-受-智整建得15a十=10，因为15加 +8c>23a,所以23a<100,又因为a为正整数，所以a 4.C【解析】设11根钢管的平均直径为xmm,方差为 ∈(1,2,3,4}，经验证得，a=4,c=5,所以b=√c2-a mm,则=10×45,3+45.3=45.3，故A,B错误： 11 三3，所以C的渐近线的方程为y=士元x. s2=10×0.2+(45.3-45.3》=2 <0.2,故C正确，D 8.B【解析】设底面中心为D,取BC的中点E,连接 11 AE,则A,D,E三点共线，连接PE,过点D作底面的 错误」 垂线l1,取棱PA的中，点Q,在平面PAE中，过Q作 5.C【解析】由题意得(1十2d)(1十14d)=(1十6d)2,解 PA的垂线12，则l1与l2的交点即为球心O.又AB= 得d=0(含去)成d=日，所以6，=a,=1+2a=2,6 2,所以AE=AB×如60-3，得Q0=AD-号×AL (+1+)x8 =2,又PA=2PQ=4,所以OP=√PQ+QO=2√2，PE =a7=1+6d=4,则bn=2m,因为S8 =√PA2+AE=5,OE=√OD2+DE=√5，由余弦定 811 =22,所以 理得cos∠OPE=OP+PE-OE7W2 4-8 2XOPXPE =10,所以sinm∠OPE 6.A【解折】由x2-2x≥2-10z<1D,得2x-5x十 0,过0作PE的垂线，垂足为G,因为BC⊥AE,BC 2≥0，解得x≤号或x≥2（会去）：令gx=1n-1 ⊥PA,PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE,所以BC ⊥平面PAE,又BCC平面PBC,所以平面PBC⊥ (侵-≥，g)日经游以音 PAE,又因为平面PAE∩平面PBC=PE,OGC平面 PAE,所以OG⊥平面PBC,在Rt△POG中，OG=PO ∈[1,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(2，+∞) 时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)≤g(2)= in∠OPG=22X汽-号，即球心0到平两PB0 数学答案（三）第1页（共5页）》 真题密卷 考前冲顶实战演练（三） 的恶商为导 11.ACD【解析】当a=1时，f'(x)=(x-1)2,由f'(x)≥ mx,可得x2-2x+1≥m.x,即x2-(m十2)x十1≥0， 所以△=(m十2)2-4≤0，解得一4≤m≤0，故A正 确；f'(x)=x2-(a+1)x+a,因为y=2x是f(x)的 一条切线，所以x2-(a+1)x十a-2=0有解，又因为 △=(a+1)2-4(a-2)=a2-2a+9=(a-1)2+8> 0,所以方程有两个不相等的实根，不妨记为x1,x2,分 别将x1,x2代入上式计算可得相应的a1,a2,且a1卡 a,故B袋深：声a=1时1)+/(-2)=行 二、选择题 9.ABD【解析】由题中数据可知，随着x变大，y变小， x-1+日（-x-(-x)-1=-2,所以当a=-1 故变量y与x负相关，故A正确；由表中数据可知，x= 时，f(x)的图象关于点(0，-1)对称，故C正确；当a 写X1+2+3+4+5)=3,y=号×5+42+43.8+3》 1 1 >1时，由)>0，得>a或x<1,此时f(团 =4,又因为y=-0.44x十a,则-0.44×3+a=4,解 单调递增；由f'(x)<0,得1<x<a,此时f(x)单调 得a=5.32,故B正确；当x=3时，y的观测值与估计 值的差为4-（一0.44×3+5.32）=0，故C错误；当x 递减，所以fU)a=f)=日a-名>0， =6时，y=-0.44×6+5.32=2.68,所以可以预测当 7 x=6时，批发价格不超过2.8元/千克，故D正确. fa)aa=fa=日a2+a-1,因为当a>日 10.AC【解析】连接EC,则EC=2√2，因为PE=2,PC 时fa)<0,所以fa)单调递减，即f(a)<f(仔) =2√5，所以PC2=PE2+EC2,即PE⊥EC,又因为 BE⊥EC,PE,BEC平面PBE,PE∩BE=E,所以 0,又f0=-1<0,f0a)-号a-1>0,所以 32 EC⊥平面PBE,又ECC平面BCDE,所以平面PBE ⊥平面BCDE,故A正确；取线段BE的中点为G,连 f(x)有3个零点，故D正确。 三、填空题 接PG,CG,则PG⊥BE,因为平面PBE∩平面BC DE=BE,PGC平面PBE,所以PG⊥平面BCDE, 12.-号【解析】cos(2a-写）=cos2(e+）- 则∠PCG为直线PC与平面BCDE所成的角，sin∠PCG PC236,故B错误：取线段PB的中点为H, PG2_6 cos2(a+】=2sim(e+）-1=-g 53 13.0【解析】如果电视、空调、电脑和热水器更换2个 连接FH,HE,则FH∥BC,且FH=2BC,又因为 CC经 品类，则P1= DE∥BC,且DE=2BC,所以FH∥DE,FH=DE, C:如果电视、空调、电脑和热水器更 即四边形DEHF为平行四边形，所以DF∥EH,又 提3个品类，则P,-C:知采电礼，空.也脑布热 因为EHC平面PBE,DF寸平面PBE,所以DF∥平 水器会部更换，别P=所以所求板率为P,十 CC 面PBE,故C正确；由C知，DF∥HE,故HE与PB 所成的角即为DF与PB所成的角，因为EP⊥PB,所 以EH与PB不垂直，所以PB与DF不垂直，故D P2+P3= CCCCC 53 C C8C8-701 错误. D 14.(号，1【解析】设P(m,m)(m<a),M(xwyr), F1(-c,0),F2(c,0),由PF=3PM,可得(-c-m, -）=8u-mu-a).所以M0,2）.又0应 =mm).NE-(。2,）证·0i=0, 数学答案（三）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 2n2 =0,整理得n2=m(2c-m), 因为PA=PC,所以AC⊥PO, 因为PO,BDC平面PBD,且PO∩BD=O, 由P在C上，得+-1，=6-得 所以AC⊥平面PBD, 因为ACC平面MAC,所以平面PBD⊥平面MAC. m2m）=61）,m-2m+-c2 (4分) (2)解：由题意得AC=√AB2+BC=4,所以OB= a2 0,解得m= -a或m=a +a(舍去)，由 OC=2,因为CD=5,所以OD=√CD2-OC=1, 1g-a <a,可得2c>a,即e= (5分) 2,又0<e<1, 又因为PD=√5，PO=2,所以PO2+OD2=PD2, 所以<<1，故C的病心率的取值范调是（份，1小。 即PO⊥BD, 由(1)知AC⊥BD,AC⊥PO,所以BD,AC,PO两两 四、解答题 相互垂直， (6分) 15.解：(1)由正弦定理得(2 sin Acos B-√3sinB)cosA 以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,之 =3 sin Acos B-2sin Bcos2A, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 整理得2cosA(sin Acos B+sin Bcos A)=√3(sin Acos B +sin Bcos A), 即2 cos Asin(A+B)=√3sin(A+B), (2分) 因为A十B∈(0，π)，所以sin(A十B)≠0， 所以cosA=, 因为A∈(0，)，所以A=吾 (4分) B (2)设AD=DC=x,则AB=3x, 在△ACD中，由AD=DC,A=若，得∠ADC=x 则A(0,-2,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,2), 2A-, B(2,0,0),则AC=(0,4,0), (5分) 因为B时=2，所以N(后，专o小， (7分) 由余弦定理得b2=AD2+CD2一2·AD·CD· cos∠ADC, 则时-（层言-2小 所以b2=x2十x2-2·x·x·cos 3 设PM=λPD(0≤λ≤1)，所以M(-入，0,2-2λ)， 解得b=√3x, (8分) 则AM=(-入，2,2-2λ)， (8分) 在△BCD中，由余弦定理得a2=DC2+BD2一2· 设n=(x,y,之)为平面MAC的一个法向量， DC·BD·cos∠CDB, AC·n=0,即 则 4y=0, AM·n=0,-Ax+2y+2(1-λ)z=0, 所以a2=x2+4x2-2·x·2x·Cos3, 取2=2，得=产y=0,则a=20,产)》 解得a=√3x, (11分) 1 (11分) 因为SaAc-2 besin A-2·V3x·3x· 2 =3V3, 设直线PN与平面MAC所成角为O, 所以x=2,则a十b十c=6十4√3， 42λ 31-λ 所以△ABC的周长为6+4√3. (13分) 则sin0= PN.n |P1n24× x a pr 7, 16.(1)证明：连接BO,DO, 3 因为AB=BC,AD=DC,所以BO LAC,DO⊥AC, (13分) 所以B,O,D三点共线，即AC⊥BD, (2分) 整理得15λ2-4λ-4=0， 数学答案（三）第3页（共5页） 真题密卷 考前冲顶实战演练（三） 解得入=3或入= 2 2 (舍去) 18.(1)解：设M(a,b),则△OMF的面积为S=2× 1 所以子 (15分) 1oF1x1o1-含×号×b1=-2. 17.(1)解：f(x)的定义域为(0，十∞)， 且fx)=-a+1)x+a-x-1Dx-a 所以6=8， (1分) 2,(1分) ①当a≤0时，由f'(x)<0,得0<x<1,由f'(x)> 根据抛物线的定义，得1FM=a-(）- 2所以 0,得x>1, a=2p, (2分) 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递 =2p×2p,解得p=2, (3分) 增； (2分) ②当a=1时，f'(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，十∞)上 即C的方程为y2=4x. (4分) 单调递增； (3分) (2)证明：由(1)知M(4,4),设A(x1,y1),B(x2,y2), ③当0<a<1时，由f'(x)<0,得a<x<1,由f'(x) 直线AB的方程为x=ty十n,则x1≠4且x2≠4， >0,得x>1或0<x<a, 联立 所以f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，十∞)，(0，a)上 z,y十'可得y2-4y-4n=0,△=162+ y2=4x, 单调递增； (4分) 16n>0, ④当a>1时，由f'(x)<0,得1<x<a,由f'(x)> 由韦达定理可得y1十y2=4t,y1y2=-4n,(5分) 0,得x>a或0<x<1, =二4为-44 所以f(x)在(1，a)上单调递减，在(a,十∞)，(0,1)上 214=y?y1+4’何理=，4 y2+4 单调递增. (5分) 4 (2)证明：由(1)知，当0<a<1时，f(x)极大值=f(a) (6分) 1 1 =2a2+alna-aa+1)=a(lna-2a-1)<0, 叉因为k·k娜=1，所以k·kB=车X y1+4 所以f(x)不可能有两个零点； (6分) 4 y2+4=1, 当a>1时，f(x)大=f(1)=-2-a<0, 整理得y1y2+4(y1十y2)=0, 所以f(x)不可能有两个零点； (7分) 所以一4n+16t=0,即n=4t, (7分) 当a=1时，f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以f(x) 所以x=ty+4t=t(y+4), 不可能有两个零点； (8分) 即直线AB过定点(0，-4). (8分) 2x2-x,此 1 (3)解：因为M(4,4),所以N(4,-4), 若要f(x)有两个零点，当a=0时，f(x)= 设直线GM的方程为y一4=k(x一4)， 时x1=0(舍)，x2=2,故舍去；当且仅当 a<0, 所以 f(1)<0, 的 y-4=k(x-4), 可得y2-4y+16(1-)=0, y2=4x, 1 -2<a<0, (9分) 1 则△=16-64k(1-k)=0,解得=2， 设x1<1<x2,令F(x)=f(x)-f(2-x)(0<x<1), 1 则rx)-2+2x-2a-06 所以直线GM的方程为y=2(x十4)，同理可得直线 z(2-)<0, 1 所以F(x)在(0,1)上单调递减，则F(x)>F(1)=0, GN:y=-2(x+4), (10分) 即f(x)>f(2-x), (12分) 设S(2t,t+2),t∈(-2,2)， 所以f(x1)>f(2-x1),又f(x1)=f(x2), 设直线ST:x=m(y-t-2)十2t, 所以f(x2)>f(2-x1), (13分) |x=m(y-t-2)+2t, 由 因为x2>1,2-x1>1,由(1)知f(x)在(1，+∞)上单 y2=4x, 调递增， 可得y2-4my+4mt+8m-8t=0, 所以x2>2-x1,即x1十x2>2. (15分) 由△=(-4m)2-4(4mt十8m-8t)=0,可得m=t或 数学答案（三）第4页（共5页）》 ·数学· 参考答案及解析 m=2(舍)， 1,3,-3,-1,1;1,3,-3,3,-3. 则R(t2,2t),直线ST:x=ty-t2. 所以X的可能取值为0,1,2,3， (7分) 解法一： C4 敌PX=0)EC35P(X=1D→ CC8_18 (x=ty-t2, C351 1 可得T(-2t,t-2), (12分) C号C12 CC 1 =-2x+4), P(X=2)= C351 P(X=3)= C 35(9分) 故X的分布列为 X 0 2 2 3 √5 (2+4-2+4)=45, 18 12 (14分) P 1 35 35 则1Gs11GT1≤(Gs+1GT 2 =20,当且仅当 19 故E(X)=0 35+1 +2x12 1 35 +3 357 1GS|=|GT|=2√5，即R与原点重合时取等号， (10分) (15分) (3)当n≥3时，由am+4=am及an+1十an=0,得am+1 因为sin∠SGT=sin2∠SGO 十an+4=0, =2sin∠SG0cos∠SG0 2tan∠SGO 所以an+3=一am, sin2∠SGO+cos2∠SG01+tan2∠SGO 由am+3=一an及am+1十an=0,得am+3一am+1=0, 2X2 所以an+2=an; 4 51 (16分) 由an+2=am及am+十am=0,得am+1十am+2=0, 所以am+1十am=0满足题意， 即当n≥3时，若a+4=am,必有a+1十an=0成立； 所以Sa=2 GS1GTIsin∠SGT≤8， 由am+4=an及am+1一am=2,得a+1一a+4=2, 因此△GST面积的最大值为8. (17分) 所以am+3=am-2, 解法二： 由a+3=am一2及am+1-an=2,得a+1一a+3=4, 令y=0,得x=-t2,令直线ST与x轴负半轴交于 所以an+2=am-4, 1 由am+2=an一4及a+1-an=2,得a+2一a+1=-6, K(-t,0),所以Sac7r=2|GKs-yr|= 即am+1一am=-6,这与am+1一am=2相矛盾，所以当 2-4+14-2-4-21-号4-川x4=24-) n≥3时，若a+4=am,则a+1一am=2不成立. 综上可知，当n≥3时，am十a+1=0, (13分) ≤8，当且仅当t=0时取等号，所以△GST面积的最 1,n=1, 大值为8. (17分) ①若a3=-3,则am=3,n=2, 19.解：(1)由S+1-S%-1-2(am+1+an)(Sn+1)=0,n≥2， (-1)n×3,n≥3， 得S%+1-S-1-2(Sm+1-Sm-1)(Sn十1)=0，n≥2， 则当n为偶数时，Sm=1十3+(a3十a4)十(as十a6) 整理得(Sm+1一Sm-1)(Sm+1十Sm-1一2Sn一2)=0， +…+(am-1十am)=4, (1分) 当n为奇数时，Sm=1十3+(a十a4)十(a5十a6)十 所以Sm+1-Sa-1=0或Sm+1十Sm-1-2Sm一2=0， …十(am-2+am-1)十an=1, (15分) 所以am+1十an=0或am+1一am=2, (2分) 1,n=1, 则当n=3时，{am}有2个：1,3,5；1,3，-3； ②若a3=5,则am=3,n=2, 当n=4时，{am}有4个：1,3,5,7；1,3,5，-5；1,3， (-1)-1×5,n≥3， -3,-1;1,3,-3,3; 则当n为偶数时，Sm=1十3+(a3+a4)十(as十a6) 当n=5时，{am}有7个：1,3,5,7,9；1,3,5，-5，-3； +…十(am-1十am)=4, 1,3,5,-5,5;1,3,5,7,-7;1,3,-3,-1,1;1,3,-3, 当n为奇数时，Sm=1十3+(a3+a4)+(a5+a6)十 3,5;1,3,-3,3,-3. (5分) …+(am-2十am-1)十am=9. 所以{an}是“个数发散数列”. (6分) 1或9，n为奇数， (2)当n=5时，S=1的情况有3种：1,3,5，-5，-3； 综上可知，Sm= (17分) 4,n为偶数. 数学答案（三）第5页（共5页）》