相邻问题、不相邻问题、相邻问题与不相邻问题综合应用讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

相邻问题、不相邻问题、相邻问题与不相邻问题综合应用讲义 相邻问题、不相邻问题、相邻问题与不相邻问题综合应用讲义 考点目录 相邻问题 不相邻问题 相邻问题与不相邻问题综合应用 考点一 相邻问题 【知识点解析】 一、解题原理 将要求相邻的元素视作一个整体（捆绑），与其他无约束元素一起全排列，再对整体内部的相邻元素全排列，两步结果相乘即总方法数，核心是先整体排列，再内部排列。 二、解题思路（三步法） 1. 定绑：把所有要求相邻的元素捆绑为1个整体（多个相邻组则分别捆绑，如a、b相邻，c、d相邻，绑为2个整体）； 2. 排整体：将捆绑后的整体与剩余无约束元素，进行全排列，计算方法数（为整体数+无约束元素数）； 3. 排内部：对每个捆绑整体内部的元素，分别全排列（考虑元素顺序），计算各内部排列数的乘积； 4. 算总数：整体排列数 × 所有内部排列数 = 总方法数。 关键：相邻元素需全部捆绑，不可拆分，有多个相邻组时分别处理。 【例题分析】 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 例2．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 例3．（25-26高二下·重庆·月考）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 变式3．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 变式4．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 考点二 不相邻问题 【知识点解析】 一、解题原理 先排无约束的元素（占位元素），形成若干个空隙（含两端），再将要求不相邻的元素插入空隙，两步结果相乘即总方法数，核心是先排无约束元素，再插空排约束元素。 二、解题思路（三步法） 1. 排无约束：先排列无相邻要求的元素，计算方法数，形成个有效空隙（元素间个+两端2个）； 2. 选空插约束：从个空隙中，选与不相邻元素数量相等的空隙，将不相邻元素插入并全排列，计算方法数（为不相邻元素数，）； 3. 算总数：无约束元素排列数 × 插空排列数 = 总方法数。 关键：先排无约束元素，空隙数=无约束元素数+1，不相邻元素仅能插空隙，不可相邻。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 例2．（2026·湖南·一模）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 例3．（25-26高二下·天津·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙不相邻，则不同排列方式共有________种．（用数字作答） 例4．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．720 B．432 C．228 D．114 变式2．（25-26高三下·河北邯郸·月考）现有个与个排成一排，则恰有个相邻的不同排法种数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河南新乡·月考）小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 变式4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 考点三 相邻问题与不相邻问题综合应用 【知识点解析】 一、解题原理 捆绑法+插空法结合使用，先处理相邻元素（捆绑成整体），将整体视作“单个元素”，再与无约束元素一起作为占位元素排好，最后将不相邻元素插入空隙，核心是先绑相邻，再排整体占位，最后插不相邻元素。 二、解题思路（四步法，核心：先绑→再排→后插） 1. 绑相邻：将所有要求相邻的元素分别捆绑为整体，标注整体数（如1个相邻组绑为1个整体）； 2. 排占位：将捆绑后的所有整体 + 无任何约束的元素，进行全排列，形成个有效空隙（为此次排列的元素总数）； 3. 插不相邻：从个空隙中选空，将要求不相邻的元素插入并全排列，保证不相邻元素彼此分离； 4. 算总数：相邻内部排列数 × 占位元素排列数 × 插空排列数 = 总方法数。 补充：若有多个不相邻组，需依次插空（后插空组从新形成的空隙中选空），保证各组均不相邻。 关键：优先处理相邻元素（捆绑），再将整体作为占位元素，最后插不相邻元素，不可颠倒顺序。 【例题分析】 例1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 例2．（24-25高二下·广东·月考）甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 例3．（24-25高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小学党支部包含甲、乙、丙、丁在内的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有______种（用数字作答）. 例4．（25-26高三上·上海·期末）同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有__________种. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 变式2．（24-25高二下·浙江·期中）某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 变式3．（24-25高三上·上海·月考）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有_____种． 变式4．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有_______种.（用数字作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $相邻问题、不相邻问题、相邻问题与不相邻问题综合应用讲义 相邻问题、不相邻问题、相邻问题与不相邻问题综合应用讲义 考点目录 相邻问题 不相邻问题 相邻问题与不相邻问题综合应用 考点一 相邻问题 【知识点解析】 一、解题原理 将要求相邻的元素视作一个整体（捆绑），与其他无约束元素一起全排列，再对整体内部的相邻元素全排列，两步结果相乘即总方法数，核心是先整体排列，再内部排列。 二、解题思路（三步法） 1. 定绑：把所有要求相邻的元素捆绑为1个整体（多个相邻组则分别捆绑，如a、b相邻，c、d相邻，绑为2个整体）； 2. 排整体：将捆绑后的整体与剩余无约束元素，进行全排列，计算方法数（为整体数+无约束元素数）； 3. 排内部：对每个捆绑整体内部的元素，分别全排列（考虑元素顺序），计算各内部排列数的乘积； 4. 算总数：整体排列数 × 所有内部排列数 = 总方法数。 关键：相邻元素需全部捆绑，不可拆分，有多个相邻组时分别处理。 【例题分析】 例1．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 例2．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 例3．（25-26高二下·重庆·月考）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 【答案】36 【详解】将3名学生捆绑，并排列，再与2名老师一起排列，共有种排法. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 变式2．（25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 变式3．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 【答案】 【详解】8名学生排成一排有种方法，此时产生9个空， 再把2位教师插入有种方法， 所以有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有种不同的站法， 故答案为： 变式4．（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 考点二 不相邻问题 【知识点解析】 一、解题原理 先排无约束的元素（占位元素），形成若干个空隙（含两端），再将要求不相邻的元素插入空隙，两步结果相乘即总方法数，核心是先排无约束元素，再插空排约束元素。 二、解题思路（三步法） 1. 排无约束：先排列无相邻要求的元素，计算方法数，形成个有效空隙（元素间个+两端2个）； 2. 选空插约束：从个空隙中，选与不相邻元素数量相等的空隙，将不相邻元素插入并全排列，计算方法数（为不相邻元素数，）； 3. 算总数：无约束元素排列数 × 插空排列数 = 总方法数。 关键：先排无约束元素，空隙数=无约束元素数+1，不相邻元素仅能插空隙，不可相邻。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·山东青岛·月考）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 【答案】B 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 例2．（2026·湖南·一模）3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．240 B．364 C．432 D．468 【答案】C 【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为． 例3．（25-26高二下·天津·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙不相邻，则不同排列方式共有________种．（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意先排丙、丁、戊，再将甲、乙插空得不同的排列方式共有种. 例4．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种. 【答案】150 【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定， 只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡， 放法数为：； 第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端）， 要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定， 选法数为：， 第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．720 B．432 C．228 D．114 【答案】B 【详解】先从3名男越野爱好者中选2名排在队头和队尾，有种排法， 再将4名女越野爱好者进行全排列，有种排法， 排好队头和队尾的2名男越野爱好者和4名女越野爱好者后，形成3个空位（女越野爱好者之间的空位）， 将剩余的1名男越野爱好者插入这3个空位中，有3种插法， 根据分步计数原理，可得共有种不同的排法. 变式2．（25-26高三下·河北邯郸·月考）现有个与个排成一排，则恰有个相邻的不同排法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①将个分为组，组的个数分别为、、， 然后从个形成的个空位中选出个，然后从这个空中选择个空排入相邻的个， 不同的排法种数为种； ②将个分为组，组的个数分别为、， 然后从个形成的个空位中选出个，插入两组A（要考虑两组的顺序）， 不同的排法种数为种； 所以不同排法种数为. 变式3．（25-26高二下·河南新乡·月考）小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 【答案】432 【详解】第一步，排4道A型题．4道A型题全排列，有种安排顺序； 第二步，排2道B型题．排好后的A型题会产生5个空位（包括两端）， 将2道B型题插入空位．有种安排顺序， 由分步乘法计数原理，得B型题不相邻的安排顺序有种； 第三步，排除不符合要求的情况．前3道题都是A型题的情况， 即2道B型题在第4题和第6题的位置：4道A型题全排列，有种安排顺序， 2道B型题全排列，有种安排顺序， 所以不符合要求的安排顺序有种． 所以不同的安排顺序有种． 变式4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为______． 【答案】50 【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50 考点三 相邻问题与不相邻问题综合应用 【知识点解析】 一、解题原理 捆绑法+插空法结合使用，先处理相邻元素（捆绑成整体），将整体视作“单个元素”，再与无约束元素一起作为占位元素排好，最后将不相邻元素插入空隙，核心是先绑相邻，再排整体占位，最后插不相邻元素。 二、解题思路（四步法，核心：先绑→再排→后插） 1. 绑相邻：将所有要求相邻的元素分别捆绑为整体，标注整体数（如1个相邻组绑为1个整体）； 2. 排占位：将捆绑后的所有整体 + 无任何约束的元素，进行全排列，形成个有效空隙（为此次排列的元素总数）； 3. 插不相邻：从个空隙中选空，将要求不相邻的元素插入并全排列，保证不相邻元素彼此分离； 4. 算总数：相邻内部排列数 × 占位元素排列数 × 插空排列数 = 总方法数。 补充：若有多个不相邻组，需依次插空（后插空组从新形成的空隙中选空），保证各组均不相邻。 关键：优先处理相邻元素（捆绑），再将整体作为占位元素，最后插不相邻元素，不可颠倒顺序。 【例题分析】 例1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列， 有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法. 故选：B 例2．（24-25高二下·广东·月考）甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 例3．（24-25高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小学党支部包含甲、乙、丙、丁在内的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有______种（用数字作答）. 【答案】43200 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 例4．（25-26高三上·上海·期末）同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有__________种. 【答案】72 【详解】分三步： 第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法； 第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法； 第三步，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法. 由分步乘法计数原理得，共有种方法. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 变式2．（24-25高二下·浙江·期中）某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【详解】因为环节A、B必须相邻，所以将A、B看作一个整体，考虑A、B之间的排列顺序，则A、B的排列方式有种． 此时相当于有两个元素（捆绑后的A、B和E）进行排列，排列方式有种． 经过步骤2的排列后，形成了3个空位，从这3个空位中选2个空位插入C、D，根据排列数公式，其排列方式有种． 所以不同的安排方式一共有种． 故选：B． 变式3．（24-25高三上·上海·月考）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有_____种． 【答案】 【详解】2位女生不相邻，且3位男生相邻，则只能3位男生一起站中间，2名女生站两端， 故总的排法有, 故答案为：12 变式4．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有_______种.（用数字作答） 【答案】84 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 2 学科网（北京）股份有限公司 $