概率与数列递推综合问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

概率与数列递推综合问题复习讲义 概率与数列递推综合问题复习讲义 知识点解析 一、通用解题思路（四步法，核心：建递推→判类型→求通项→用结论） 1. 设变量，定义概率数列 设为第次试验达到目标状态的概率（如第次成功、第次停在某位置、第次完成事件的概率），明确的取值范围（），标注初始条件/（/时的基础概率，由题干直接得）。 1. 分情况，建立概率递推式 根据试验的递推特征（第次结果由第/次结果决定），利用分类加法+分步乘法计数原理，分情况讨论第次达到目标的所有可能路径，建立与/的递推关系： · 核心逻辑：“前一步成功后当前成功的概率”“前一步失败后当前成功的概率”； · 常见形式：（线性非齐次）、（二阶线性）、（等差）、（等比）。 1. 化类型，求概率数列的通项 将建立的概率递推式转化为常见数列递推类型，用数列通项求解方法求的表达式： · 等差型（）：直接用通项公式； · 等比型（）：直接用通项公式； · 线性非齐次（，）：构造等比数列，令，求，转化为等比数列求通项； · 二阶线性（）：利用特征方程法，或通过递推转化为等差/等比数列。 1. 结合概率意义，求解最终问题 根据题干要求，利用的通项公式求解： · 求某一次试验的概率：直接代入得； · 求极限概率：当时，求（适用于无限次试验，如最终成功的概率）； · 求期望/最值：将作为数列，求其前项和、最值，结合概率意义解释结果。 二、高频考向及专属解法 考向1：一步递推型（与关联，最常考） · 特征：第次结果仅由第次决定，递推式为； · 解法：① 定初始条件；② 构造等比数列求通项；③ 代入求解（如求、极限概率）。 · 例：每次试验成功概率，失败则重测，求第次首次成功的概率→（等比型）。 考向2：两步递推型（与、关联） · 特征：第次结果由前两次决定（如传球问题、走台阶问题），递推式为； · 解法：① 定初始条件、；② 特征方程法/递推转化求通项；③ 求目标概率。 · 例：传球问题，每人每次传给另外两人，求第次球回到发球者手中的概率→。 考向3：无限次试验的极限概率 · 特征：求无限次试验后达到目标的概率（）； · 解法：① 建立一步递推式；② 令时，；③ 代入得，解得（无需求通项，直接解）。 考向4：概率数列的期望与和 · 特征：求前次试验中目标事件发生的期望、总概率； · 解法：① 求的通项；② 求前项和；③ 结合期望定义求解。 三、核心技巧与关键提醒 1. 初始条件必找准：/是数列递推的基础，由题干“第一次试验/初始状态”直接确定，如“初始时未成功”则，“第一次试验成功概率为”则； 1. 分类讨论无遗漏：建立递推式时，需分尽第次达到目标的所有互斥情况，避免因漏情况导致递推式错误； 1. 递推式化简为核心：若递推式非标准型，先通过移项、变形化为等差/等比/线性递推，再用对应方法求解，切勿直接硬算； 1. 概率意义验证结果：求解的需满足，若结果超出范围，必是递推式/初始条件错误，及时验证； 1. 极限概率速解：无限次试验的极限概率，无需求通项，直接令代入递推式求解，大幅提效。 例题分析 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. (1)求，； (2)数列满足，证明：数列为等比数列，并求； (3)证明： 例3．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 例4．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 变式训练 变式1．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 变式3．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 变式4．（25-26高三下·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 实战演练 1．（25-26高三上·云南普洱·期末）小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复抛掷一枚硬币次后的总得分为． (1)求； (2)当为奇数时，证明：； (3)记，求数列的前项和. 2．（25-26高三上·山西长治·月考）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． (1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； (2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $概率与数列递推综合问题复习讲义 概率与数列递推综合问题复习讲义 知识点解析 一、通用解题思路（四步法，核心：建递推→判类型→求通项→用结论） 1. 设变量，定义概率数列 设为第次试验达到目标状态的概率（如第次成功、第次停在某位置、第次完成事件的概率），明确的取值范围（），标注初始条件/（/时的基础概率，由题干直接得）。 1. 分情况，建立概率递推式 根据试验的递推特征（第次结果由第/次结果决定），利用分类加法+分步乘法计数原理，分情况讨论第次达到目标的所有可能路径，建立与/的递推关系： · 核心逻辑：“前一步成功后当前成功的概率”“前一步失败后当前成功的概率”； · 常见形式：（线性非齐次）、（二阶线性）、（等差）、（等比）。 1. 化类型，求概率数列的通项 将建立的概率递推式转化为常见数列递推类型，用数列通项求解方法求的表达式： · 等差型（）：直接用通项公式； · 等比型（）：直接用通项公式； · 线性非齐次（，）：构造等比数列，令，求，转化为等比数列求通项； · 二阶线性（）：利用特征方程法，或通过递推转化为等差/等比数列。 1. 结合概率意义，求解最终问题 根据题干要求，利用的通项公式求解： · 求某一次试验的概率：直接代入得； · 求极限概率：当时，求（适用于无限次试验，如最终成功的概率）； · 求期望/最值：将作为数列，求其前项和、最值，结合概率意义解释结果。 二、高频考向及专属解法 考向1：一步递推型（与关联，最常考） · 特征：第次结果仅由第次决定，递推式为； · 解法：① 定初始条件；② 构造等比数列求通项；③ 代入求解（如求、极限概率）。 · 例：每次试验成功概率，失败则重测，求第次首次成功的概率→（等比型）。 考向2：两步递推型（与、关联） · 特征：第次结果由前两次决定（如传球问题、走台阶问题），递推式为； · 解法：① 定初始条件、；② 特征方程法/递推转化求通项；③ 求目标概率。 · 例：传球问题，每人每次传给另外两人，求第次球回到发球者手中的概率→。 考向3：无限次试验的极限概率 · 特征：求无限次试验后达到目标的概率（）； · 解法：① 建立一步递推式；② 令时，；③ 代入得，解得（无需求通项，直接解）。 考向4：概率数列的期望与和 · 特征：求前次试验中目标事件发生的期望、总概率； · 解法：① 求的通项；② 求前项和；③ 结合期望定义求解。 三、核心技巧与关键提醒 1. 初始条件必找准：/是数列递推的基础，由题干“第一次试验/初始状态”直接确定，如“初始时未成功”则，“第一次试验成功概率为”则； 1. 分类讨论无遗漏：建立递推式时，需分尽第次达到目标的所有互斥情况，避免因漏情况导致递推式错误； 1. 递推式化简为核心：若递推式非标准型，先通过移项、变形化为等差/等比/线性递推，再用对应方法求解，切勿直接硬算； 1. 概率意义验证结果：求解的需满足，若结果超出范围，必是递推式/初始条件错误，及时验证； 1. 极限概率速解：无限次试验的极限概率，无需求通项，直接令代入递推式求解，大幅提效。 例题分析 例1．（25-26高二下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）由题意可知：，，. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）甲､乙､丙三人之间互相传球，甲传给乙丙的概率分别为和；乙传给甲丙的概率分别为和；丙传给甲乙的概率分别为和；首先由甲开始传球，为经过n次传球后球回到甲手中的概率. (1)求，； (2)数列满足，证明：数列为等比数列，并求； (3)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3)证明见解析 【详解】（1）定义事件为第n次传球时甲传给乙，为第n次传球时甲传给丙， 为第n次传球时乙传给甲，为第n次传球时乙传给丙， 为第n次传球时丙传给甲，为第n次传球时丙传给乙， 由题意，， 首先由甲开始传球，则，，， . （2）定义第n次传球后球在乙手上的概率为，第n次传球后球在丙手上的概率为， 则， 则， 而， 则， 所以， 即， 由，，，则，， 而， 即，则，， 所以，， 则，， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，， 即，设，则，， 又，则， 则， 所以. （3）设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，， 令，则， 即，则， 则， 设，则， 而， 即， 则. 例3．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)（i），其最大值为；（ii）. 【详解】（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为， 若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1； 若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为， 四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件， 与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为， 所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为. （2）（i）因规则对学员B, C, D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等， 可记为，则，又， 因此，即，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 于是，当为正奇数时，， 当为正偶数时，，而数列单调递减，则当时，取最大值， 所以的表达式为，其最大值为. （ii）由（i）得，， 因此，，， 两式相减得， 所以. 例4．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. (1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 【答案】(1) (2)①；②证明见解析，6个 【详解】（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”， 事件“在一个阶段中成功完成任务”， 依题意，，，，， 因此， 所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为. （2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，， ， 同理. ②设事件“第个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止； （ii）第阶段失败，且第阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止， 因此第个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 而各阶段任务成功与否相互独立， 因此， 当时，， 当时，，要证数列单调递减，只需证， 即， 当时，，，， 当时，，由于，故. 因此，对于，都有，从而. 当时，, 为单调递减数列. 由当时，，经计算，， 所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务. 变式训练 变式1．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)规则不合理、不公平 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. （2）分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. （3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）能 【详解】（1）设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， . （2）（i）由①知道. 由②根据全概率公式 ， . 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且，所以， 故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可求， 同理 ， 所以， 联立解得 ，， 所以. 随着的增大，增大，注意到，所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率. 变式3．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 变式4．（25-26高三下·重庆渝中·月考）小明手中有2张“中奖”奖券和1张“谢谢惠顾”的未中奖奖券，小红手中有3张“谢谢惠顾”的未中奖奖券．小明与小红商量后，他俩进行交换奖券的游戏：每次小明、小红都从对方手中各随机取一张奖券作为交换．记交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的概率为． (1)求； (2)推导与之间的递推关系； (3)求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2) (3)； 【详解】（1）解：设交换次后，小明恰有张中奖券的概率为， 由题意，第1次交换，可得， 所以. （2）解：根据题意，分类讨论，交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券的情况： ①交换次后，小明恰有2张“中奖”奖券：； ②交换次后，小明恰有1张“中奖”奖券：， ③交换次后，小明恰有0张“中奖”奖券：， 综上可得，. （3）解：由（2）知：， 设，可得， 令，解得，所以， 又由，所以数列构成首项为，公比为的等比数列， 所以，可得， 所以. 实战演练 1．（25-26高三上·云南普洱·期末）小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复抛掷一枚硬币次后的总得分为． (1)求； (2)当为奇数时，证明：； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且各次抛掷相互独立， 所以服从参数为的二项分布，即， 所以， 得 （2）当为奇数时，设，则，， 所以只需证. 根据二项分布的概率公式， ， 所以，故原不等式成立. （3）由二项分布的期望公式为，其中，即 所以， 得 所以 . 故. 2．（25-26高三上·山西长治·月考）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立． (1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率； (2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)， 【详解】（1）设事件为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则 ． （2）依题意：随机变量的可能取值为3，4，5，6，则 ，， ，． 的分布列为 3 4 5 6 所以数学期望． （3）方法1：使用共享交通工具的累计积分恰为分的概率为， 积分跳过分的情况只有先积分，再积2分，概率为，其中， 因为，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 方法2：由题意可知， 则，因为， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $