正方形的性质、正方形的判定专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

正方形的性质、正方形的判定专项训练 正方形的性质、正方形的判定专项训练 考点目录 正方形的性质 正方形的判定 考点一 正方形的性质 例1.(24-25八年级下·上海期末)如图，用四根相同长度的木条制作成正方形ABCD,测得对角线AC长为5√2， 如果将此正方形变形为菱形，且∠DAB=60°，那么菱形对角线AC长为() D D B A.10 B.5V6 C.55 D.52 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是正方形，对角线AC长为5√2， .AB=BC,∠B=90 六AB+BC2=AC2,即2AB2=(52 .AB BC =5cm 如图，连接BD交AC于点O, 0 -- O A B 将正方形变形为菱形， 1 ∴AB=AD,AC1BD,B0=D0,OA=OC=。AC, ∠DAB=60° ·ABC为等边三角形， AD AB=BD=5cm,OB=OD=1BD=5 -cm, 2 0A=VAB2-0B-5 2-cm, AC 204=5v3cm. 正方形的性质、正方形的判定专项训练 例2.(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,分别以AC,AB为边向 外作正方形ACDE,正方形ABMN,连接NE,则NE的长为() E B C A.10 B.9 C.√73 D.√4I 【答案】C 【详解】解：过点E作EP∥AM,，交CA的延长线于点P,设AQ交NE于点Q,如图所示： ∠P=∠PAN,∠PEQ=∠ANQ, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√4+32=5， ~四边形ACDE和四边形ABMN都是正方形， ∴AN=AB=5,AE=AC=4,∠NAB=∠EAC=90°， ∠EAQ=180°-∠EAC=90°， ·∠EAQ=∠ACB=90°，△EAP和△EQA都是直角三角形， 在RtEAP中，∠PEA+∠P=90°， ∠P=∠PAN, ∠PEA+∠PAN=90°， 又LPAN+∠BAC=180°-∠NAB=90°， ∠PEA=∠BAC, 在△EPA和ABC中， ∠EAQ=∠ACB=90° ∠PEA=∠BAC AE=AC 2 正方形的性质、正方形的判定专项训练 ·△EPA≌△ABC(AAS, :.PE =AB=5,PA=BC=3, ∴PE=AN=5, 在△PEQ和△ANQ中， ∠P=∠PAN ∠PEQ=∠ANQ, PE=AN ·△PEQ≌△ANO(AAS, P0=A0-4-}0=e. .NE =EO+NO=2E0, 在RtAEQA中，由勾股定理得：EQ=√AE2+AQ2= 3 √73 42 ∴NE=2EQ=V73. 故选：C. 例3.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是 由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD,面积为9 ，中间的小正方形为正方形EFGH,面积为2，连接AC,交BG于点P,交DE于点M,①△CGP≌△AEM,② 2S4-Sca=2:®DH+HC=4,④HC=2+,以上说法中正确的个数为(). 2 D G H M E B A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【详解】解：RtABCG≌RtADAE, ∴CG=AE,∠CGP=∠AEM, ~在正方形EFGH中，HE=GF,GH∥EF. :.ZGCP=ZMAE ·△CGP≌△AEM(ASA),故①正确； 正方形的性质、正方形的判定专项训练 .S.CoP=S.AEM GP=ME, ∴.S。AFP-SCGP=S四边形EMEFP HE=GF, ∴.HM=PF, 1 S达号Bn=S边wap=SE方形60=L, “S.AFP-S,cGP=1,即2Sp-2ScGp=2,故②错误； :DH2+CH2=DC2=9, .DH +CH=DH2+CH2+2DH.CH =9+2DH.CH, CH=HG+DH, ∴CH-DH)2=HG2=2, .CH2+DH2-2DH.CH=2, 2DH.CH=9-2=7, DH+CH)2=9+7=16, ∴DH+CH=4,故③正确： CH-DH=2, HC=4+2-2+5 ,故④正确 2 2 故①③④正确，②错误. 故选：B. 例4.(24-25八年级下·湖北武汉·期末)如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，若EC=30cm,EB=10cm,则 该正方形的对角线长为 cm D E B 【答案】40 【详解】解：连接AC,如图所示： 正方形的性质、正方形的判定专项训练 D :四边形ABCD是正方形， E B AB=BC,∠B=90°， 在RtaBCE中，EC=30cm,BE=10cm, 由勾股定理得：BC=VEC2-BE2=V302-102=20√2(cm, 在RtA ABC中，AB=BC, 由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√2BC=√2x20√2=40(cm), :该正方形的对角线长为40cm. 例5.(24-25九年级上辽宁沈阳期末)如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上的一点，BE=2,F为AB上 的一点，AF=4,P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为· D F B E 【答案】2√17 【详解】解：如图，作点E关于直线AC的对称点E,连接E'F,PE',过点F作FG⊥CD于点G, A D P E G.EP=E'P,DE'=BE=2,∠FGD=90°， B E :PF+PE PF E'P 2 E'F. 在正方形ABCD中，∠BAD=∠BCD=∠B=∠D=90°，AD=8, :四边形AFGD为矩形， :DG=AF=4,GF=AD=8, :GE'=GD-DE'=4-2=2. 在Rt△E'FG中， 5 正方形的性质、正方形的判定专项训练 E'F=FG2+GE2=27 即PF+PE的最小值为217. 例6.(2025·河南周口一模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿EF折叠， 使点B落在4D边上的三等分点M处，点C的对应点为点N若B=号，则线段证的长为一 D B 【答案】 9号 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=5, 2 AD=AB=15 4=90, ~点B落在AD边上的三等分点M处， ∴AM=AD和AM=2AD, 3 3 设AE=x,则BE=15 X, 2 15 由折叠的性质得EM=BE= -x, 2 当M兮D时，则4W=, 在R4EM中，4M+4E-E,闻)+r-(货小 10 解得x= 3: 当AM=2AD时，则AM=5, 3 在KI4EM中，AwAE=Ew,即s+(5- 解得r=25 29 10.25 综上，线段AE的长为或 3 12· 变式1.(24-25八年级下·福建福州月考)如图所示，已知正方形ABCD边长为1，连接AC,BD,CE平分∠ACD交 6 正方形的性质、正方形的判定专项训练 BD于点E,则DE的长为() D E A.2√2-2 B.√5-1 C.2-5 D.√2-1 【答案】D 【详解】解：过点E作EF⊥CD于点F, ~四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD,∠ADC=90°，BD平分∠ADC, ∠BDC=1∠ADC=45°， 2 ~CE平分LACD, .EF =0E ∠DEF=90°-∠BDC=45°， :.ZDEF ZBDC ∴EF=DF即：△DEF是等腰直角三角形， ~正方形ABCD边长为1， ∴BD=√2CD=√2x1=√2， OD=1BD= 2 2 设OE=x, 在R1aDEF中，DE=VEF2+DF2=√2x 0D=0E+DE, 5=x+2x 2 解得：x=2-V2 2 六DE=V2x=V2-1, 故选：D. 7 正方形的性质、正方形的判定专项训练 变式2.(24-25八年级下·浙江宁波·期中)如图所示，E为边长是4的正方形ABCD的边AB的中点，M为BC上一 点，N为CD上一点，连接EM、MN、NA,则四边形AEMN周长的最小值为() A D E B M A.10 B.12 C.10+22 D.12+22 【答案】B 【详解】解：如图，延长AD至A,使AD=DA',延长AB至E,使BE=BE',连接AE',交BC于M,交DC于 N, A D E B M B ~四边形ABCD是正方形， AD=AB=4,∠ABC=∠ADC=90°， “CD垂直平分AA',BC垂直平分EE', ·AN=A'N,EM=E'M, 四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A'N+MN+ME'+AE≥A'E'+AE, 根据两点之间线段最短可知，A'E'+AE就是四边形AEMN周长的最小值. E为边长是4的正方形ABCD的中点， AE=BE=2, 正方形的性质、正方形的判定专项训练 A'D AD =4,BE BE'=2, AE'=6,AA'=8, 六A'E'=√AE2+A'A2=10, ∴四边形AEMN周长的最小值为10+2=12. 变式3.(2425八年级下·重庆期中)在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点0，点E在线段AD上，点F在 线段BD上，连接AF、EC,且EC=6,连接EF交AC于点M,∠AFO=∠FM0,点G在线段EF上，且 DG=FG,延长DG交AC于点H,则DH=(). E D G B A.4 B.32 C.25 D.2W6 【答案】B 【详解】解：如图，过点F作AD的垂线，交AD于点P,交BC于点Q,连接CF, D G F BO 四边形ABCD是正方形， ∠ABD=∠CBD=∠ADB=45°，∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC, 在△ABF和CBF中， AB=BC ∠ABD=∠CBD, BF=BF ·△ABF≌△CBF(SAS), ·AF=CF, 0 正方形的性质、正方形的判定专项训练 AC⊥BD, ∠AF0=∠CF0,∠C0F=90°， ∠AF0=∠FM0, ÷∠CF0=∠FM0, ∠CF0+∠0CF=180°-∠C0f=90°， ∠0CF+∠FM0=90°， ∴∠CFM=180°-∠0CF-∠FM0=90°， :∠CFQ+∠EFP=180°-∠CFM=90°， FP⊥AD, ∠FPE=90°， ∠ADB=45°， △FDP是等腰直角三角形， FP=DP,∠ADB=∠DFP=45°， ~∠FPD=∠BCD=∠ADC=90°， ∴四边形CDPQ是矩形， CQ=DP=FP,∠FPD=∠CQF=90°， ∠EFP+∠PEF=90°，∠EFP+∠CFQ=90°， ∴LPEF=LCFQ, 在△PFE和△QCF中 「∠FPD=∠CQF ∠FEP=∠CFQ, FP=CO ∴△PFE≌△QCF(AAS), .CF =EF, ·△CEF是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，EF2+CF2=EC2, EF2+EF2=36, 解得EF=CF=3√2， DG=FG, ∠GDF=∠GFD, ∠ADB=∠DFP=45°， 10正方形的性质、正方形的判定专项训练 正方形的性质、正方形的判定专项训练 考点目录 正方形的性质 正方形的判定 考点一 正方形的性质 例1．（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 例2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 例3．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 例5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 例6．（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 变式3．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 变式4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 变式5．（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 变式6．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 考点二 正方形的判定 例1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 例2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 例3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 例4．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在，上，且，于点G． (1)求证：矩形是正方形； (2)延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 变式1．（25-26九年级上·江西吉安·月考）在等腰中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：四边形是正方形； (2)若，求正方形的面积． 变式2．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，点是中边上的中点，，，垂足分别为，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，判断四边形的形状并证明你的结论． 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，O是的中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 变式4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $