精品解析：贵州省六盘水市2026届高三下学期数学素养训练

高三数学素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 5. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点， 为的焦点.若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 8. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，从双曲线 的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知 ，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 11. 记函数的导函数为，已知 ，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极大值点为________. 13. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 14. 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 （1）任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点. （1）证明：平面． （2）若 ，求二面角 的余弦值. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 恒成立，求a的取值范围. 18. 已知椭圆的焦距为2，且过点 ． （1）求椭圆C的方程. （2）设B为椭圆C的右顶点，过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线 的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 19. 若正项数列满足对于给定的正数 ， ，， （为的前n项和），则称为“ 稳定数列”. （1）若为“ 稳定数列”，且，求的取值范围. （2）若，证明：数列为“稳定数列”. （3）若为“ 稳定数列”，证明，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法运算法则，将复数化为的形式可得. 【详解】因为. 所以复数的虚部为3. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 5. 已知函数的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 7. 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为 ，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，表示出点的坐标，根据，求得，结合抛物线的定义可得. 【详解】由题可知，. 设，则， 由，得， 化简得，得，所以. 所以. 8. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点. 因为圆锥的底面半径为,所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和. 所以这两个圆锥对应的母线分别为和. 该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为 . 则，解得. 此时，这个球的表面积最大，最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示可得. 【详解】向量，， 若，则，即，所以A正确，B错误； 若，则，即，所以D正确，C错误. 10. 如图，从双曲线 的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知 ，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求得双曲线的方程，从而求得其渐近线的方程，判断A；根据双曲线的方程求得点的坐标，求出的面积，判断B；由角平分线定理结合双曲线的定义求得，判断C；利用导数的几何意义求得点的坐标，即可判断的形状，判断D. 【详解】设双曲线的焦距为，则，所以. 所以. 所以C的渐近线方程为，所以A错误； 若，则，所以，所以的面积为，所以B正确； 若l与x轴交于点，则， 又，所以，所以C正确； 若l的斜率为2，则点在第一象限，设. 由，得当 时，， . 令，得. 所以，即. 又，所以，所以为直角三角形，所以D正确. 11. 记函数的导函数为，已知 ，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，利用导数，由题意可得是减函数，由此判断A，B；若为偶函数，则，两边求导，可得为奇函数，由此判断C，用特殊值法，可判断D. 【详解】由，得， 因为 ，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极大值点为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，即可得其极大值点. 【详解】函数的定义域为. . 所以当或时， ；当时， . 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极大值点为. 13. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 【答案】42 【解析】 【分析】先求出1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花的方法数，再减去只栽种两种花的情况，即可得答案. 【详解】先给1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花，不同的栽种方法有种. 只栽种两种花的情况有 . 故有公共边的部分不栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种的方法数有种 14. 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的周期，将方程转化为在上有解，再令分类讨论并结合函数的性质即可求出. 【详解】令，则，故的周期为， 则关于x的方程在上始终有解等价于方程在上有解， 令，， 当时，，， 则 ， 当时，，， 则 ， 当时，，， 则 ， 综上，m的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 （1）任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； （2）依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）能认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率计算求解即可； （2）由题意的联表，计算，对比临界值即可判断； 【小问1详解】 根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8， 则至少有2人能完成精细抓握的概率如下， 为； 【小问2详解】 零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点. （1）证明：平面． （2）若 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以 ， 设，则是中点，且是的中点，所以 ， 因为平面，则 平面，平面，所以 ， 因为 平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线垂直以及直线与平面垂直的性质可证平面； （2）以， 为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再应用二面角弦公式计算可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，分别以， 为轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为且，则 为等边三角形，则， 又 ，则 ，则，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取 ，则 ，，则. 设平面的一个法向量为， 设二面角 为 ，， 因为 为锐角，所以. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，即可得曲线在点处的切线方程； （2）分三种情况，对函数的单调性进行分析，进而得到的最小值，结合 恒成立，可得a的取值范围. 【小问1详解】 若，函数，定义域为， ， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，定义域为. 若，则是减函数，值域为，不满足 恒成立，所以 . 若 ，. 令，得或. 当时， 恒成立， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值. 若 恒成立，则，即， 化简得，解得. 当时，恒成立， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值. 若 恒成立，则，即， 化简得，解得. 综上，a的取值范围是. 18. 已知椭圆的焦距为2，且过点 ． （1）求椭圆C的方程. （2）设B为椭圆C的右顶点，过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线 的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由（1）得 ，直线不垂直于 轴，设其方程为 ， ， 由消去得 ，， 则， 所以为定值. （ⅱ） . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证；（ⅱ）由（ⅰ）求出面积的函数关系，再借助对勾函数性质及不等式性质求出范围. 【小问1详解】 由椭圆的焦距为2，得 ， 由点 在椭圆上，得 ，联立解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令 ，，函数在 上单调递增， 函数的值域为 ，即 ，因此， 所以面积的取值范围是 . 19. 若正项数列满足对于给定的正数 ， ，， （为的前n项和），则称为“ 稳定数列”. （1）若为“ 稳定数列”，且，求的取值范围. （2）若，证明：数列为“稳定数列”. （3）若为“ 稳定数列”，证明，． 【答案】（1） （2）证明：当时， ，满足 ， 当时，对于任意正整数 ，有，则， 则由 ，可得 ， 又由 ，可得, 所以 ， 则 ， 所以数列为“稳定数列”. （3）证明：因为为“稳定数列”，所以 ，则 ， ， 则，由 ，可得， 由为“稳定数列”可得 ，则 ， 当时，，则， 因为 ，所以 ，故 ， . 由得，结合 ，则 ，则 ， 当时，，则， 当时，，故， 从而 ，. 【解析】 【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式 ，解一元二次不等式即可得到​的取值范围； （2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有 ； （3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边. 【小问1详解】 由题意，是稳定数列，故对， . 已知，则​（ ），对，有 ， 解左边不等式 ，得正根​； 解右边不等式 ，得正根​， 故的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $