精品解析：河北泊头市第一中学2025-2026学年度高二下学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共60分） 1. 的展开式中的常数项是（ ） A. 352 B. C. 1120 D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 2. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（   ） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先选择一对双胞胎，再从其余两对双胞胎中各选择1人即可. 【详解】先选择一对双胞胎，有种， 再从其余两对双胞胎中各选择1人，有种， 则共有种选法. 故选：B 3. 今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出没之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解． 【详解】分以下两种情况讨论： （1）小明和其中一人同时看《哪吒2》，另外两人看剩余三部电影中的两部， 此时所求概率为， （2）观看《哪吒2》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分配给两部电影， 此时所求概率为， 综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为． 故选：C． 4. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求解， 第一类，甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻；第二类，甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件.从而得解. 【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件，有种，共有种． 故选：D. 6. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 72种 B. 90种 C. 108种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，再结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 7. 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（ ） A. 1860种 B. 2174种 C. 2354种 D. 2651种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以“只会划左舷的人员入选左舷的人数” 为标准进行分类，对每一种情况进行计算即可求解. 【详解】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 8. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 9. l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ） A. 0.001 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.004 【答案】D 【解析】 【分析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，求得，且，结合贝叶斯公式，即可求解. 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 10. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在的展开式中，的系数为，再根据组合数的性质即可计算得到答案. 【详解】在的展开式中， 的系数为 . 故选：C. 11. 若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案. 【详解】，，，，， 第6项的系数最大，，则. 故选：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12. 某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的期望表示可得出，设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，利用基本不等式可求得的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，． 故选：B. 13. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 14. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 19种 B. 18种 C. 17种 D. 16种 【答案】C 【解析】 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 15. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】，即投掷次到达终点，故第一次投掷的点数为，故， ，即投掷次到达终点，故第一次投掷的点数不为， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，，，，，. 故， ，即投掷次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ， ……， ，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点， ， 故①， ②， 则①-②得 故. 【点睛】结论点睛：若数列是首项为，公比为的等比数列，当且时，数列的所有项的和为：. 二、多选题（每题6分，共30分） 16. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分步计数原理判断A，根据顺序一定问题，列式判断B，根据隔板法，列式判断C，根据分类计数原理，或是无序问题，判断D. 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 17. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【详解】对于选项A，显然 ，故 正确； 对于选项B，因为 ，所以 或 ， 计算可得 (舍去) 或 ，故 正确； 对于选项C，由 ，计算可得 ， 所以 (舍) 或 或 ，故 不正确； 对于选项D， ，故 D 不正确. 故选：AB. 18. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和等于 B. 项的系数等于 C. 无理项的系数之和为 D. 系数最小的是第项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即具体展开式即可直接判断各个选项． 【详解】根据二项式定理，展开后的通项为. 从而展开式为，这就直接得到： 对于A，展开式的各项系数之和等于，故A错误； 对于B，项的系数为，故B正确； 对于C，无理项的系数之和等于，故C正确； 对于D，系数最小的是一项，即第项，故D错误． 故选：BC． 19. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 20. 甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个双色球，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为，恰有1个单色球的概率为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 的数学期望为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为，对于A根据题意有计算即可判断，对于B，化简得，即即可判断，对于C由得，即可判断，对于D计算即可判断. 【详解】设重复进行次这样的操作，甲盒中恰有2个单色球的概率为，则甲盒中恰有0个单色球的概率为．由题意知，故A正确． ，， 则．因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确． 由，，故C错误． 因为①， ②． 由①-②得．又因为， 所以，所以，所以，故D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题4分，共16分） 21. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________. 【答案】1560 【解析】 【分析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案 【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人. （1）若4个组的人数按3,1,1,1分配， 则不同的分配方案有 (种). （2）若4个组的人数为2,2,1,1， 则不同的分配方案有 (种). 故所有分组方法共有20＋45＝65(种). 再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种). 故答案为：1560 22. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 【答案】130 【解析】 【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解. 【详解】①只有男队长，没有女队长： 种， ②只有女队长，没有男队长： 种， ③男、女队长都有， 种， 所以共有46+56+28=130种. 故答案为：130. 23. 小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦，一串有5颗冰糖葫芦．若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有___________种．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将“吃完的顺序”转化为12个取食位置的分配问题，结合同一串内顺序固定的约束，利用组合数计算不同的位置分配方式. 【详解】三串冰糖葫芦共含颗，吃完需完成12次取食操作. 因每串需从上往下吃，同一串内的取食顺序固定，故需从12个取食位置中选3个分配给3颗的串， 再从剩余9个位置中选4个分配给4颗的串，最后5个位置分配给5颗的串. . 故答案为： 24. 小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 【答案】29 【解析】 【分析】利用分类计数加法原理和分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】设：列从左到右为，行从下到上为， 起点()，简记为，终点()，简记为 如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格， 则小明必经过和， 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 下面又分两类情形到达， 第1类是从到，只有2种走法，然后再向右走到， 而从到，这三步中有一步向上，两步向右，故有种走法， 所以第1类从到的走法有种； 第2类是从到，这三步中有一步向右，两步向上，故有种走法， 然后从到，只能全向右走，只有1种走法， 所以第2类从到的走法有种； 所以小明经过到达的走法有种； 当小明经过到达时，按以下步骤： 从到，只能全向右走，只有1种走法， 再从到，只能全向上走，也是只有1种走法， 最后从到，只有2种走法， 所以小明经过到达的走法有种； 故小明从起点到终点不同的走法共有种. 四、解答题（共44分） 25. 从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440 【解析】 【分析】 （1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于，必须相邻，与，都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无A、B，有A、无B，无A、有B，有A、B四种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排 列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法； （2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，，，三人全在内有种不同排 法，由间接法可得，，三人不全在内共有种不同排法； （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，，必须 相邻，有种不同排法，由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有种不同 排法，由乘法原理可得共有种不同排法； （4）分四类： 第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有4440种不同排法. 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 26. 设，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）63 （3）12 【解析】 【分析】（1）首先求出二项式的通项，然后将表示出来，根据已知条件求出的值. （2）利用赋值法令即可求出式子的值. （3）通过对二项式两边求导，然后令可求得式子的值. 【小问1详解】 由二项式定理可得展开式的通项为 , 所以， 所以， 整理得，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得． 令，可得， 所以． 【小问3详解】 对两边同时求导可得 ， 整理可得． 代入可得. 27. 2023年五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放：每位员工分别从标有不同面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额． （1）若4张卡片上的面值分别为100元，100元，300元，500元． ①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率； ②记每位员工所获得的奖励金额为X元，求X的分布列与期望； （2）你能否设计一种抽签方案，使得4张卡片上的面值分别为100元，200元，300元，400元，500元中的3个，且每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡（只需给出一种方案并说明理由即可，不需要判断是否还有其他方案）． 【答案】（1）①；②分布列： X 200 400 600 800 P 500 （2）4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式即可求出概率和分布列； （2）利用比较两种期望和方差来作出决策. 【小问1详解】 ①每位员工所获得的奖励金额不低于500元，则抽取的2张卡片上的面值为500元，300元或500元，100元， 所以每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率为． ②由题意，得X的所有可能取值为， 则，， ，， 所以X的分布列为 X 200 400 600 800 P ． 【小问2详解】 4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元，设按照此方案，每位员工所获得的奖励金额为Y元，则Y的所有可能取值为， 则，， ，， 所以Y的分布列为 Y 300 400 600 700 P ， 所以． 因为=， =， 由于， 所以4张卡片上的面值分别为100元，200元，200元，500元时，此方案可以使每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡． 28. “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． （1）双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． （2）单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得. （2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出. 【小问1详解】 （i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ， 已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为． （ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件， 记， 由题知，当时， ， 由全概率公式知， ， ， ， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 则，即第次答题是选手甲的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为， 所以的分布列为 1 2 3 ．．． ．．． 故①， ②， ①-②，得 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二下学期第一次月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共60分） 1. 的展开式中的常数项是（ ） A. 352 B. C. 1120 D. 2. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（   ） A. 15 B. 12 C. 6 D. 3 3. 今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出没之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 6. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（ ） A. 72种 B. 90种 C. 108种 D. 180种 7. 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（ ） A. 1860种 B. 2174种 C. 2354种 D. 2651种 8. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 9. l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ） A. 0.001 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.004 10. 在的展开式中，的系数等于（ ） A. B. C. D. 11. 若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 13. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 14. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 19种 B. 18种 C. 17种 D. 16种 15. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（每题6分，共30分） 16. 下列说法正确的是（ ） A. 将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B. 将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C. 将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D. 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 17. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 18. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和等于 B. 项的系数等于 C. 无理项的系数之和为 D. 系数最小的是第项 19. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 20. 甲、乙两个盒子中各装有1个单色球和5个双色球，现从甲、乙两个盒子中各取1个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作，记甲盒子中单色球的个数为，恰有1个单色球的概率为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 的数学期望为1 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题4分，共16分） 21. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________. 22. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有女运动员，选派方法有______种 23. 小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦，一串有5颗冰糖葫芦．若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有___________种．（结果用数字作答） 24. 小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法. 四、解答题（共44分） 25. 从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 26. 设，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 27. 2023年五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放：每位员工分别从标有不同面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额． （1）若4张卡片上的面值分别为100元，100元，300元，500元． ①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率； ②记每位员工所获得的奖励金额为X元，求X的分布列与期望； （2）你能否设计一种抽签方案，使得4张卡片上的面值分别为100元，200元，300元，400元，500元中的3个，且每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡（只需给出一种方案并说明理由即可，不需要判断是否还有其他方案）． 28. “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． （1）双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． （2）单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $