上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷

上海市复旦中学2025学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷 2025.3 考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是__________. 3. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 4. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 5. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 6. 从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 7. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 9. 设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则______． 10. 已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 11. 已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______． 12. 一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有_________个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 15. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 16. 已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F． （1）求证：； （2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小． 19. 烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，. （1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） （2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 已知函数定义域为I，.若存在，对任意， 当时，都有，则称为 在上的“Ω点”. （1）求函数在上的最大“Ω点”； （2）若函数在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； （3）设，且 ，，证明：在D上的“Ω点”个数不小于. 上海市复旦中学2025学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷 2025.3 考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】-4 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） ∵，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴，又，则. （2）， 【19题答案】 【答案】（1） 0.54 6.8 1.53 0.45 ，（元） （2）建议购买3辆车 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【21题答案】 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $