上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷

2025学年第二学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则________． 2. 若复数满足，则复数______. 3. 已知，若，则实数a的值为________． 4. 在中，若，，，则________． 5. 某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 6. 已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 7. 从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法． 8. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 9. 已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 10. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 11. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 12. 已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 13. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 14. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系 B. 表示x与y之间的不确定关系 C. 反映x与y之间的真实关系 D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 15. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（其中为实数） 17. 定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ） A. 存在函数为函数 B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则 D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 18. 对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 19. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面PAD； （2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 20. 如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 21. 已知，． （1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； （2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 22. 已知，． （1）若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； （2）若，求函数在的极值． 23. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 （1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； （3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 24. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 25. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． （1）若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； （2）若，为直角三角形，求点的坐标； （3）若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 26. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，．求的值及函数的解析式； （3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 27. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，且，求函数的解析式； （3）若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 2025学年第二学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】3 【5题答案】 【答案】12.5% 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】11 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 【17题答案】 【答案】D 【18题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）极大值，极小值． 【23题答案】 【答案】（1）6.7 （2） 1 2 3 ， （3） 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【25题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【26题答案】 【答案】（1）是， （2）当时，，当时； （3）证明见解析 【27题答案】 【答案】（1）函数属于集合， （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $