精品解析：河北省石家庄市2026年初中学业水平摸底练习（九年级）数学

2026年初中学业水平摸底练习（九年级） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算各选项的结果，再根据有理数大小比较法则，找出最小的数即可． 【详解】解：，， ∵， ∴最小的是． 2. 如图，若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是（ ） A. 东偏北 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 西偏南 【答案】C 【解析】 【详解】解：若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是北偏西． 3. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2025年我国粮食总产量达到14298亿斤，再创历史新高．数据14298亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题即可． 【详解】解：如图，设旋转至，点A到达点C，点B到达点D，过点D作于点F， 由题意知：，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即短臂外端下降的距离是． 5. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 6. 如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，其列数对应俯视图的行数，每列小正方形的个数对应俯视图中该行数字的最大值 【详解】解：由俯视图可知，该几何体在前后方向上共有3行，因此左视图应有3． 从左面看，左视图的每一列对应俯视图的每一行（从上到下）：第一列对应俯视图的第一行，该行只有数字3，故左视图第一列高度为3； 第二列对应俯视图的第二行，该行数字为2和3，最大值为3，故左视图第二列高度为3； 第三列对应俯视图的第三行，该行只有数字1，故左视图第三列高度为1 综上所述，左视图从左到右小正方形的个数依次为3，3，1． 观察选项，只有C选项符合． 7. 已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和为2 C. 两根之积为3 D. 两根之和为1 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用因式分解法求出方程的两个根，进而判断各选项的正误． 【详解】∵原方程为 ，移项整理得 ，对左边因式分解得 ， ∴解得 ，， 计算得：两根之和为 ，两根之积为 ，方程有两个不相等的实数根， 因此A，C，D错误，B正确． 8. “这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解：嘉嘉的最终得分（分）． 9. 如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据“Z”字形框中四个数字的位置关系，用含、的代数式，建立等量关系式列出方程解答；注意框出的数字必须在月历范围内且位置符合形状要求． 【详解】解：由题意可知，，整理得， A．当，时，，符合题意，且（周日），位置符合，故A可能； B．当，时，，符合题意，且（周三），位置符合，故B可能； C．当，时，，符合题意，且（周一），位置符合，故C可能； D．当，时，，不符合题意，故D不可能． 10. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形和都是菱形，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，则直线的解析式为，进而得到，设向上平移个单位长度时，落在抛物线上，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得，即方程有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 解得或， ，， 当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设向上平移个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时， ∴， 解得， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，且当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为； 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴，即方程有两个相等的实数解， ∴， 解得， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的_____段． 【答案】② 【解析】 【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段即可． 【详解】解：， ， ， 表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段， 14. 如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴输出的值为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：_____； （2）请写出正确的解答过程，并从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】（1）第一步和第二步 （2）， 【解析】 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【小问1详解】 解：第一步的加法运算，第二步的因式分解均出现错误； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据题意可得，再根据“”证明，即可得出； （）由，，得，所以，通过勾股定理求得，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）；作图见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占百分比可求出总人数，即可求出组的人数；（2）根据中位数的概念求解可得；（3）求出成绩在80分及以上人数所占百分比，即可得解；（4）根据画树状图求解即可； 【小问1详解】 解：组人数是人，所占百分比是， 总人数为（人）； 组人数为（人），补全图形如下： 【小问2详解】 解：由（1）可得，总共抽取了名学生，中位数是第、名学生的平均数， 组有人，组有人，组有人，组有人， 第、名在组， 中位数在组； 【小问3详解】 解：根据题意可得，成绩在分以上的人数所占百分比为， 全校2000名学生中获得该称号的人数为（人）； 【小问4详解】 解：标记个男的为，，个女的为，，，列表如下： 第一步 第二步 总共有20种情况，符合条件的有12种， 所选的两位同学恰为一男一女的概率为． 21. 某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当秒时，求此时玩具车到小路的距离； （3）点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）此时玩具车到小路的距离为米 （3）此时玩具车行驶的路程为米或米 【解析】 【分析】（1）连接，作，交于点，则由垂径定理可得，由题意可得米，米，由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为，当秒时，，解直角三角形得出，求出，解直角三角形得出米，即可得出结果； （3）分两种情况：连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则；当与相切于的上方时，连接，则，分别利用弧长公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，作，交于点，则， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为， 当秒时，， ∵在中，米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∵米， ∴此时玩具车到小路的距离为米； 【小问3详解】 解：如图，连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴此时玩具车行驶的路程为米； 如图，当与相切于的上方时，连接，则， 同理可得：，， 此时玩具车行驶的路程为米； 综上所述，此时玩具车行驶的路程为米或米． 22. 动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） （1）求张明步行的速度． （2）求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． （3）张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 【答案】（1）米每分钟 （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）用路程除以时间可得速度； （2）用待定系数法即可求解； （3）分析当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，考虑哪辆班车在他后面即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，张明步行的速度为：（米每分钟） 【小问2详解】 解：设离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 则函数表达式为：， 【小问3详解】 解：由题可知，班车的速度为：（米每分钟） ∵每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，则35，45，55，65分钟都有班车出发， 班车从入口到海洋馆的时间为：（分钟） ∴当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆时，55分的时候班车出发10分钟， 则距离张明：（米） 设张明与班车的相遇时间为分钟， ∴， 解得：， 则张明距离熊猫馆为：（米） 23. 【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 （1）如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； （2）如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 （3）沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 （4）如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 【答案】（1）①8；② （2）见解析 （3） （4）嘉琪的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：垂直平分，可证明为等边三角形，即可解答； （2）先以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，再作的平分线，即可求解； （3）根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，，可得点在以B为圆心，长为半径的圆上，连接，，点D， ，B三点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理解答即可； （4）求出，可得，连接，由折叠的性质得：，，再求出，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得，，从而得到，，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠的性质得：； ②由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴点在以B为圆心，长为半径的圆上， 如图，连接，， ∴点D， ，B三点共线时，最小，此时， 在中，， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴所在的直线不经过点，即嘉琪的说法不正确． 24. 已知抛物线过和． （1）与之间的数量关系是_____； （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； （3）对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数函数的结合，函数与几何图形的结合，方程与不等式，矩形的判定和性质等知识点． （1）根据抛物线的对称性得到与之间的数量关系． （2）根据抛物线的图象和性质，得到点和点所在的位置，进而得到两点的坐标． （3）根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围． （4）根据抛物线与坐标轴的交点坐标，得到直线和直线的表达式，由题意得四边形为矩形，根据当点位于第一象限时和当位于第四象限时，分两种情况讨论，得到对应的或，列出关于的一元二次方程，解得的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线过和， ∴和的纵坐标相同， ∴和是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为：，由抛物线图象可知， ∴当时，抛物线的最高点的横坐标为，最低点的横坐标为， ∵点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为：， ∴代入点的坐标，得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：，即， ∴抛物线的顶点坐标为：，即点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线的表达式为：， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且，解得：时，满足要求，有， ∴的取值范围为； 【小问4详解】 解：由（2）知， ∴点，点，点， ∴设直线的表达式为：， 代入点，点，得直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 代入点，得直线的表达式为：， 点在抛物线上， ， 点均在对称轴所在直线上， ， 由题意得四边形为矩形， 如图，当点位于第一象限时，当与共线时，满足在直线之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时四边形为正方形，， ， 即， 解得：， ∵点是对称轴右侧的一点， ∴，取， 如图，当位于第四象限时，对角线不在上时，令交对称轴于， 交于，根据矩形对称性，当时，则， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平摸底练习（九年级） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是（ ） A. 东偏北 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 西偏南 3. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2025年我国粮食总产量达到14298亿斤，再创历史新高．数据14298亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知（_______），则横线上应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，其中正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 两根之和为2 C. 两根之积为3 D. 两根之和为1 8. “这么近，那么美，周末到河北”．某校组织了“古韵今传·最美河北”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是分，分，分，则嘉嘉的最终得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的_____段． 14. 如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_________． 16. 如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：_____； （2）请写出正确的解答过程，并从2，，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 19. 如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． （1）求证：； （2）如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 20. 人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： （2）本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； （3）若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； （4）学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 21. 某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当秒时，求此时玩具车到小路的距离； （3）点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 22. 动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） （1）求张明步行的速度． （2）求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． （3）张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 23. 【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 （1）如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； （2）如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 （3）沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 （4）如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 24. 已知抛物线过和． （1）与之间的数量关系是_____； （2）若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； （3）对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； （4）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $