精品解析：江苏扬州市新华中学2025-2026学年高一下学期数学学科自主练习三

高一数学学科自主练习三 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：C． 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 4. 在中，，点是边上的中点，，，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】充分利用直角三角形的特点，向量的加减法运算，以及 来求解，将转化为已知长度的来计算. 【详解】，，则． 故选：A 5. 已知向量，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标运算来求出正切，再利用弦化切即可求值. 【详解】因为向量，所以， 即， 则， 故选：A． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦求解. 详解】由，得 ，所以. 故选：D 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简再比较大小. 【详解】由； ；； 因为，， 所以. 8. 已知，且，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可判断A；由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B； 由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（ ） A. B. PQ的长度有最大值 C. 的面积有最大值 D. 的面积有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，求出   ，  ，，根据的周长为2，得到； 对于A，先表示出，，再证明即可；对于B，，，利用基本不等式求解最小值即可；对于C，表示出的面积为，利用及基本不等式求解最小值即可；对于D，表示出的面积 ，利用及基本不等式求解最小值即可. 【详解】设，，则，，， 则，， 在中，，又因为的周长为2，即， 所以，即. 对于A，， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 解得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； 对于C，的面积为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为的面积为，的面积为，的面积为， 所以 ，当且仅当时取等号， 即 面积的最小值为 ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出，，则，，，根据的周长为2确定满足的关系，进而利用基本不等式求解各个选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的关系可求得，进而利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以，所以． 故答案为：. 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把、用已知向量、表示，再利用数量积的运算法则可求数量积． 【详解】，， ，存在实数，使得，即， 又，则， ，，， 则 ， 故答案：． 14. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简得出，再利用诱导公式和倍角公式化简得出即可求出. 【详解】因为， 即， 所以 . 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出与的坐标；再根据平面向量垂直的坐标运算即可求解. （2）先根据平面向量共线的坐标表示得出，进而得出的坐标；再根据平面向量模的坐标运算即可解答. 【小问1详解】 ，， ； . 又与垂直， ，解得：. 【小问2详解】 由（1）知：；. 与共线， ，解得：. . 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）讨论角的范围，再利用平方关系计算即得. （2）利用（1）的结论，利用诱导公式及和差的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，则， 由，得，. 【小问2详解】 由（1）及已知，得 . 17. 如图，在矩形中，已知，，是线段上的一个动点； （1）当是线段的中点时，若，求的值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知， 用表示 ， 然后利用平面向量的基本定理可求的值； （2）由可得，进而计算可得的值，设，由向量数量积的计算公式，结合二次函数的性质分析求解. 【小问1详解】 当是线段的中点时，， 由， 得. 【小问2详解】 ，， ， 可得，即，则有， 设，则， 由二次函数的性质可知，时，有最小值. 18. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，，利用 可得的值，再根据的横坐标，是钝角可得，最后利用余弦和角公式可计算； （2）由（1）可求，根据题意得到，再求利用正弦差角公式即可确定的值. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值及取到最值时的值； （3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时取最小值，当时取最大值； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. 【小问3详解】 由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科自主练习三 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，点是边上中点，，，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 5. 已知向量，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A B. C. D. 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 11. 如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当的周长为2时，则（ ） A. B. PQ的长度有最大值 C. 的面积有最大值 D. 的面积有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______ 13. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______. 14. 已知，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若与共线，求的值. 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在矩形中，已知，，是线段上的一个动点； （1）当是线段的中点时，若，求的值； （2）当时，求的最小值． 18. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求值． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值及取到最值时的值； （3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $