精品解析：2026年河南省新乡市九年级一模数学试卷

九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025年小浪底水库的水位经历了显著的季节性变化，从汛期前调水调沙后的低点到汛期末蓄水后的高点，上涨了约50米．若水位上涨50米记作米，则水位下降30米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 某个立体图形的展开图由两个相同的圆形和一个长方形组成，则该立体图形可能是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 3. 我国人工智能的算力持续突破，某超级计算机单次运算时间约为秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图，用量角器测量一个五边形的航天精密零件的一个内角，则这个五边形的这个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”，现有分别与这四个楼有关的四首诗，甲从这四首诗中随机选取两首背诵，恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 10. 某学习小组在“测量小灯泡的电阻”实验中，根据实验数据，得到了通过灯泡的电流与灯泡两端的电压的函数图象如图所示．已知电阻，功率，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大 B. 当灯泡两端的电压为时，通过灯泡的电流是 C. 当通过灯泡的电流为时，灯泡的电阻是 D. 当灯泡的功率为时，灯泡两端的电压为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的整数：___________． 12. 我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 13. 不等式组的最大整数解为___________． 14. 如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在中，，是边的垂直平分线，是边上一点，且，作，交于点，若点在直线上，且，则的面积为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 18. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，轴，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若为边上一点，且，求点的坐标． 19. 如图，在中，是的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若为的中点，求证：四边形是平行四边形． 20. 为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． （1）求A，B两款草莓每箱的售价； （2）若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 21. 如图，为测量某通信基站到公路的距离，技术人员在公路上的点处测得基站位于的北偏东方向，随后他沿正北方向驱车10千米到达点，在点处测得基站位于的北偏东方向，同时测得广播电视塔位于的北偏东方向．已知广播电视塔正好在基站的正北方向． （1）求基站到公路的距离（结果保留根号）； （2）求广播电视塔与基站的距离（结果保留根号）． 22. 如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求面积的最大值； （3）设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 23. 综合与实践 在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线． （1）【动手操作】 如图1，在边上截取，连接，则___________． （2）【深入探究】 ①在图2中找出与相等的角，并说明理由； ②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）． （3）【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025年小浪底水库的水位经历了显著的季节性变化，从汛期前调水调沙后的低点到汛期末蓄水后的高点，上涨了约50米．若水位上涨50米记作米，则水位下降30米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据题干给定的记法，推出相反变化的记法即可得到答案． 【详解】∵题干规定水位上涨米记作米，即上涨用正数表示， ∴与上涨意义相反的下降应用负数表示， ∴水位下降米应记作米． 2. 某个立体图形的展开图由两个相同的圆形和一个长方形组成，则该立体图形可能是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常见立体图形展开图的特征，根据题干给出的展开图组成，对应判断立体图形即可． 【详解】解：圆锥的展开图为1个扇形和1个圆形，不符合要求； 长方体的展开图为6个长方形，不符合要求； 圆柱的展开图为2个相同的圆形（上下底面）和1个长方形（侧面），符合题干描述； 三棱柱的展开图为2个三角形和3个长方形，不符合要求； ∴该立体图形是圆柱． 3. 我国人工智能的算力持续突破，某超级计算机单次运算时间约为秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值小于1的数的科学记数法表示即可． 【详解】解：． 4. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 5. 如图，用量角器测量一个五边形的航天精密零件的一个内角，则这个五边形的这个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图所示： ， 则这个五边形内角的度数是． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先确定方程各项系数，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中， ，，， ， 又∵无论取任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形对角线相互平分求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 8. 中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”，现有分别与这四个楼有关的四首诗，甲从这四首诗中随机选取两首背诵，恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”四首诗分别为A，B，C，D， 画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的可能结果有2种， ∴抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的概率是． 9. 如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 10. 某学习小组在“测量小灯泡的电阻”实验中，根据实验数据，得到了通过灯泡的电流与灯泡两端的电压的函数图象如图所示．已知电阻，功率，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大 B. 当灯泡两端的电压为时，通过灯泡的电流是 C. 当通过灯泡的电流为时，灯泡的电阻是 D. 当灯泡的功率为时，灯泡两端的电压为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可判断A、B；当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，求出此时的电阻可判断C；当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，此时灯泡的功率为，据此可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，当灯泡两端的电压为时，通过灯泡的电流是，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，则灯泡的电阻是，原说法正确，不符合题意； D、由函数图象可知，当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，此时灯泡的功率为，故当灯泡的功率为时，灯泡两端的电压为，原说法错误，符合题意； 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比小的整数：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的整数即可． 【详解】， ， 比小的整数可以为，或任意负整数都符合要求． 12. 我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解，先将数据按大小顺序排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，． 这组数据共有个，个数为偶数， 中位数为从小到大（或从大到小）排列后中间两个数的平均数，即． 13. 不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 14. 如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，利用垂径定理可以求出，根据可证，根据全等三角形的性质可知，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则有， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，， ， 在中，， ， 解得：， 在和中， ， ， ， ． 15. 如图，在中，，是边的垂直平分线，是边上一点，且，作，交于点，若点在直线上，且，则的面积为___________． 【答案】9或15 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当点P在线段的延长线上时，取的中点Q，连接并延长交于点E，连接、，由垂直平分线的性质易得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可知，，结合，利用证得，进而求得，然后根据，，得到，从而求得，，是等腰直角三角形，进而根据面积公式求解即可；②当点P在线段上时，取的中点G，连接并延长交于点F，连接、，同理求得，，，易证是的中位线，从而证得是等腰直角三角形，进而求得和，即可根据面积公式求解． 【详解】解：①如图，当点P在线段的延长线上时，取的中点Q，连接并延长交于点E，连接、， ∵在中，，是边的垂直平分线，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，点Q是的中点， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点P在线段上时，取的中点G，连接并延长交于点F，连接、， 同理可得，，， ∵，点G是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为9或15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算立方根、零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 【答案】（1）1000，32； （2） 补全频数分布直方图如图所示； （3）7600人． 【解析】 【分析】（）由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用C组人数除以总人数，求出C组人数所占百分比，即可解答； （）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可； 【小问1详解】 解：抽样调查的总人数是(人)， ， 故答案为：1000，32； 【小问2详解】 解：组的频数为， 补全频数分布直方图略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人． 18. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，轴，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）若为边上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和矩形的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点A和点E分别作x轴的垂线，垂足分别为点G和点F；根据一线三垂直模型证明，得出，即可解答． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入得：”， 解得：， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点A和点E分别作x轴的垂线，垂足分别为点G和点F； ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 19. 如图，在中，是的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若为的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， 又为的中点， ∴为的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）先证明为的中点，得为的中位线，根据中位线定理可得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． （1）求A，B两款草莓每箱的售价； （2）若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 【答案】（1）A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元 （2）该单位最少需花费2000元 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种购买总价的条件，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款草莓的售价． （2）先根据A款箱数不超过B款箱数的条件确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最少花费． 【小问1详解】 解：设A款草莓每箱售价x元，B款草莓每箱售价y元． 根据题意得，解得 答：A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元． 【小问2详解】 解：设购买A款草莓m箱，总花费为W元，则购买B款草莓箱． 根据题意得 解得，其中m为非负整数． ， ∵ ∴W随m的增大而减小， 当m取最大值10时，W取得最小值， 答：该单位最少需花费2000元． 21. 如图，为测量某通信基站到公路的距离，技术人员在公路上的点处测得基站位于的北偏东方向，随后他沿正北方向驱车10千米到达点，在点处测得基站位于的北偏东方向，同时测得广播电视塔位于的北偏东方向．已知广播电视塔正好在基站的正北方向． （1）求基站到公路的距离（结果保留根号）； （2）求广播电视塔与基站的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】（1）先利用三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得千米，然后在中解直角三角形即可解答； （2）先说明四边形是矩形，易得，，再分别在和中解直角三角形可得、，最后运用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过P作交于D，作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴千米， 在中，，千米， ∴千米； ∴基站P到公路的距离为千米． 【小问2详解】 解：∵，，都是正北方向， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴千米， 在中，，千米， ∴千米； ∴千米． 22. 如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求面积的最大值； （3）设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）满足条件的点一共有3个，或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 23. 综合与实践 在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线． （1）【动手操作】 如图1，在边上截取，连接，则___________． （2）【深入探究】 ①在图2中找出与相等的角，并说明理由； ②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）． （3）【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） ①，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可知：， ∵， ∴，，即， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② （3）线段的长为或10 【解析】 【分析】（1）证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）①先在上截取，证明，得到，进而求出和的度数，即可；②作，连接，根据勾股定理结合全等三角形的性质，得到，，证明四边形为矩形，得到三点共线，再证明，求出，再根据线段的和差关系求出即可； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：① 略 ②作，连接， ∵， ∴，， 由①可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在线段上时， 作，在上截取，连接，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； ∴， 在中，， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $