精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年第二学期高一数学（3月）学生学业能力调研试卷

静海一中2025-2026第二学期高一数学（3月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（91分）和第Ⅱ卷提高题（26分）两部分，含3分卷面分，满分共120分. 第Ⅰ卷 基础题（共91分） 一、选择题: 每小题4分，共32分. 1. 下列说法正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 在中，已知，则形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 下列结论正确的个数为（ ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每小题5分，共25分. 9. 已知向量，，，则实数的值为________ 10. 桂林日月塔又称金塔银塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度__________米. 11. 如图，在中，，的夹角为，，，则______________ 12. 已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______． 13. 在四边形中，，则四边形面积为_____________． 三、解答题：（本大题共5小题，共60分） 14. 平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 15. 在锐角中，内角对边分别为，已知． （1）求A； （2）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积． 16. 设，已知是平面内两个不共线向量，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 第Ⅱ卷 提高题（共26分） 17. （1）为圆O的一条弦，且，求的值. （2）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，求． （3）如图，在平面四边形中，，，，，，，若点为边的动点，求的最小值 （4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法. 18. 正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若． （1）求A； （2）若，求的面积； （3）设点P为的费马点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第二学期高一数学（3月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（91分）和第Ⅱ卷提高题（26分）两部分，含3分卷面分，满分共120分. 第Ⅰ卷 基础题（共91分） 一、选择题: 每小题4分，共32分. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 3. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点三等分点，连接并延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面几何知识推出为的中点，且，再利用平面向量的线性运算可得出关于、的关系式. 【详解】如下图所示： 因为，则，所以，，， 所以，， 因此，， 故选：D. 4. 在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，，则，所以. 故选：B 5. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将=1两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果. 【详解】由已知， 因为，所以. 所以在方向上的投影向量为. 故选：B． 6. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 7. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 8. 下列结论正确的个数为（ ） ①在中，若，则； ②在锐角中，不等式恒成立； ③在中，若，，则为等腰直角三角形； ④在中，若，，面积，则外接圆半径为. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据大边对大角、余弦函数的单调性可判断①；由余弦定理可判断②；由余弦定理、正弦定理可判断③；由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理可判断④. 【详解】对于①：在中，若，根据大边对大角则， 因为，在上单调递减，所以，故选项①正确； 对于选项②：在锐角三角形中，，即， 故不等式恒成立，故选项②正确； 对于选项③：在中，， 由余弦定理可知：，因此有 可得 ， 即，因为，所以， 因此，所以或，即，或（舍去）， ，所以，故③正确． 对于选项④：在中，若，，三角形面积， 所以，解得， 所以， 由正弦定理，故选项④正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛：在解三角形问题中，主要利用正弦定理、余弦定理及面积公式解题，考查了学生思维能力、计算能力. 二、填空题：每小题5分，共25分. 9. 已知向量，，，则实数的值为________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，， 则，， 因为，所以 即，解得. 10. 桂林日月塔又称金塔银塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度__________米. 【答案】 【解析】 【分析】首先设，并表示，最后在中，根据余弦定理，即可求解. 【详解】由条件可知，，，设， 所以，，且米，， 中，根据余弦定理，， 得，（负值舍去）. 所以该塔的高度米. 故答案为： 11. 如图，在中，，的夹角为，，，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算利用向量表示，根据数量积的性质即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 所以， 因为，所以， 又因为的夹角为，所以， 又，，所以， 所以. 12. 已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出的取值范围. 【详解】解：与夹角为锐角时，； 解得； 当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去； ∴实数的取值范围为. 故答案：. 【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式，此题容易漏掉考虑向量同向的情况. 13. 在四边形中，，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得四边形是菱形，其边长为，对角线等于边长的倍，再利用余弦定理及面积公式即得. 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形的角平分线平分，四边形是菱形，其边长为，且对角线等于边长的倍， 所以， 故， 所以四边形的面积为. 故答案为：． 三、解答题：（本大题共5小题，共60分） 14. 平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【小问1详解】 ，即， ，解得． 【小问2详解】 ，， ， ，即，解得． 15. 在锐角中，内角的对边分别为，已知． （1）求A； （2）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积． 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）将边化角化简后解三角方程可求得角A； （2）利用正弦定理求得，再求，则可求；利用余弦定理可求出边，再求的面积即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，, ,又即，且， 所以可得，即，又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以由正弦定理可得,即, 即，又, 所以， 则， ， 所以 ， 因为，， 所以由余弦定理可得，， 即，解得，（负舍） 所以的面积. 16. 设，已知是平面内两个不共线向量，，且，，三点共线． （1）求的值： （2）若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可； （2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解． 【小问1详解】 由已知得， 因为三点共线，所以，即. 【小问2详解】 由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 第Ⅱ卷 提高题（共26分） 17. （1）为圆O的一条弦，且，求的值. （2）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，求． （3）如图，在平面四边形中，，，，，，，若点为边的动点，求的最小值 （4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据数量积的几何意义计算可得； （2）选择基底向量，再根据数量积的定义及运算律计算,并利用函数的单调性可得最小值； （3）建立平面直角坐标系，通过坐标运算求数量积； （4）定义法，几何意义法，基底法，坐标法. 【详解】（1）取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为，所以. 根据向量数量积的几何意义： 得. （2）因为，， 因为正方形的边长为，所以， 所以 . 所以. （3）以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意得， 又， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，故， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，，故， 因为，，所以， 所以在中，，所以为等边三角形， 所以，所以， 设，由点为边的动点，设， 即， 解得，所以， 所以， 设，可得其对称轴为，且开口向上， 所以时，取得最小值，即的最小值为. （4）常用的求数量积的方法有以下4种方法： （1）定义法：利用数量积的定义计算； （2）几何意义法：根据数量积的几何意义计算：如第（1）的计算； （3）基底法：选择适当的基底向量，再将向量用基底表示并进行数量积的运算； （4）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，再将向量用坐标表示，通过坐标运算求数量积. 18. 正等角中心亦称费马点，是三角形巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若． （1）求A； （2）若，求的面积； （3）设点P为的费马点，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边和余弦定理化简即可求出； （2）由三角形的面积公式即可得出答案； （3）费马点定义结合三角形的面积公式和向量数量积的定义式计算可得. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，若， 则的面积为：. 【小问3详解】 易知的三个角都小于，由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $