11.2 一元一次不等式 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

11.2 一元一次不等式 一、解一元一次不等式 观察下面的不等式： x-7＞26，3x＜2x+1，x＞50，-4x＞3.它们有哪些共同特征？ · 上述每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 探究 利用不等式的性质将下列不等式进行变形： (1)在不等式x-7＞26的两边同时加7得______；x＞26+7， (2)在不等式3x＜2x+1的两边同时减去2x得______；3x-2x＜1 · 归纳：不等式两边同时加减一个数或式子，相当于将其改变符号后移到另一边. (3)在不等式x＞50的两边同时乘得______；x＞50× (4)在不等式-4x＞3的两边同时除以-4得_______. · 归纳：不等式两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，相当于系数化为1.注意：当这个系数为负数时，不等号的方向要改变. 例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) 2(1+x)＜3 (2) 解：(1)去括号，得 2+2x＜3 移项，得 2x＜3-2 合并同类顶，得 2x＜1 系数化为1，得 x＜ 解：(2)去分母，得 3(2+x)≥2(2x-1) 去括号，得 6+3x≥4x-2 移项，得 3x-4x≥-2-6 合并同类顶，得 -x≥-8 系数化为1，得 x≤8 方法总结 1.解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式. 2.解一元一次不等式与解一元一次方程一样，都是通过“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”几个步骤确定答案. 3.如果未知数的系数为负数，那么在系数化为1时，要改变不等号的方向. 4.在数轴上表示不等式的解集，大于向右画线，小于向左画线，界点有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈. 练习1 1.解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1) 5x+15＞4x-1 (2) 2(x+5)≤3(x-5) (3) (4) 2.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？ 检测1 1．不等式2x＞3－x的解集是（ ）． A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 2．不等式的解集是（ ）． A．x＞9 B．x＜9 C．x＞ D．x＜ 3．已知＋|2a－3b－n|＝0中，b为正数，则n的取值范围是（ ）． A．n＜2 B．n＜3 C．n＜4 D．n＜5 4．不等式2（x－2）≤x－2的非负整数解的个数为（ ）． A．1 D．2 C．3 D．4 5．解不等式≥的过程是：去分母，得_________；去括号，得________；移项，得________；合并，得________；系数化为1，得________． 6．若使代数式的值不大于的值，则x的取值范围为________． 7．使不等式成立的负整数解为____________；不等式的非负整数解为______________． 8．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 二、一元一次不等式的应用 学校准备用2000元购买名著和辞典，其中每套名著65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能购买辞典多少本？ 解：设还能购买辞典x本，依题意得 65×20+40x≤2000 40x≤2000-1300 x≤17.5 ∵ x只能取整数，∴ x≤17 答：最多还能购买17本辞典. 例2 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365)天这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？ 分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x.依题意得 去分母，得 x+219＞255.5 移项，合并同类项，得 x＞36.5 由x应为正整数，得 x≥37 答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%. 例3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？ 分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠.因此，我们需要分三种情况讨论： (1)累计购物不超过50元； (2)累计购物超过50元而不超过100元； (3)累计购物超过100元. 解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样. (2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场优惠，不享受甲商场优惠，因此到乙商场购物花费少. (3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得 ①若到甲商场购物花费少，则 50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100) 解得 x＞150 这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少. ②若到乙商场购物花费少，则 50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100) 解得 x＜150 这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少. ③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100) 解得 x=150 这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙商场购物花费一样. 应用一元一次不等式解实际问题的步骤： 练习2 1.某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 2.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少答对了多少道题？ 练习3 1．福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条． （1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？ （2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2 100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？ 2．足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问： （1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ （2）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？ （3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 检测2 1．满足≥的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______． 2．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买______支钢笔． 3．某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品． 4．关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ）． A．0 B．－3 C．－2 D．－1 5．初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（　 ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． （1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的关系式； （2）若要使每天所获利润不低于24 000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？ 答案 练习1： 1、解：(1)移项，得 5x-4x＞-1-15 合并同类项，得 x＞-16 解：(2)去括号，得 2x+10≤3x-15 移项，得 2x-3x≤-15-10 合并同类项，得 -x≤-25 系数化为1，得 x≥25 解：(3)去分母，得 3(x-1)＜7(2x+5) 去括号，得 3x-3＜14x+35 移项，得 3x-14x＜35+3 合并同类项，得 -11x＜38 系数化为1，得 x＞- 解：(4)去分母，得 2(x+1)≥3(2x-5)+12 去括号，得 2x+2≥6x-15+12 移项，得 2x-6x≥-15+12-2 合并同类项，得 -4x≥-5 系数化为1，得 x≤ 2、(1) 2(x+1)大于或等于1； 解：2(x+1)≥1，解得 x≥- (2) 4x与7的和不小于6； 解：4x+7≥6，解得 x≥- (3) y与1的差不大于2y与3的差； 解：y-1≤2y-3，解得 y≥2 (4) 3y与7的和的四分之一小于-2. 解：(3y+7)＜-2，解得 y＜-5 检测1： 1．C． 2．A． 3．C． 4．C． 5．2（3x＋2）≥2x－3；6x＋4≥2x－3；6x－2x≥－3－4；4x≥－7；x≥． 6．．7．－3，－2，－1；1，2，0． 8．解：， 去分母，得4（2x－1）－2（10x＋1）≥15x－60． 去括号，得8x－4－20x－2≥15x－60． 移项合并同类项，得－27x≥－54． 系数化为1，得x≤2． 在数轴上表示解集如图所示． 练习2： 1、解：设以后几天内平均每天修路xkm.依题意得 (10-2-2)x+1.2≥6 解得 x≥0.8 答：以后几天内平均每天至少要修路0.8km. 2、解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有(20-x)道题.依题意得 10x-5(20-x)＞90 解得：x＞12 由x应为正整数，得 x≥13 答：小明至少答对了13道题. 练习3： 1、解：（1）设应安排x名工人制作衬衫，由题意得： 3x=5×（24－x）． ∴x=15． ∴24－x=24－15=9． 答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子． （2）设应安排y名工人制作衬衫，由题意得： 3×30y＋5×16×（24－y）≥2100 ∴y≥18 答：至少应安排18名工人制作衬衫． 2、解：（1）设这支球队胜x场，则平了（8－1－x）场， 依题意得：3x＋（8－1－x）=17， 解得x=5． 答：前8场比赛中这支球队共胜了5场． （2）最高分即后面的比赛全胜，因此最高得分为： 17＋3×（14－8）=35（分）． 答：这个球打完14场最高得分为35分． （3）设胜x场，平y场，总分不低于29分，可得 17＋3x＋y≥29，3x＋y≥12，x＋y≤6． ∵x，y为非负整数， ∴x=4时，能保证不低于12分； x=3，y=3时，也能保证不低于12分． 所以，在以后的比赛中至少要胜3场才能有可能达到预期目标． 检测2： 1．－19； 2．13； 3．7．4．D． 5．C． 6．（1）依题意，得 y＝150×6x＋260×5（20－x）＝－400x＋26000（0≤x≤20）． （2）依题意得，－400x＋26000≥24000． 解得x≤5，20－x=20－5=15． 答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 学科网（北京）股份有限公司 $