第二章 相交线与平行线 分类易错精选 -2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线分类易错精选【解答】 一、1.1两条直线的位置关系 1．如图，直线，相交于点，，垂足为点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，然后结合求解即可． 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以， 所以． 2．已知点O在直线上，与互补． (1)如图①，试说明：平分； (2)如图②，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或 【分析】本题主要考查学生根据图形进行计算角的能力及角平分线的应用． （1）根据同角的补角相等证明即可； （2）由题意得出，再根据角的和差关系列方程解答即可； （3）分在内部以及外部两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵点O在直线上， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． ①当在内部时， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； ②当在外部时， ∵，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 3．如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站． (1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是___________； (2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是___________． 【答案】(1)见解析，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 (2)见解析，两点之间线段最短 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段与垂线段的性质是解题关键． （1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案； （2）利用线段的性质得出答案． 【详解】（1）解：如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短． 故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短； （2）解：如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 4．2025年1月7日，西藏定日县发生6．8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助，针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查．在地震物资保障中，需要在一条主干道上设立一个临时卸货点，使之距离物资仓库最近，请在图中的主干道上画出卸货点的位置． 【答案】见详解 【分析】该题考查了垂线段最短，过点A作直线的垂线即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 5．如图，点，在同一条直线上，是的平分线．求的余角的度数． 【答案】 【分析】先根据邻补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出度数，即可求出该角的余角的度数. 【详解】解：， ． 是的平分线， . 的余角为：. 【点睛】本题考查了与角平分线的有关计算问题，掌握角平分线定义与邻补角定义是解题的关键． 6．已知，如图，，垂足为O，平分，反向延长至点E，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、几何图中角度的计算，由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 7．如图，一把直角三角尺和有公共顶点的射线，且． (1)按照如图1所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，观察并猜想与的数量关系：_______． (2)按照如图2所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们之间的关系． (3)按照如图3所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边落在内部，则________（填“>”“<”或“＝”） 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3) 【分析】本题考查了角的和差计算，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由结合，即可证明； （2）由，即可证明； （3）先由，，得到，再由，，即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：成立． 理由：因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 又因为，， 所以． 8．一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 【答案】这个角度数为 【分析】此题综合考查余角与补角及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．首先根据余角（如果两个角的和是90°，那么称这两个角“互为余角”）与补角（如果两个角的和是180°，那么称这两个角“互为补角”）的定义，设这个角为x，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个角度数为x，则它的余角为，补角为，根据题意得： ， 解得， ∴这个角度数为． 9．已知：如图，是内部一条射线． (1)请你用直尺和圆规在内部作，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，且与互补，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角，与补角有关的计算： （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）互补，求出的度数，根据，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．已知，在射线的上方作射线，再以射线为始边绕着点逆时针旋转得到角的终边，作的平分线，设．    (1)如图1，当时，__________； (2)如图2，当时，__________； (3)如图3，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (4)当时，根据（1）～（3）的计算过程，请猜想的度数．（用含的代数式表示，直接写出结论即可）． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据余角的定义，再根据角平分线的定义及角的和差解答即可； （2）根据余角的定义，再根据角平分线的定义及角的和差解答即可； （3）根据余角的定义，再根据角平分线的定义及角的和差解答即可； （4）根据题意分情况讨论，再根据余角的定义的度数，再根据角平分线的定义及角的和差解答即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为； （3）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴； （4）解：∵，， 当时， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴； 当时， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知： ∴， 当时， ∴， ∵平分， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， 综上可知，或． 【点睛】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，掌握余角的定义及角平分线的定义是解题的关键． 二、2.2探索直线平行的条件 11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变． (1)请指出图中所有的同旁内角． (2)若测得，求筷子的水下部分向上弯折的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同旁内角的概念，角的和差运算以及邻补角的概念，解题的关键是熟练掌握同旁内角的概念和角的和差的运算． （1）利用同旁内角的概念解答此题即可； （2）利用邻补角和角的和差的运算即可解答此题． 【详解】（1）解：根据同旁内角的定义，结合图形可得： 的同旁内角有：． （2）解：根据图形可得： ， ． ∴筷子的水下部分向上弯折的度数为． 12．数学活动 （1）如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角； （2）写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据同位角、内错角和同旁内角的定义即可得到结论； （2）依题意，写出“于”子中的所有的同位角、内错角、同旁内角． 【详解】解：（1）同位角：与，与，内错角：与，与，同旁内角：与，与； （2）如图，“于”子中的所有的同位角、内错角、同旁内角 同位角：与，与， 内错角：与，与，与，与； 同旁内角：与，与，与，与． 13．已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的性质，角平分线的定义等．根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 14．如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本下端应在位置的筷子出现在了的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变． (1)的同位角有　　　； (2)淇淇使用工具测得，，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查三线八角，几何图形中角度的计算，熟练掌握同位角的定义，是解题的关键： （1）根据同位角的定义找型即可； （2）平角的定义求出的度数，再利用角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）解：由图可知：的同位角有，，； 故答案为：，，； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，不要求写作法． (1)画射线； (2)过点画的平行线（点在格点上）； (3)在射线上取一点，画线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离． （1）根据线段的定义作图即可； （2）根据格点特点画平行线即可； （3）根据格点特点，过点B作的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 16．（1）小明在计算一个多项式乘－2x2＋x－1时，因看错运算符号，变成了加上－2x2＋x－1，得到的结果为4x2－2x－1，那么正确的计算结果为多少？ （2）如图：AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE＝BF．求证：CD∥AB． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）根据题意得到求出原多项式，然后计算求解即可． （2）首先由CE＝BF得到，然后根据HL证明得到，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】（1）解：依题意得： ∴正确的计算结果为： （2）证明：，， ∴， 又 ∴ 又 ∴（） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和三角形全等的性质和判定方法，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算和三角形全等的性质和判定方法，平行线的判定方法． 17．如图，在中，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，平行线的判定等知识，先证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 由∵． ∴ ∴， ∴． 18．作图题： (1)如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上，请用无刻度直尺画图： ①过点A画的平行线； ②过点C画的垂线． (2)如图2，已知，内部有一射线，利用直尺和圆规作图：在左侧作出射线，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格图——作平行线，垂线；尺规作图——作一个角等于已知角：熟练掌握作图方法是解题的关键； （1）①取格点Q，作直线即可；②取格点P，作直线即可，； （2）根据作一个角等于已知角的方法，作，即可． 【详解】（1）解：①直线即为所求；②直线即为所求； （2）如图2中，射线即为所求． 19．如图，点P、Q分别是的边、上的点．    (1)过点P、Q分别画、的平行线，两直线相交于点M； (2)过点P、画的垂线，垂足为H，过点P画的垂线交于点G； (3)线段与的大小关系是什么？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）利用三角板和直尺按要求作图； （2）利用三角板和直尺按要求作图； （3）根据“垂线段最短”进行判断即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示    （2）所求图形，如图所示    （3）根据“垂线段最短”，可得 【点睛】本题考查作平行线，作垂线，垂线段最短，掌握作平行线，作垂线是解题的关键． 三、2.3平行线的性质 20．如图，已知，若平分，平分，与的反向延长线交于点，试确定与的关系，并说明理由． 【答案】，理由如下 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 方法一：过点作，过点作，根据平行线的性质，，，根据角平分线的性质，得，，根据等量代换，可得，推出，根据平行线的性质，得，，根据角之间的数量关系，可得，即可． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点，由平行线的性质得到，，根据角平分线的定义，三角形的外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：方法一：过点作，过点作， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 方法二：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ． 21．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，求水下部分向上折弯了多少度？ 【答案】 【分析】本题考查了对同位角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补． 根据平行线的性质解答即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∴向上折弯了． 22．已知：如图，，平分，平分，求的度数． 请补全下列解法中的空缺部分． 解：过点作，交AC于点G． ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（____________________）， （____________________）， ∵， ∴____________________（____________________）， 同理可证：____________________． ∵平分，平分． ∴，．（____________________）， ∴（_____________________）， ∴． 总结：两直线平行，同旁内角的角平分线___________________． 【答案】平行于同一条直线的两直线互相平行（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；两直线平行，同旁内角互补；∠APG；两直线平行，内错角相等；∠PCD；角平分线的定义；等量代换；互相垂直 【分析】利用平行线的判定与性质结合图形找准各角之间的关系证明即可． 【详解】解：过点P作PG∥AB，交AC于点G． ∵AB∥CD（已知），PG∥AB（辅助线的作法）， ∴PG∥CD（平行于同一条直线的两直线互相平行）， ∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵PG∥AB， ∴∠BAP=∠APG（两直线平行，内错角相等）， 同理可证：∠GPC=∠PCD． ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD． ∴∠BAP=∠BAC，∠PCD=∠ACD．（角平分线的定义）， ∴∠BAP+∠PCD=∠BAC+∠ACD=90°（等量代换）， ∴∠APC=∠APG+∠GPC=∠BAP+∠PCD=90°． 总结：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直． 故答案为：平行于同一条直线的两直线互相平行（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；两直线平行，同旁内角互补；∠APG；两直线平行，内错角相等；∠PCD；角平分线的定义；等量代换；互相垂直． 【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，角平分线的计算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 23．（1）计算： （2）如图所示，直线被直线所截，若，求的度数．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式分别运用完全平方公式和平方差公式把括号展开后再合并即可； （2）利用平行线的性质定理和判定定理，即可解答． 【详解】解：（1） （2）如图：   ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了整式的运算，平行线的性质和判定定理．此题难度不大，灵活应用定理是解决问题的关键． 24．如图，在四边形中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的内错角相等相关知识来推导角度． 利用平行线的性质得出与的关系，结合已知，求出和的度数，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ． 25．如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，______； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，①若，求的大小；②求的大小（用的式子表示）：③如图3，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，可能为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③不可能为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的等腰，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，据此可得答案； ②过点作，则，则，再由即可求解； ③过点作，则，那么，，则，由角平分线的定义可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，即； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ③不可能为，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． ∴不可能为． 26．如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． (1)求的度数； (2)求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)轮船从处到码头距离约为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、平行线的性质、三角形的内角和等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点作，交于点，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于，在中，求出，然后在中，求出，进而即可求解的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ， ； （2）如图，过点作于， 在中，，， ， ， 在中，， ， （海里）， 答：轮船从处到码头距离约为海里． 27．如图，内部有一点P．请根据要求完成下列问题：过点P画直线，交于点C；画直线，交于点D．    (1)写出图中一个与互补的角： ； (2)图中与相等的角（不包括）有（    ） A．4个                B．5个                C．6个                D．8个 (3)请证明，并写出每一步的理由． 【答案】(1)图见解析，（或） (2)C (3)见解析 【分析】本题考查画平行线，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）借助三角板和直尺画出平行线，根据补角的定义，进行作答即可； （2）根据平行线的性质，进行判断即可； （3）根据平行线的性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图    ∵， ∴， 同理： ∴与互补，与互补； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，    综上：图中与相等的角（不包括）有6个； 故选：C； （3）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 28．已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折弦，且，Q是a，b之间且在折线左侧的一点，如图． (1)若，则 度． (2)若的一边与平行，另一边与平行，请探究间满足的数量关系并说明理由． (3)若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出之间满足的数量关系． 【答案】(1)41 (2)或，，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）如图1，过P作，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，从而有，由根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：41； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知，， ∴ ∴； 即或，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29． 如图①，已知，．    (1)若点E、F在线段上，且满足平分，平分，如图②，求的度数． (2)若点E在直线上，且满足，求的值（请自己画出正确图形，并解答）． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）因为，得到根据角平分线的性质得，即可根据求出的度数． （2）分两种情况进行讨论：点在点左侧时，即当点E在线段上时，点在点右侧时，即当点E在的延长线上时，依据，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ， ； （2）解：①如图3，当点E在线段上时，由（1）可得， ， 又 ， ； ②如图4，当点E在的延长线上时，由（1）可得， ， 又 ， ． 试卷第2页，共30页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $第二章 相交线与平行线分类易错精选【解答】 一、1.1两条直线的位置关系 1.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为点O,∠AOC:∠C0E=5:1,求∠BOD的度 数 E 2.已知点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补. B B 图① 图② (1)如图①，试说明：0D平分∠A0C; (2)如图②，若∠A0E=∠B0D,∠C0E=3∠A0C,求∠B0E的度数； (3)在(2)的条件下，作∠EOF=90°，请直接写出∠A0F的度数. 3.如图，点P,点Q分别代表两个村庄，直线1代表两个村庄中间的一条公路.根据居民出行的需要， 计划在公路1上的某处设置一个公交站. P. •0 (1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路1上画出车站的位置 (用点M表示)，依据是 (2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路1上画出车 站的位置（用点N表示），依据是 4.2025年1月7日，西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助，针对灾区 房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查.在地震物资保障中，需要在一条主干道1上设 立一个临时卸货点P，使之距离物资仓库A最近，请在图中的主干道1上画出卸货点P的位置. 1/9 A 5.如图，点A,O,C在同一条直线上，∠1=55°，OD是∠B0C的平分线.求∠C0D的余角的度数. D 0 6.已知，如图，∠A0B=135°，OC⊥0B垂足为O,0D平分∠A0B,反向延长0D至点E,求∠C0E的 度数. 7.如图，一把直角三角尺和有公共顶点的射线OA,OB,OC,且∠A0C=∠B0C=90°. B 图1 图2 图3 (1)按照如图1所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，观察并猜想∠COD与∠B0E的 数量关系： (2)按照如图2所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边OE落在∠BOC内部，(1) 中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们之间的关系. (3)按照如图3所示的方式摆放三角尺，三角尺的直角顶点与点O重合，直角边OE落在∠AOC内部， 则∠COD ∠B0E.(填>”“<”或=”) 8.一个角的余角比它的补角的还少70°，求这个角的度数。 6 9.已知：如图，OC是∠A0B内部一条射线. 2/9 B A (1)请你用直尺和圆规在∠B0C内部作∠COD,使得LCOD=LAOC(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若∠A0B=110°，且∠A0B与LAOD互补，求∠B0C的度数 10.已知LA0B=90°，在射线OA的上方作射线0C,再以射线0C为始边绕着点0逆时针旋转30°得到 角的终边OD,作∠BOC的平分线OE,设LA0C=a. B D B E B 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=20°时，∠D0E= (2)如图2，当a=70°时，∠D0E= (3)如图3，当90°<a<180°时，求∠D0E的度数（用含a的代数式表示）； (4当0°<a<180°时，根据(1)~(3)的计算过程，请猜想∠D0E的度数.（用含a的代数式表示， 直接写出结论即可). 二、2.2探索直线平行的条件 11,光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射.如图，把一 根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传 播方向发生了改变， A ----1 3/9 (1)请指出图中∠1所有的同旁内角 (2)若测得∠AOE=50°，∠BOM=155°，求筷子的水下部分OE向上弯折(LEOM)的度数. 12.数学活动 (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角； 大04 5n6 (2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角， 13.己知：如图，点A,B,C在同一条直线上，BD平分∠ABE,BD⊥BF,∠ABD+∠F=90°.求 证：BE∥CF D B 14.如图，淇淇把筷子的一端放入水杯中，筷子的另一端露出水面，可以看见筷子在水中会偏折，原本 下端应在OE位置的筷子出现在了OM的位置，这就是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播 方向发生了改变，我们所看见的筷子的位置也就发生了改变， E (1)∠1的同位角有 (2)淇淇使用工具测得∠A0E=53°，∠M0B=160°，求∠MOE的度数 15.如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点.点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺 在给定的网格中按要求画图，不要求写作法. 4/9 (1)画射线AC; (2)过点B画AC的平行线BD(点D在格点上)； (3)在射线AC上取一点E,画线段BE1AC· 16.(1)小明在计算一个多项式乘-2x2+x一1时，因看错运算符号，变成了加上一2x2十x一1，得到的 结果为4x2-2x一1，那么正确的计算结果为多少？ (2)如图：AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,CE=BF.求证：CDILAB D B 17.如图，在ABC中，AC=6,AE=4,BE=6,DE=3,求证：AB∥CD. E B 18.作图题： D B B 图1 图2 (1)如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C均在格点上，请用无 刻度直尺画图： ①过点A画BC的平行线AQ; 5/9 ②过点C画BC的垂线CP. (2)如图2，己知∠ABC=90°，∠ABC内部有一射线BD,利用直尺和圆规作图：在BC左侧作出射线 BE,使得∠DBE=90°（不写作法，保留作图痕迹） 19.如图，点P、Q分别是∠AOB的边OA、OB上的点. (I)过点P、Q分别画OB、OA的平行线，两直线相交于点M; (2)过点P、画OB的垂线，垂足为H,过点P画OA的垂线交OB于点G (3)线段PH与PG的大小关系是什么？ 三、2.3平行线的性质 20.如图，已知AB∥CD,若BG平分∠ABE,DF平分∠CDE,BG与DF的反向延长线交于点H, 试确定∠E与∠H的关系，并说明理由， B H 21.如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这 是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，若∠1=115°，测得∠B0M=145°， 从水面上看斜插入水中的筷子，求水下部分向上折弯了多少度？ F E 22.己知：如图，AB∥CD,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,求∠APC的度数. 6/9 请补全下列解法中的空缺部分 解：过点P作PG∥AB,交AC于点G. :AB∥CD(已知)，PG∥AB(辅助线的作法)， PG∥CD ( ), ∠BAC+∠ACD=180°( :PG∥AB, ∴.∠BAP= ), 同理可证：∠GPC= :AP平分∠BAC,CP平分∠ACD. ∠BP=B4c,∠PCD-ACD.( ∠BP+∠PD-B4C+acD=0 :.∠APC=∠APG+∠GPC=∠BAP+∠PCD=90°. 总结：两直线平行，同旁内角的角平分线 23.(1)计算：(2x+3)+(2x+3)(2x-3 (2)如图所示，直线a,b被直线c,d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，求∠4的度数. a 24.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠2=∠3，∠1=35°，求∠D的度数. 7/9 A D 1 C 25.如图，直线MN∥PQ,将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，∠ACB=∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°，此时点A与点E重合 G G D D D H P -0 B A(E) A(E) A(E) 图1 图2 图3 (I)如图1，直线MN经过点F,∠NFD= (2)如图2，固定ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向旋转α度，DF与MN相交于点G, ①若AC∥DF,求a的大小；②求∠NGD的大小（用a的式子表示）：③如图3，∠NGD与LDEQ的角平 分线相交于点H,△DEF在旋转过程中，∠GHE可能为30°吗？请说明理由 26.如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头C,当轮船航行到A处时，测得码头C在北偏东 60°方向上，此时收到北偏东30°方向B处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着AB 方向继续航行30海里到达B处对渔船进行了救助，又沿着南偏东70°方向航行到达码头C. 北 B 北 60% 30 (1)求∠C的度数： (2)求轮船从A处到码头C距离.（结果精确到1海里.参考数据：si50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2，√5≈1.73) 27.如图，∠AOB内部有一点P.请根据要求完成下列问题：过点P画直线PC∥OB,交OA于点C; 画直线PD∥OA,交OB于点D. 8/9 A B (1)写出图中一个与∠0互补的角：-： (2)图中与∠0相等的角（不包括∠0）有() A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 (3)请证明LCPD=∠0，并写出每一步的理由. 28.己知：直线a∥b,点A,B分别是a,b上的点，APB是a,b之间的一条折弦，且∠APB<90°， Q是a,b之间且在折线APB左侧的一点，如图 备用图 备用图 (1)若1=33°，LAPB=74°，则∠2=_度. (2)若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q,∠1，∠2间满足的数量关系并说明理由. (3)若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q,1,∠2之间满足的数量关系. 29.如图①，已知AD∥BC,∠B=∠D=120°. D B 图① 图② (I)若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图②，求∠FAC的度数， (②若点E在直线CD上，且满足∠EAC=)∠BAC,求LACD:∠AED的值（请自己画出正确图形，并解 2 答). 919