单元培优讲义：分数乘法（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

单元培优讲义：分数乘法 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎走进分数乘法的探索之旅！分数乘法是数学世界的重要工具，它能帮助我们解决生活中的许多问题，比如分物品、计算材料用量等。通过本单元的学习，你将理解分数乘法的意义，掌握计算方法，并学会用乘法解决实际问题。请保持细心观察、勤于思考的习惯，相信你能在动手操作、合作交流中发现规律，体验数学思维的乐趣，成为分数乘法的小能手！ 知识梳理 一、分数乘整数 1. 意义：求几个相同分数的和的简便运算。例如， 表示3个 相加的和。 2. 计算方法： （1）分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 （2）能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 示例： 或 二、分数乘分数 1. 意义：求一个分数的几分之几是多少。例如， 表示求 的 是多少。 2. 计算方法： （1）分子乘分子，分母乘分母。 （2）能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 示例： 三、整数乘分数 1. 意义：与分数乘整数相同，求几个相同分数的和。 2. 计算方法：整数与分数的分子相乘，分母不变，能约分的先约分。 示例： 四、分数乘法的应用 1. 求一个数的几分之几 例如：求12的 是多少，列式： 五、分数乘法的运算规律 1. 交换律： 2. 结合律： 3. 积与乘数的大小关系： （1）乘数 > 1，积 > 原数。 （2）乘数 = 1，积 = 原数。 （3）乘数 < 1，积 < 原数。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 【答案】 ： 或 【解析】 ： （1）分母不变，分子与整数相乘： （2）约分： （3）化为带分数： 【分析】 ：易错点在于约分时易忽略整数与分母的公因数，需先约分再计算。 【跟踪练习】 计算： 【答案】 ： 或 【解析】 ： （1）约分： 与 约分为 和 ，得 （2）化简： 【典型例题2】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）分子乘分子，分母乘分母： （2）约分： 【分析】 ：需先约分再计算，避免结果不是最简分数。 【跟踪练习】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）约分：分子 与分母 约分为 和 ，分母 与分子 约分为 和 ，得 【典型例题3】 小明看一本120页的书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天看了多少页？ 【答案】 ：20页 【解析】 ： （1）第一天看的页数： （页） （2）剩余页数： （页） （3）第二天看的页数： （页） 【分析】 ：需分步计算，注意“余下”部分对应的单位“1”是剩余页数。 【跟踪练习】 原价80元的书包打六折后，再降价 ，现价多少元？ 【答案】 ：32元 【解析】 ： （1）打六折后的价格： （元） （2）降价后的价格： （元） 培优练习 一、选择题 1．若a、b、c是三个不为零的自然数，且a＞b＞c，则下列式子中，得数最大的是（    ）。 A．a× B．a× C．b× D．c× 【答案】B 【分析】先把每个选项都转化为分数形式，再根据“分子相同，分母越小分数越大；分母相同，分子越大分数越大”的规律来比较大小。 【详解】A．a×＝，因为a＞b，所以这个分数大于1； B．a×＝，因为a＞c，且c是三个数里最小的，所以分母最小，分子最大，这个分数是四个选项里最大的； C．b×＝，虽然b＞c，但b＜a，所以这个分数小于； D．c×＝，因为c＜a，所以这个分数小于1。 通过对比可以得出，a×的得数最大。 2．0.9的倒数是（    ）。 A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】先将小数0.9转化为分数，再根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，计算其倒数。 【详解】0.9＝ 因为×＝1，所以的倒数为。 3．花馍也称“面花”，是我国民间面塑品。李阿姨一共要做180个大花馍，第一天做了，第二天做了第一天的，还剩（    ）个没做。 A．30 B．45 C．75 D．105 【答案】D 【分析】把总花馍数量看作单位“1”。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 第一天做了总数的，第二天做了第一天的，即第二天做了总数的。两天一共做了总数的。还剩下总数的。已知总数量为180个，用即可求出剩余数量。 【详解】 （个） 还剩105个没做。 4．王老师给了李南和张西两根同样长的彩带装饰教室，李南用了米，张西用了，两人的彩带剩下的部分相比（    ）。 A．李南更长 B．张西更长 C．两根一样长 D．无法比较 【答案】D 【分析】李南用去的米是固定长度，张西用去的是彩带总长的占比，由于彩带总长未知，两人剩余部分无法比较。 【详解】（1）当彩带总长为1米时 李南用去米，剩余1－＝（米） 张西用去总长的，即1×＝（米），剩余1－＝（米） ＝，此时两人剩余部分长度相等。 （2）当彩带总长大于1米时（如7米） 李南用去米，剩余7－＝（米） 张西用去总长的，即7×＝3（米），剩余7－3＝4（米） ＞4，此时李南剩余部分更长。 （3）当彩带总长小于1米时（如米） 李南用去米，剩余－＝－＝（米） 张西用去总长的，即×＝，剩余－＝－＝（米） ＝，＜，此时张西剩余部分更长。 由于彩带总长未知，无法确定剩余部分的长度关系，因此无法比较。 5．一堆沙子重400吨，运走它的后，又运走了吨，一共运走了多少吨？正确列式为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把这堆沙子的总重量看作单位“1”，求总重量的，用400吨乘求出第一次运走的重量，第二次运走了吨，后带了单位吨，表示具体的重量，加上第一次运走的重量，据此列式。 【详解】据分析可知，正确列式为：400×＋ 6．《庄子•天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一根一尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。第三天截取的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把这根木棍的长度看作单位“1”，每日截取剩余部分的一半，明确每天剩余长度与原长的关系，用乘法计算。 【详解】第一天截取它的一半，即1×＝；此时剩下1－＝； 第二天截取剩下的一半，即×＝；此时剩下－＝； 第三天再截取剩下的一半，即×＝。 二、填空题 7．林场种杨树350棵，种的松树比杨树的棵数多，松树比杨树多( )棵。 【答案】70 【分析】松树比杨树的棵数多，求松树比杨树多的棵数，就是求杨树棵数的是多少，用乘法计算。 【详解】350×​＝70（棵） 8．( )的倒数是它本身，( )没有倒数。如果a、b互为倒数，那么( )。 【答案】 1 0 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，则a与b的乘积为1，由此即可解答。 【详解】1的倒数是它本身，0没有倒数。 如果a、b互为倒数，那么； 9．12个的和是( )；米的是( )米；千克比( )千克多千克。 【答案】 10 /0.2 【分析】用12乘，就是12个的和是多少； 用乘，就是米的是多少米； 用减去，就是千克比多少千克多千克。 【详解】12×＝10 ×＝（米） －＝（千克） 12个的和是10；米的是米；千克比千克多千克。 10．一般成人有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头块数的，手骨有( )块。手指骨的块数占手骨块数的，手指骨有( )块。 【答案】 54 28 【分析】已知人体共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头的，把全身骨头的块数看作单位“1”，单位“1”已知，用全身骨头的块数×，求出手骨的块数； 又已知手指骨的块数又占手骨的，把手骨的块数看作单位“1”，单位“1”已知，用手骨的块数×，求出手指骨的块数。 【详解】206×＝54（块） 54×＝28（块） 故手骨有54块，手指骨有28块。 11．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )     ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）（2）将分数转化为小数（分子除以分母），再比较两个小数的大小； （3）一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，结果比原数小； （4）分数乘法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。据此计算左右两个算式，比较结果。 【详解】（1）＝5÷7≈0.714 因为0.714＜0.75，所以＜0.75。 （2）＝7÷8＝0.875 因为0.875＞0.625，所以＞0.625。 （3）因为＜1，所以＜。 （4）＝＝，＝＝。 因为＝，所以＝。 12．1袋大米，每天吃掉千克，3天吃了( )千克。 【答案】 【分析】根据总消耗量＝每天吃掉的量×天数，代入计算即可。 【详解】×3＝（千克） 1袋大米，每天吃掉千克，3天吃了千克。 三、判断题 13．如果（a、b均大于0），那么a＜b。( ) 【答案】√ 【分析】一个非零数乘小于 1 的数，积小于这个数。真分数小于1，且真分数的分子小于分母。 【详解】因为 ，所以 。 即，是真分数，a、b均大于0，且真分数的分子小于分母，所以a＜b。 故答案为：√ 14．（a大于0）的积一定比a小。( ) 【答案】√ 【分析】积与因数的大小关系：一个数（0除外）乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；乘1，积等于原数。 【详解】因为，，所以。原说法正确。 故答案为：√ 15．如图，则这些桃子的是6个。( ) 【答案】√ 【分析】把这些桃子看作单位“1”，由图可知，有8个桃子。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】8×＝6（个），故答案为：√。 16．甲校人数的与乙校人数的同样多。( ) 【答案】× 【分析】“甲校人数的”说明甲校人数被看作单位“”，“乙校人数的”说明乙校人数被看作单位“”。求一个数的几分之几是多少要用乘法。所以要知道甲校和乙校的人数才好判断。 【详解】不知道甲校和乙校的人数，所以无法求出甲校人数的和乙校人数的是多少人，因此无法判断。 故答案为：× 17．2米长绳子，用去全长的，剩下米。( ) 【答案】× 【分析】把绳子全长看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”用全长乘用去的分率，求出用去的长度，再用全长减去用去的长度求出剩下的长度，看是否和题中的米相等。 【详解】2×＝（米） 2－ ＝－ ＝（米） 因此剩下的长度是米，并非米。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 18．直接写出得数。                            【答案】；；；； 0；1；； 【解析】略 19．计算下列各题，能简算的要简算。              【答案】；1；75； 【分析】（1）：根据乘法结合律，三个数相乘，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。先计算，再与相乘，可简化计算。 （2）：根据乘法分配律，两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相减。用20分别乘和，再求差。 （3）：根据乘法分配律的逆运算，a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将其转化为（45＋54＋1）×进行简算。 （4）：根据乘法分配律，两个数的和与两个数的积相乘，可以把这两个数分别与积里的两个数相乘，再相加。用和分别乘9×4，再求和。 【详解】（1） ＝×（×） ＝× ＝ （2） ＝20×－20× ＝5－4 ＝1 （3） ＝ ＝（45＋54＋1）× ＝100× ＝75 （4） ＝×9×4＋×9×4 ＝＋8 ＝ 20．看图列式计算。 【答案】（人） 【分析】女生人数是单位“1”，男生人数比女生人数的多15人，求一个数的几分之几是多少用乘法，比一个数多几就加几，女生人数×＋15人＝男生人数。 【详解】 （人） 五、解答题 21．西延高铁是我国“八纵八横”高铁网重要组成部分，也是通往陕北革命老区的首条高铁。目前西安到延安的车程需150分钟左右，预计西延高铁开通后节约。开通后将节约多长时间？需多长时间？ 【答案】90分钟；60分钟 【分析】是把未开通之前的行车时间看作单位“1”，用乘法计算，就是开通后将节约的时间；再用开通之前的时间减去开通后节约的时间，就是需要的时间。 【详解】150×＝90（分钟） 150－90＝60（分钟） 答：开通后将节约90分钟，需60分钟。 22．光明小学有学生840人，五年级学生人数占全校学生总人数的，五年级女生占本年级学生人数的，五年级女生有多少人？ 【答案】140人 【分析】求一个数的几分之几，用乘法计算。 【详解】 （人） 答：五年级女生有140人。 23．乐乐吃了一个蛋糕的，淘气吃了剩下的，乐乐和淘气谁吃的蛋糕多？ 【答案】一样多 【分析】把这个蛋糕看作单位“1”，用单位“1”减去乐乐吃了总蛋糕的分率，求出剩下的占总蛋糕的分率；再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，求出淘气吃的蛋糕占总蛋糕的分率，最后比较乐乐和淘气吃的蛋糕的分率，大的即吃的多的。 【详解】1－＝ ×＝ 因为＝，所以两人吃的一样多。 答：乐乐和淘气吃的一样多。 24．星星百货商场新购进了360箱果汁，其中橙汁占总数的，苹果汁是橙汁的，该商场购进苹果汁多少箱？ 【答案】96箱 【分析】把果汁总箱数看作单位“1”，用总箱数乘求出橙汁的箱数；再把橙汁的箱数看作单位“1”，用橙汁的箱数乘即可求出苹果汁的箱数。 【详解】360×＝160（箱） 160×＝96（箱） 答：该商场购进苹果汁96箱。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：分数乘法 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎走进分数乘法的探索之旅！分数乘法是数学世界的重要工具，它能帮助我们解决生活中的许多问题，比如分物品、计算材料用量等。通过本单元的学习，你将理解分数乘法的意义，掌握计算方法，并学会用乘法解决实际问题。请保持细心观察、勤于思考的习惯，相信你能在动手操作、合作交流中发现规律，体验数学思维的乐趣，成为分数乘法的小能手！ 知识梳理 一、分数乘整数 1. 意义：求几个相同分数的和的简便运算。例如， 表示3个 相加的和。 2. 计算方法： （1）分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 （2）能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 示例： 或 二、分数乘分数 1. 意义：求一个分数的几分之几是多少。例如， 表示求 的 是多少。 2. 计算方法： （1）分子乘分子，分母乘分母。 （2）能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 示例： 三、整数乘分数 1. 意义：与分数乘整数相同，求几个相同分数的和。 2. 计算方法：整数与分数的分子相乘，分母不变，能约分的先约分。 示例： 四、分数乘法的应用 1. 求一个数的几分之几 例如：求12的 是多少，列式： 五、分数乘法的运算规律 1. 交换律： 2. 结合律： 3. 积与乘数的大小关系： （1）乘数 > 1，积 > 原数。 （2）乘数 = 1，积 = 原数。 （3）乘数 < 1，积 < 原数。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 【答案】 ： 或 【解析】 ： （1）分母不变，分子与整数相乘： （2）约分： （3）化为带分数： 【分析】 ：易错点在于约分时易忽略整数与分母的公因数，需先约分再计算。 【跟踪练习】 计算： 【典型例题2】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）分子乘分子，分母乘分母： （2）约分： 【分析】 ：需先约分再计算，避免结果不是最简分数。 【跟踪练习】 计算： 【典型例题3】 小明看一本120页的书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天看了多少页？ 【答案】 ：20页 【解析】 ： （1）第一天看的页数： （页） （2）剩余页数： （页） （3）第二天看的页数： （页） 【分析】 ：需分步计算，注意“余下”部分对应的单位“1”是剩余页数。 【跟踪练习】 原价80元的书包打六折后，再降价 ，现价多少元？ 培优练习 一、选择题 1．若a、b、c是三个不为零的自然数，且a＞b＞c，则下列式子中，得数最大的是（    ）。 A．a× B．a× C．b× D．c× 2．0.9的倒数是（    ）。 A． B． C．9 D． 3．花馍也称“面花”，是我国民间面塑品。李阿姨一共要做180个大花馍，第一天做了，第二天做了第一天的，还剩（    ）个没做。 A．30 B．45 C．75 D．105 4．王老师给了李南和张西两根同样长的彩带装饰教室，李南用了米，张西用了，两人的彩带剩下的部分相比（    ）。 A．李南更长 B．张西更长 C．两根一样长 D．无法比较 5．一堆沙子重400吨，运走它的后，又运走了吨，一共运走了多少吨？正确列式为（    ）。 A． B． C． D． 6．《庄子•天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一根一尺长的木棍（尺，中国古代长度单位），第一天截取它的一半，第二天截取剩下的一半，第三天再截取剩下的一半……这样取下去，永远也取不完。第三天截取的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．林场种杨树350棵，种的松树比杨树的棵数多，松树比杨树多( )棵。 8．( )的倒数是它本身，( )没有倒数。如果a、b互为倒数，那么( )。 9．12个的和是( )；米的是( )米；千克比( )千克多千克。 10．一般成人有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头块数的，手骨有( )块。手指骨的块数占手骨块数的，手指骨有( )块。 11．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )     ( )    ( ) 12．1袋大米，每天吃掉千克，3天吃了( )千克。 三、判断题 13．如果（a、b均大于0），那么a＜b。( ) 14．（a大于0）的积一定比a小。( ) 15．如图，则这些桃子的是6个。( ) 16．甲校人数的与乙校人数的同样多。( ) 17．2米长绳子，用去全长的，剩下米。( ) 四、计算题 18．直接写出得数。                            19．计算下列各题，能简算的要简算。              20．看图列式计算。 五、解答题 21．西延高铁是我国“八纵八横”高铁网重要组成部分，也是通往陕北革命老区的首条高铁。目前西安到延安的车程需150分钟左右，预计西延高铁开通后节约。开通后将节约多长时间？需多长时间？ 22．光明小学有学生840人，五年级学生人数占全校学生总人数的，五年级女生占本年级学生人数的，五年级女生有多少人？ 23．乐乐吃了一个蛋糕的，淘气吃了剩下的，乐乐和淘气谁吃的蛋糕多？ 24．星星百货商场新购进了360箱果汁，其中橙汁占总数的，苹果汁是橙汁的，该商场购进苹果汁多少箱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $