单元培优讲义：长方体（一）（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

单元培优讲义：长方体（一） 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎开启探索立体图形的新旅程！长方体是我们生活中最常见的立体图形之一，从书包到教室，从楼房到纸箱，它的身影无处不在。通过本单元的学习，你将认识长方体的特征，掌握表面积与体积的计算方法，发展空间想象力和解决问题的能力。请准备好你的观察力和创造力，通过动手操作、认真思考，揭开长方体的奥秘，感受数学与生活的紧密联系！ 知识梳理 一、长方体的认识 1. 基本特征 （1）面：有6个面，相对的面完全相同（特殊情况：有两个相对面是正方形时，其余四个面完全相同的长方形）。 （2）棱：有12条棱，相对的棱长度相等。可分为三组，每组4条棱长度相等。 （3）顶点：有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 （4）长、宽、高：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高。 2. 棱长总和计算公式 二、长方体的表面积 1. 定义：长方体6个面的总面积。 2. 计算公式 （1）一般公式： （2）特殊情况（如正方体，即长=宽=高时）： 三、长方体的体积与容积 1. 体积 （1）定义：物体所占空间的大小。 （2）体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。 （3）计算公式： 2. 容积 （1）定义：容器所能容纳物体的体积。 （2）容积单位：升（L）、毫升（mL），1 L = 1 dm³，1 mL = 1 cm³。 （3）容积与体积的关系：计算规则容器容积的方法与体积相同，但需从容器的内部测量长、宽、高。 3. 单位换算 1 m³ = 1000 dm³，1 dm³ = 1000 cm³，1 L = 1000 mL。 例题讲解 【典型例题1】 一个长方体的长是5 cm，宽是4 cm，高是3 cm，求它的棱长总和与表面积。 【答案】 棱长总和：48 cm；表面积：94 cm²。 【解析】 1.棱长总和： 2.表面积： 【分析】 易错点：计算表面积时易漏乘2，或混淆棱长总和与表面积的单位。 【跟踪练习】 一个正方体的棱长是6 dm，求它的棱长总和与表面积。 【答案】 棱长总和：72 dm；表面积：216 dm²。 【解析】 1.棱长总和： 2.表面积： 【分析】 注意正方体棱长总和与表面积公式的推导过程，区分与长方体的计算方法。 【典型例题2】 一个长方体玻璃容器，从里面量长8 dm，宽6 dm，高4 dm，求它的容积是多少升？ 【答案】 192 L。 【解析】 1.计算体积（即容积）： 2.单位换算： 【分析】 关键点：①容积需从内部测量；②体积单位与容积单位的换算。 【跟踪练习】 一个长方体水箱能装水500 L，已知水箱的底面积是100 dm²，求水箱的高。 【答案】 5 dm。 【解析】 1.单位换算： 2.由体积公式求高： 【分析】 逆向应用体积公式解决问题，注意单位统一。 【典型例题3】 用一根60 cm长的铁丝做一个长方体框架，长是7 cm，宽是5 cm，求它的高是多少厘米？ 【答案】 3 cm。 【解析】 1.设高为 h cm，根据棱长总和公式： 2.解方程： 【分析】 列方程解决问题时需明确等量关系（棱长总和），检验结果是否符合实际（如高是否合理）。 【跟踪练习】 一个无盖的长方体纸盒，长8 cm，宽5 cm，高3 cm，制作这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】 118 cm²。 【解析】 1.无盖纸盒表面积：少一个底面。 2.计算： 【分析】 实际问题需灵活应用表面积公式，注意“无盖”等条件对计算的影响。 培优练习 一、选择题 1．一个正方体盒子，六个面分别写着“预”“祝”“考”“试”“成”“功”6个字，若其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图中，相对的面在展开图中是不相邻的，且相邻的面隔着一行或者一列，据此解答。 【详解】A．A的展开图中，“预”和“考”是相邻的面而题目中明确说明“预”的对面是“考”，相对的面在展开图中不相邻，所以选项A不符合要求，是错误的。 B．B的展开图中，“成”和“功”是相邻的面，但已知“成”的对面是“功”，相对的面在展开图中不相邻，所以选项B不符合要求，是错误的。 C．C的展开图中，“预”和“考”不相邻，“成”和“功"也不相邻，满足“预”的对面是“考”、“成”的对面是“功”这一条件，所以选项C是正确的。 D．D的展开图中，“成”和“功”是相邻的面不满足“成”的对面是“功”这一条件，所以选项D不符合要求，是错误的。 因此，满足条件的平面展开图可能是。 2．一个长方体的底面是边长为2m的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】因为侧面展开是正方形，所以长方体的高等于长方体的底面周长。用底面边长乘4求出底面周长，也就是高，用底面周长乘高求出侧面积即可。 【详解】2×4＝8（m） 8×8＝64（） 所以，这个长方体的侧面积是64。 故答案为：D 3．如图，4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．900 C．360 D．3600 【答案】B 【分析】从前面看有3个正方形，从上面看有3个正方形，从右面看有3个正方形，正方形面积＝边长×边长，1个正方形面积×露在外面的个数＝露在外面的面积。 【详解】10×10×（3×3） ＝100×9 ＝900（平方厘米） 露在外面的面积是900平方厘米。 4．用一根长（    ）的铁丝正好可以做一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。 A．17厘米 B．68厘米 C．160厘米 D．184厘米 【答案】B 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（8＋5＋4）×4 ＝17×4 ＝68（厘米） 5．把一个长、宽、高分别是3m、2m、4m的长方体切成两个小长方体，两个小长方体表面积之和比原来长方体的表面积最多增加（    ）m2。 A．16 B．24 C．12 D．36 【答案】B 【分析】通过实际操作可知有三种切法分别增加两个长×宽的面、长×高的面、宽×高的面，要使表面积增加的最多，则增加的两个面是原长方体中最大的面。先分别计算三种情况下增加的表面积，再比较即可判断。 【详解】①4×3×2＝24（m2）； ②2×4×2＝16（m2）； ③3×2×2＝12（m2）； 24＞16＞12，即最多增加24m2。 故答案为：B 6．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 【答案】C 【分析】丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋20 ＝30＋20＋32＋20 ＝102（厘米） 至少需要102厘米长的丝带。 二、填空题 7．用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【答案】 648 576 【分析】用4个棱长6cm的小正方体可以拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是24cm、6cm、6cm，也可能是12cm、6cm、12cm，再根据长方体的表面积公式求解即可。 【详解】 （） （） 所以用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是648，也可能是576。 8．跳水是奥运会的竞赛项目之一，一个长方体形状的跳水池，其底面是边长为25米的正方形，池深5米。如果给这个跳水池贴瓷砖，需要给( )个面贴瓷砖、贴瓷砖的面积是( )平方米。 【答案】 5 1125 【分析】贴瓷砖的面包括底面和四个侧面，不包括顶面。底面是正方形即长方体的长和宽都是25米，池深5米，即长方体的高是5米，根据贴瓷砖面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【详解】需要贴跳水池的底面和四个侧面，共5个面。 （平方米） 9．一个长方体按照以下三种方法切成两个长方体，表面积分别增加了16、24、48，原来长方体的表面积是( )。 【答案】88 【分析】第一种切法增加的是宽高面的面积，且增加了2个；第二种切法增加的是长高面的面积，且增加了2个，第三种切法增加的是长宽面的面积，且增加了2个，根据“长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2”，直接将三种情况增加的表面积相加即可。 【详解】 原来长方体的表面积是88。 10．两块完全一样的长方体，长6dm、宽5dm、高4dm，把它们拼成一个大长方体后，大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少( )dm2，最少减少( )dm2。 【答案】 60 40 【分析】两个长方体拼接成一个长方体，会减少两个面：长6dm、宽5dm的两个面拼接，减少的面积最大，减少的面积＝长×宽×2；宽5dm、高4dm的两个面拼接，减少的面积最小，减少的面积＝宽×高×2。 【详解】6×5×2 ＝30×2 ＝60（dm2） 5×4×2 ＝20×2 ＝40（dm2） 11．白露是秋季的第三个节气，此时人们有饮白露茶的习俗。小敏在爸爸的帮助下炮制了一些白露茶，作为礼物送给外公。每包白露茶用棱长为8cm的正方体小盒子包装（如图），然后把它们放入右面的大礼品盒中。 (1)大礼品盒最多能放( )个正方体小盒子。 (2)小敏要用彩纸包装大礼品盒，她至少要用( )cm2的彩纸。 【答案】(1)2 (2)1300 【分析】（1）用大礼品盒的长、宽、高分别除以小正方体盒子的棱长，商就是大礼品盒的长边上、宽边上及高上最多可以容纳几个小正方体的个数，再把这3个数值相乘即可； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式得解。 【详解】（1）20÷8＝2（个）……4（cm） 15÷8＝1（个）……7（cm） 10÷8＝1（个）……2（cm） 2×1×1＝2（个） （2）（20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（cm2） 12．如图，7个棱长为1分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】12 【分析】根据图示，露在外面的上面有4个面，前面有4个面，右面有4个面，据此解答即可。 【详解】 （平方分米） 露在外面的面积是平方分米。 三、判断题 13．做一个棱长为1m的无盖正方体铁箱，至少需要铁皮6。( ) 【答案】× 【分析】无盖的正方体铁箱缺少一个面，因此只有5个面。每个面为边长1m的正方形，面积为1m²。总表面积为5个面的面积之和，即5×1m²＝5m²。题干中“至少需要铁皮6m²”与计算结果不符，故说法错误。 【详解】无盖正方体铁箱有5个面。 每个面的面积：1 × 1 ＝ 1（m2） 总需要铁皮面积：5 × 1 ＝ 5（m2） 则至少需要铁皮5m2，题干上是至少需要6m2，说法错误。 故答案为：× 14．一个棱长1分米的正方体，占地面积是1平方分米。( ) 【答案】√ 【分析】占地面积指的是正方体与地面接触的底面面积，底面是正方形，正方形面积＝边长×边长。 【详解】1×1＝1（平方分米），因此这个正方体的占地面积是1平方分米，原说法正确。 故答案为：√ 15．一个长方体的表面积是100cm2，把它锯成两个完全一样的正方体（如下图），每个正方体的表面积是60cm2。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知，这个长方体正好分割成两个完全一样的正方体，就是把这个正方体的表面积平均分成10个面，用100÷10＝10，求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积S＝一个面的面积×6，求出正方体的表面积。 【详解】100÷10＝10（cm2） 10×6＝60（cm2） 每个正方体的表面积是60cm2，原题说法正确。 故答案为：√ 16．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( ) 【答案】√ 【分析】正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律即可解答。 【详解】“1”和“4”面相对，“2”和“6”面相对，“3”和“5”面相对。 故答案为：√ 17．正方体和长方体的棱长之和相等，则它们的表面积一定相等。( ) 【答案】× 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长总和＝棱长×12。当棱长总和相等时，长方体的长、宽、高的和固定，但长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，取决于长、宽、高的具体值，而不仅仅是它们的和；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，仅取决于棱长。因此，表面积不一定相等。 【详解】假设正方体的棱长为2厘米。 12×2＝24（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 假设长方体的长为4厘米、宽为1厘米、高为1厘米。 （4＋1＋1）×4 ＝（5＋1）×4 ＝6×4 ＝24（厘米） （4×1＋4×1＋1×1）×2 ＝（4＋4＋1）×2 ＝（8＋1）×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 棱长总和相等（均为24厘米），但表面积不相等（24平方厘米≠18平方厘米）。因此，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 18．下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。 【答案】180 【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，高是（12－6）÷2＝3cm。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】（12－6）÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） （8×6＋8×3＋6×3）×2 ＝（48＋24＋18）×2 ＝180（） 19．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】1900cm2 【分析】该图形是一个长方体，长为，宽为，高为，代入长方体表面积公式计算即可。 【详解】 五、解答题 20．儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 【答案】576平方厘米 【分析】正方体饼干盒的上下面不贴，需要贴彩纸的面只有4个。计算正方体棱长×棱长×4即可计算得出答案。 【详解】一个饼干盒至少需要彩纸的面积为： 12×12×4 ＝144×4 ＝576（平方厘米） 答：一个饼干盒至少需要彩纸576平方厘米。 21．下图所示的是一个长方体形状的孔明灯示意图，它的底面是边长为30cm的正方形，高50cm。除了下底面外，其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？ 【答案】6900平方厘米 【分析】从题意分析可得，需在上面、前面、后面、左面、右面共5个面糊上安全阻燃棉纸。从图意可知，上面是边长30厘米的正方形，前面、后面、左面、右面是完全一样的长方形，即燃棉纸的面积等于长×高×4加上1个边长为30cm正方形的面积。据此解答。 【详解】      （平方厘米） 答：制作这个孔明灯至少需要6900平方厘米的安全阻燃棉纸。 22．一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 【答案】66.2千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的顶面和墙壁，即粉刷的是长方体的顶面和4个侧面，求出顶面和4个侧面的面积和，再减去门窗面积，求出需要粉刷的面积，再乘每平方米需要的涂料数量即可。 【详解】需要粉刷的面积：9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋27×2＋18×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝108＋36－11.6 ＝144－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×0.5＝66.2（千克） 答：粉刷这间教室共需涂料66.2千克。 23．一个长方形无盖的玻璃鱼缸，长4米，宽1.5米，高0.8米，做这样一个鱼缸，需要玻璃多少平方米？ 【答案】14.8平方米 【分析】求无盖长方体鱼缸的表面积，即左右2个面，前后2个面和1个底面的总面积：（长×高＋宽×高）×2＋长×宽＝所需玻璃面积。 【详解】（4×0.8＋1.5×0.8）×2＋4×1.5 ＝（3.2＋1.2）×2＋6 ＝4.4×2＋6 ＝8.8＋6 ＝14.8（平方米） 答：需要玻璃14.8平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：长方体（一） 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，欢迎开启探索立体图形的新旅程！长方体是我们生活中最常见的立体图形之一，从书包到教室，从楼房到纸箱，它的身影无处不在。通过本单元的学习，你将认识长方体的特征，掌握表面积与体积的计算方法，发展空间想象力和解决问题的能力。请准备好你的观察力和创造力，通过动手操作、认真思考，揭开长方体的奥秘，感受数学与生活的紧密联系！ 知识梳理 一、长方体的认识 1. 基本特征 （1）面：有6个面，相对的面完全相同（特殊情况：有两个相对面是正方形时，其余四个面完全相同的长方形）。 （2）棱：有12条棱，相对的棱长度相等。可分为三组，每组4条棱长度相等。 （3）顶点：有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 （4）长、宽、高：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高。 2. 棱长总和计算公式 二、长方体的表面积 1. 定义：长方体6个面的总面积。 2. 计算公式 （1）一般公式： （2）特殊情况（如正方体，即长=宽=高时）： 三、长方体的体积与容积 1. 体积 （1）定义：物体所占空间的大小。 （2）体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）。 （3）计算公式： 2. 容积 （1）定义：容器所能容纳物体的体积。 （2）容积单位：升（L）、毫升（mL），1 L = 1 dm³，1 mL = 1 cm³。 （3）容积与体积的关系：计算规则容器容积的方法与体积相同，但需从容器的内部测量长、宽、高。 3. 单位换算 1 m³ = 1000 dm³，1 dm³ = 1000 cm³，1 L = 1000 mL。 例题讲解 【典型例题1】 一个长方体的长是5 cm，宽是4 cm，高是3 cm，求它的棱长总和与表面积。 【答案】 棱长总和：48 cm；表面积：94 cm²。 【解析】 1.棱长总和： 2.表面积： 【分析】 易错点：计算表面积时易漏乘2，或混淆棱长总和与表面积的单位。 【跟踪练习】 一个正方体的棱长是6 dm，求它的棱长总和与表面积。 【典型例题2】 一个长方体玻璃容器，从里面量长8 dm，宽6 dm，高4 dm，求它的容积是多少升？ 【答案】 192 L。 【解析】 1.计算体积（即容积）： 2.单位换算： 【分析】 关键点：①容积需从内部测量；②体积单位与容积单位的换算。 【跟踪练习】 一个长方体水箱能装水500 L，已知水箱的底面积是100 dm²，求水箱的高。 【典型例题3】 用一根60 cm长的铁丝做一个长方体框架，长是7 cm，宽是5 cm，求它的高是多少厘米？ 【答案】 3 cm。 【解析】 1.设高为 h cm，根据棱长总和公式： 2.解方程： 【分析】 列方程解决问题时需明确等量关系（棱长总和），检验结果是否符合实际（如高是否合理）。 【跟踪练习】 一个无盖的长方体纸盒，长8 cm，宽5 cm，高3 cm，制作这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 培优练习 一、选择题 1．一个正方体盒子，六个面分别写着“预”“祝”“考”“试”“成”“功”6个字，若其中“预”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个长方体的底面是边长为2m的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的侧面积是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．64 3．如图，4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．900 C．360 D．3600 4．用一根长（    ）的铁丝正好可以做一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。 A．17厘米 B．68厘米 C．160厘米 D．184厘米 5．把一个长、宽、高分别是3m、2m、4m的长方体切成两个小长方体，两个小长方体表面积之和比原来长方体的表面积最多增加（    ）m2。 A．16 B．24 C．12 D．36 6．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 二、填空题 7．用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 8．跳水是奥运会的竞赛项目之一，一个长方体形状的跳水池，其底面是边长为25米的正方形，池深5米。如果给这个跳水池贴瓷砖，需要给( )个面贴瓷砖、贴瓷砖的面积是( )平方米。 9．一个长方体按照以下三种方法切成两个长方体，表面积分别增加了16、24、48，原来长方体的表面积是( )。 10．两块完全一样的长方体，长6dm、宽5dm、高4dm，把它们拼成一个大长方体后，大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少( )dm2，最少减少( )dm2。 11．白露是秋季的第三个节气，此时人们有饮白露茶的习俗。小敏在爸爸的帮助下炮制了一些白露茶，作为礼物送给外公。每包白露茶用棱长为8cm的正方体小盒子包装（如图），然后把它们放入右面的大礼品盒中。 (1)大礼品盒最多能放( )个正方体小盒子。 (2)小敏要用彩纸包装大礼品盒，她至少要用( )cm2的彩纸。 12．如图，7个棱长为1分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。 三、判断题 13．做一个棱长为1m的无盖正方体铁箱，至少需要铁皮6。( ) 14．一个棱长1分米的正方体，占地面积是1平方分米。( ) 15．一个长方体的表面积是100cm2，把它锯成两个完全一样的正方体（如下图），每个正方体的表面积是60cm2。( ) 16．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( ) 17．正方体和长方体的棱长之和相等，则它们的表面积一定相等。( ) 四、计算题 18．下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。 19．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 五、解答题 20．儿童节前夕，某校小学生自制饼干要送给幼儿园的小朋友。购买的正方体饼干盒棱长12厘米。如果围着饼干盒贴上一圈彩纸（上下面不贴），一个饼干盒至少需要彩纸多少平方厘米？ 21．下图所示的是一个长方体形状的孔明灯示意图，它的底面是边长为30cm的正方形，高50cm。除了下底面外，其他面都要糊上安全阻燃棉纸，制作这个孔明灯至少需要多少平方厘米的安全阻燃棉纸？ 22．一间教室长9米，宽6米，高3米，门窗面积为11.6平方米，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷教室的四周和顶面需要涂料多少千克？ 23．一个长方形无盖的玻璃鱼缸，长4米，宽1.5米，高0.8米，做这样一个鱼缸，需要玻璃多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $