单元培优讲义：分数除法（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

单元培优讲义：分数除法 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，分数除法是数学学习中的一项重要技能，它能帮助我们解决生活中的许多实际问题，如分物品、计算时间、分配资源等。通过本单元的学习，你将理解分数除法的意义，掌握分数除以整数和分数除以分数的计算方法，并学会用分数除法解决生活中的数学问题。请保持耐心和细心，多动手计算、多思考规律，相信你能在探索中发现分数除法的奥秘，感受数学的乐趣与实用性！ 知识梳理 一、分数除法的意义 分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 2，求另一个因数。 二、分数除法的计算方法 1. 分数除以整数 （1）计算方法：分数除以整数（0 除外），等于分数乘这个整数的倒数。 例如： （2）特殊情况：分子能被整数整除时，可先约分再计算。 例如： 2. 分数除以分数 （1）计算方法：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 例如： （2）步骤：① 将除号改为乘号；② 除数变倒数；③ 按分数乘法计算。 3. 整数除以分数 整数除以分数，等于整数乘分数的倒数。 例如： 三、分数除法的实际应用 1.求“单位 1”的问题：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 例如：已知一个数的 是 8，求这个数。列式： 2.按比分配问题：将总量按分数的比进行分配。 例如：将 24 块饼干按 3:5 分给甲、乙两人，甲分得的饼干数： （块） 例题讲解 【典型例题 1】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）将除法转化为乘法： （2）分子乘分子，分母乘分母： （3）约分： 【分析】 ：易错点在于将整数 5 转化为倒数时，易写成 ，需注意整数的倒数是分母为 1 的分数。 【跟踪练习】 计算： 【典型例题 2】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）转化：整数除以分数等于乘倒数， （2）计算： 【分析】 ：整数乘分数时，可将整数看作分母为 1 的分数，再按分数乘分数计算。 【跟踪练习】 计算： 【典型例题 3】 小明有 15 元，买了一本笔记本花了总钱数的 ，笔记本的价格是多少？ 【答案】 ： 元 【解析】 ： （1）列式：求 15 元的 ，用乘法计算， （2）计算： （元） 【分析】 ：分数乘法应用题需明确“求一个数的几分之几”用乘法，注意结果单位为元。 【跟踪练习】 一个蛋糕重 千克，平均分成 4 份，每份重多少千克？ 培优练习 一、选择题 1．笑笑将自己制作升旗装置的过程录制成短视频，发布到平台上，她第一天一共收获了45条评论，评论数是点赞数的，转发数是点赞数的，这条视频被转发了（    ）次。 A．27 B．36 C．48 D．75 2．森林公园里有一块草地，工人叔叔用3小时浇了，照这样的速度，浇完这块草地共需要（    ）小时。 A．7 B． C．9 D． 3．小华和小明在学校的一次为灾区小伙伴捐款活动中都捐了20元，小华捐了自己零花钱的，小明捐了自己零花钱的。谁的零花钱多？（    ） A．小明 B．小华 C．无法判断 D．一样多 4．已知A是一个大于0的数，下面的算式中得数最大的是（    ）。 A．A× B．A÷ C．A× D．A÷ 5．若与互为倒数，则（    ）。 A．1 B．4 C．100 D.无法确认 6．已知，a、b、c、d四个数均不为0，这四个数中最大的数是（    ）。 A．a B．b C．c D．d 二、填空题 7．“期颐、古稀、花甲”都是我国古代对年龄的称谓。张爷爷今年正是“花甲”之年，即60岁，“古稀”表示的年龄是“花甲”的，是“期颐”的。“期颐”表示( )岁。 8．石家庄市电视塔，位于河北省石家庄市裕华区（世纪公园内），塔总高度为280米，是石家庄开元金融中心大厦高度的，开元金融中心大厦的高度是( )米。 9．直播间购物已成为大家喜爱的购物方式之一，小丽妈妈在直播间给小丽买了一顶帽子和一双鞋，帽子的价钱比鞋便宜，则帽子的价钱是鞋子价钱的( )；已知帽子30元，则鞋子( )元。 10．爸爸给贝贝买了一副羽毛球拍和一桶羽毛球共花了220元，一桶羽毛球的价格是一副羽毛球拍的。一副羽毛球拍的价格是( )元。 11．比kg多kg是( )kg；m比( )m长；12个的和是( )；的是( )t。 12．恒大名都距市体育馆约4千米，小华骑自行车用11分钟的时间才能到达。小华的骑车速度用循环小数表示是( )千米/小时，它的小数点后第九位数字应是( )。 三、判断题 13．甲数的是6，乙数的是8，甲、乙两数相等。( ) 14．六年级有三个班，六（1）班有36人，六（2）班的人数是六（1）班的，又是六（3）班的，则六（3）班有40人。( ) 15．如果a与b互为倒数，那么。( ) 16．沸点是指液体沸腾时的温度。在标准大气压下，水的沸点是100℃，是某种煤油的沸点的，这种煤油的沸点约是玉米油沸点的。在标准大气压下，玉米油的沸点约是250℃。( ) 17．淘气在计算一个数除以时，看成了乘，结果得8，正确的结果应是50。( ) 四、计算题 18．直接写得数。                                                   19．解方程。                                                    20．看图列式计算。 五、解答题 21．某社区为提高居民环保意识，安装了一台智能垃圾分类箱，将垃圾分类投放就可获得积分并兑换奖品。兑换拖把需要多少个积分？ 抽纸 洗手液 拖把 需要360个积分 需要的积分是抽纸的 兑换洗手液所需要的积分是兑换拖把所需积分的 22．一桶油，用去后还剩60千克，这桶油有多少千克？（先画线段图分析数量关系，再解答） 23．某学校举行“珍爱和平·开创未来”的歌咏比赛。经过评选，获得一等奖的有15人，是参赛总人数的，获得二等奖的人数占参赛总人数的，获得二等奖的有多少人？ 24．果果鲜水果超市有苹果900千克，苹果质量的是梨质量的，这家水果超市有梨多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：分数除法 知识梳理+例题讲解+培优练习 学习寄语 亲爱的同学，分数除法是数学学习中的一项重要技能，它能帮助我们解决生活中的许多实际问题，如分物品、计算时间、分配资源等。通过本单元的学习，你将理解分数除法的意义，掌握分数除以整数和分数除以分数的计算方法，并学会用分数除法解决生活中的数学问题。请保持耐心和细心，多动手计算、多思考规律，相信你能在探索中发现分数除法的奥秘，感受数学的乐趣与实用性！ 知识梳理 一、分数除法的意义 分数除法的意义与整数除法相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 2，求另一个因数。 二、分数除法的计算方法 1. 分数除以整数 （1）计算方法：分数除以整数（0 除外），等于分数乘这个整数的倒数。 例如： （2）特殊情况：分子能被整数整除时，可先约分再计算。 例如： 2. 分数除以分数 （1）计算方法：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 例如： （2）步骤：① 将除号改为乘号；② 除数变倒数；③ 按分数乘法计算。 3. 整数除以分数 整数除以分数，等于整数乘分数的倒数。 例如： 三、分数除法的实际应用 1.求“单位 1”的问题：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 例如：已知一个数的 是 8，求这个数。列式： 2.按比分配问题：将总量按分数的比进行分配。 例如：将 24 块饼干按 3:5 分给甲、乙两人，甲分得的饼干数： （块） 例题讲解 【典型例题 1】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）将除法转化为乘法： （2）分子乘分子，分母乘分母： （3）约分： 【分析】 ：易错点在于将整数 5 转化为倒数时，易写成 ，需注意整数的倒数是分母为 1 的分数。 【跟踪练习】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）转化： （2）计算： 【分析】 ：分子 7 与整数 7 约分后得 1，分母 12 保持不变。 【典型例题 2】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）转化：整数除以分数等于乘倒数， （2）计算： 【分析】 ：整数乘分数时，可将整数看作分母为 1 的分数，再按分数乘分数计算。 【跟踪练习】 计算： 【答案】 ： 【解析】 ： （1）转化： （2）计算： 【分析】 ：整数乘分数时，可先约分再计算（如 6 和 2 约分为 3 和 1）。 【典型例题 3】 小明有 15 元，买了一本笔记本花了总钱数的 ，笔记本的价格是多少？ 【答案】 ： 元 【解析】 ： （1）列式：求 15 元的 ，用乘法计算， （2）计算： （元） 【分析】 ：分数乘法应用题需明确“求一个数的几分之几”用乘法，注意结果单位为元。 【跟踪练习】 一个蛋糕重 千克，平均分成 4 份，每份重多少千克？ 【答案】 ： 千克 【解析】 ： （1）列式： （2）转化： 【分析】 ：分数除以整数，分子除以整数，分母不变；结果约分。 培优练习 一、选择题 1．笑笑将自己制作升旗装置的过程录制成短视频，发布到平台上，她第一天一共收获了45条评论，评论数是点赞数的，转发数是点赞数的，这条视频被转发了（    ）次。 A．27 B．36 C．48 D．75 【答案】C 【分析】已知一共收获了45条评论，评论数是点赞数的，把点赞数看作单位“1”，单位“1”未知，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用评论数除以，求出点赞数。已知转发数是点赞数的，把点赞数看作单位“1”，单位“1”已知，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用点赞数乘，求出转发数。 【详解】45÷× ＝45×× ＝60× ＝48（次） 所以这条视频被转发了48次。 故答案为：C 2．森林公园里有一块草地，工人叔叔用3小时浇了，照这样的速度，浇完这块草地共需要（    ）小时。 A．7 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】把浇完这块草地的工作总量看作单位“1”，已知工人叔叔3小时浇了，根据“工作量÷工作时间＝工作效率”，求出工人叔叔每小时浇了这块地的几分之几；再根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”，求出浇完这块草地需要的总时间。 【详解】÷3 ＝× ＝ 1÷ ＝1×7 ＝7（小时） 浇完这块草地共需要7小时。 故答案为：A 3．小华和小明在学校的一次为灾区小伙伴捐款活动中都捐了20元，小华捐了自己零花钱的，小明捐了自己零花钱的。谁的零花钱多？（    ） A．小明 B．小华 C．无法判断 D．一样多 【答案】A 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决；用捐款的金额20元除以分率即可求出小华的零花钱的总金额，用捐款的金额20元除以分率即可求出小明的零花钱的总金额，由此即可比较。 【详解】（元） （元） 80元＜100元，则小明的零花钱更多。 故答案为：A 4．已知A是一个大于0的数，下面的算式中得数最大的是（    ）。 A．A× B．A÷ C．A× D．A÷ 【答案】D 【分析】根据分数除法的运算法则：一个数（0除外）除以一个分数等于乘这个分数的倒数，先将选项中的除法算式转化成乘法算式。再根据积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小。并比较各选项中因数的大小，根据一个数（0除外），乘的数越大，积越大，来判断。 【详解】A．因为＜1，所以A×＜A； B．A÷＝A×，因为＞1，所以A÷＞A； C．因为＜1，所以A×＜A； D．A÷＝A×2，因为2＞1，所以A÷＞A。 因为A、C选项的结果都小于A，所以排除A、C选项，比较B、D选项的因数。 因为＜2，所以A×＜A×2，即A÷＜A÷，所以A÷的得数最大。 故答案为：D 5．若与互为倒数，则（    ）。 A．1 B．4 C．100 D.无法确认 【答案】C 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，即；除以一个数相当于乘这个数的倒数，由此即可整理求解。 【详解】 即若与互为倒数，则。 6．已知，a、b、c、d四个数均不为0，这四个数中最大的数是（    ）。 A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】假设＝1，再根据“一个因数＝积÷另一个因数”分别求出a、b、c、d各自的值，最后把这四个数进行大小比较，从而判断出最大的数。 【详解】假设＝1。 a＝1÷＝1×＝＝1.5 b＝1÷＝1×4＝4 c＝1÷5＝＝0.2 d＝1÷＝1×＝＝1.25 0.2＜1.25＜1.5＜4 即c＜d＜a＜b 所以这四个数中最大的是b。 二、填空题 7．“期颐、古稀、花甲”都是我国古代对年龄的称谓。张爷爷今年正是“花甲”之年，即60岁，“古稀”表示的年龄是“花甲”的，是“期颐”的。“期颐”表示( )岁。 【答案】100 【分析】把“花甲”表示的年龄看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用“花甲”表示的年龄乘对应分率，求出“古稀”表示的年龄。再把“期颐”表示的年龄看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算”，用“古稀”表示的年龄除以对应分率，即可求出“期颐”表示的年龄。 【详解】60×÷ ＝70÷ ＝70× ＝100（岁） “期颐”表示100岁。 8．石家庄市电视塔，位于河北省石家庄市裕华区（世纪公园内），塔总高度为280米，是石家庄开元金融中心大厦高度的，开元金融中心大厦的高度是( )米。 【答案】245 【分析】把开元金融中心大厦的高度看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用电视塔高度除以，即可求出开元金融中心大厦的高度。 【详解】280÷ ＝280× ＝245（米） 9．直播间购物已成为大家喜爱的购物方式之一，小丽妈妈在直播间给小丽买了一顶帽子和一双鞋，帽子的价钱比鞋便宜，则帽子的价钱是鞋子价钱的( )；已知帽子30元，则鞋子( )元。 【答案】 150 【分析】把鞋子的价钱看作单位“1”，用1－，求出帽子的价钱是鞋子价钱的分率；把鞋子价钱看作单位“1”，已知帽子价钱和对应的帽子的价钱是鞋子价钱的分率，求单位“1”，用除法，用帽子价钱÷对应的分率解答。 【详解】帽子的价钱是鞋子价钱的1－＝。 鞋子价钱： 30÷ ＝30×5 ＝150（元） 10．爸爸给贝贝买了一副羽毛球拍和一桶羽毛球共花了220元，一桶羽毛球的价格是一副羽毛球拍的。一副羽毛球拍的价格是( )元。 【答案】160 【分析】把一副羽毛球拍的价格看作单位“1”，一桶羽毛球的价格是它的，那么总价220元就对应单位“1”的1＋＝，用220元除以，就能求出一副羽毛球拍的价格。 【详解】220÷（1＋） ＝220÷ ＝220× ＝160（元） 11．比kg多kg是( )kg；m比( )m长；12个的和是( )；的是( )t。 【答案】 【分析】第一题是分数加法，直接将两个分数相加；第二题是已知一个数比另一个数长几分之几，求单位“1”，用除法计算；第三题求几个相同分数的和用乘法；第四题求一个数的几分之几是多少用乘法。计算时先通分再计算，结果化为最简分数。 【详解】（1）＋＝＋＝（kg） （2）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝（m） （3）12×＝ （4）×＝（t） 12．恒大名都距市体育馆约4千米，小华骑自行车用11分钟的时间才能到达。小华的骑车速度用循环小数表示是( )千米/小时，它的小数点后第九位数字应是( )。 【答案】 8 【分析】1小时＝60分钟，把11分钟换算成小时。根据速度＝路程÷时间，用4除以算出小华的速度（用循环小数表示）。用9除以循环小数的循环节的位数，看余数确定数字。 【详解】4÷＝4×＝ 9÷2＝4（组）⋯⋯1（位） 它的小数点后第九位数字应是8。 三、判断题 13．甲数的是6，乙数的是8，甲、乙两数相等。( ) 【答案】√ 【分析】根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，求出甲数和乙数，再比较甲数和乙数的值，判断两者是否相等。 【详解】甲数： ＝14 乙数： ＝14 因为14＝14，所以甲数＝乙数，原题说法正确。 故答案为：√ 14．六年级有三个班，六（1）班有36人，六（2）班的人数是六（1）班的，又是六（3）班的，则六（3）班有40人。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，六（2）班人数是六（1）班人数的，把六（1）班人数看作单位“1”，用乘法计算，求出六（2）班人数。六（2）班人数又是六（3）班人数的，把六（3）班人数看作单位“1”，用除法计算，算出六（3）班人数。判断是否是40人。 【详解】六（2）班人数：（人） 六（3）班人数：（人） 故答案为：√ 15．如果a与b互为倒数，那么。( ) 【答案】√ 【分析】由倒数的意义可知，如果a与b互为倒数，那么a与b的积是1，然后把分数除法转化为分数乘法，再把a与b的积代入含有字母的式子求出结果，据此解答。 【详解】如果a与b互为倒数，那么。 ＝ ＝ ＝ 所以，如果a与b互为倒数，那么，题目说法正确。 故答案为：√ 16．沸点是指液体沸腾时的温度。在标准大气压下，水的沸点是100℃，是某种煤油的沸点的，这种煤油的沸点约是玉米油沸点的。在标准大气压下，玉米油的沸点约是250℃。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，水的沸点100℃是煤油沸点的，则煤油沸点为℃。煤油沸点150℃是玉米油沸点的，则玉米油沸点为℃，与题干结论一致。 【详解】（℃） （℃） 计算结果与题干中玉米油沸点250℃一致；原题说法正确。 故答案为：√ 17．淘气在计算一个数除以时，看成了乘，结果得8，正确的结果应是50。( ) 【答案】 √ 【分析】根据题意，淘气错误地将一个数乘 得到 8，所以用除以先求出这个数，再计算正确结果，验证题干中的结论是否正确。 【详解】这个数为： 正确的结果为：，原题干说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 18．直接写得数。                                                   【答案】18；15；；7 ；；；54 【解析】略 19．解方程。                                                    【答案】；；；x＝6 【分析】一组“形如ax＝b（a≠0）”的一元一次方程，解题核心是利用“等式的基本性质”，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，从而求出x的值。 【详解】  解：          解： ​   ​   解：              解：    ​      20．看图列式计算。 【答案】315km 【分析】由图可知：把整条线段的总长度看作单位“1”，它被平均分成5份，其中1份对应的分率是，这1份的实际长度是63km。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用1份的实际长度除以对应分率，求出总长度。据此解答。 【详解】63÷ ＝63×5 ＝315（km） 所以总长度是315km。 五、解答题 21．某社区为提高居民环保意识，安装了一台智能垃圾分类箱，将垃圾分类投放就可获得积分并兑换奖品。兑换拖把需要多少个积分？ 抽纸 洗手液 拖把 需要360个积分 需要的积分是抽纸的 兑换洗手液所需要的积分是兑换拖把所需积分的 【答案】560个积分 【分析】将兑换抽纸的积分为单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决”，用360乘分率即可求出兑换洗手液所需要的积分； 将兑换洗手液的积分为单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决”，用兑换洗手液所需要的积分除以分率即可求解。 【详解】 ＝560（个） 答：兑换拖把需要560个积分。 22．一桶油，用去后还剩60千克，这桶油有多少千克？（先画线段图分析数量关系，再解答） 【答案】画图见详解；100千克 【分析】先画一条代表这桶油总质量的线段，将其平均分成5等份，把前2份标注为“用去”，剩下的3份标注为“还剩60千克”，线段下方标注“？千克”表示总质量。 把这桶油原来的质量看作单位“1”，用去，还剩下（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算”，用还剩下的质量除以它所对应的分率，即可求出这桶油原来的质量。 【详解】 这桶油原来千克数＝剩下的千克数÷（1－用去的分率） 60÷（1－） ＝60÷ ＝60× ＝100（千克） 答：这桶油有100千克。 23．某学校举行“珍爱和平·开创未来”的歌咏比赛。经过评选，获得一等奖的有15人，是参赛总人数的，获得二等奖的人数占参赛总人数的，获得二等奖的有多少人？ 【答案】10人 【分析】先根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，求出参赛总人数；再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，求出获得二等奖的人数。 【详解】15÷ ＝15×5 ＝75（人） 75×＝10（人） 答：获得二等奖的有10人。 24．果果鲜水果超市有苹果900千克，苹果质量的是梨质量的，这家水果超市有梨多少千克？ 【答案】504千克 【分析】先根据求一个数的几分之几是多少用乘法，求出苹果质量的是多少；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，求出梨的质量。 【详解】900×＝360（千克） 360÷ ＝360× ＝504（千克） 答：这家水果超市有梨504千克。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $