期中真题百练通关30大易错题型（期中复习专项训练）高一数学下学期人教A版

专题01 期中真题百练通关（易错） 题型1平面向量的概念 题型16共轭复数 题型2平面向量的相等与共线 题型17复数的代数表示法及其几何意义 题型3平面向量数量积的性质及其运算 题型18复数的模 题型4平面向量的投影向量 题型19复数的运算 题型5平面向量的基底 题型20空间几何体的结构特征 题型6用平面向量的基底表示平面向量 题型21空间几何体的侧面积和表面积 题型7平面向量的基本定理的应用 题型22空间几何体的的体积 题型8平面向量的坐标运算 题型23球的体积和表面积 题型9正弦定理及其应用 题型24平面图形的直观图 题型10正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型25异面直线及其所成的角 题型11余弦定理及其应用 题型26空间中直线与直线之间的位置关系 题型12三角形中的几何计算 题型27空间中直线与平面之间的位置关系 题型13解三角形的实际应用 题型28直线与平面平行 题型14虚数单位i及其性质 题型29直线与平面垂直 题型15纯虚数 题型30直线与平面所成的角 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量的概念 1．（多选）（2025春•爱民区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．任意单位向量的模都相等． B．若，是平面内的两个不同的点，则 C．若向量，，则 D．零向量与任意向量平行 2．（多选）（2025春•沭阳县校级期中）下列说法正确的是　　 A．若都是单位向量，则 B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 题型2 平面向量的相等与共线 3．（2025秋•临清市期中）已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 　　． 4．（2025春•兰坪县校级期中）已知，，且，则　　． 5．（2025春•梁溪区校级期中）已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为　　． 6．（多选）（2025春•吉林校级期中）下列说法正确的是　　 A．若非零向量，满足，，则 B． C．若，为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 题型3 平面向量数量积的性质及其运算 7．（2025春•佛山期中）在边长为1的正三角形中，（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•化州市期中）△三边长分别为，，，则的值为（　　） A． B．19 C．14 D． 9．（2025春•蒲城县校级期中）如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，，求． 10．（2025春•泉州期中）已知△的外接圆圆心为，且，，点是线段上一动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 11． （2025春•孝义市期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是　　 A． B．1 C． D．3 11．（2025春•宜春校级期中）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　 ． 12．（2025秋•长宁区校级期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是 ． 13．（2025秋•大余县期中）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 　　．若在线段上有一个动点，则的最小值为 　　． 14．（2025秋•山东校级期中）已知平面向量，，满足，，则的最大值是　　． 15．（2025秋•大连校级期中）已知在△中，，，若的最小值是，则对于△内的任意一点，的最小值是　　 ． 16．（2025春•慈利县校级期中）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•泉州期中）已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•上海校级期中）若，则　　． 19．（2025春•海安市期中）已知平面向量，的夹角为为常数），，，的最小值为3，则（　　） A． B．或 C． D．或 20．（多选）（2025秋•保定期中）在△中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与，交于点，，设，，，其中，，，则下列结论正确的是　　 A．若，，则 B．若，则△是等边三角形 C．若，，则 D．若，则的最小值为 21．（多选）（2025春•泸州校级期中）是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是　　 A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 22．（多选）（2025春•益阳期中）下列关于平面向量的说法中正确的是　　 A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为△的重心，则 23．（2025春•邵阳校级期中）已知向量，． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 24．（2025春•莎车县期中）已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当为何值时，？ 25．（2025春•贵州期中）已知，，，，，． （1）若，，且，求的值； （2）若函数，求的最小值； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型4 平面向量的投影向量 26．（2025秋•天津校级期中）设，，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 27．（2025春•台州期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 28．（多选）（2025秋•菏泽期中）如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，则　　 A．与不能构成一组基底 B． C．在上的投影向量的模为 D． 29．（2025春•金牛区校级期中）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为 　　．（用坐标作答） 题型5 平面向量的基底 30．（2025春•临渭区校级期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 题型6 用平面向量的基底表示平面向量 31．（2025春•越秀区校级期中）如图，在△中，，点是的中点．设，，则（　　） A． B． C． D． 32．（2025春•嘉峪关校级期中）如图所示的四边形中，设，则用表示　　． 33．（2025春•上海校级期中）在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则　　． 题型7 平面向量的基本定理的应用 34．（2025春•越秀区校级期中）如图，正方形中，是的中点，若，则　　 A． B． C． D．1 35．（2025春•银川期中）如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是　　 A． B．1 C． D． 36．（2025春•昌江区校级期中）点在△的内部，且满足：，则△的面积与△的面积之比是（　　） A． B．3 C． D．2 37．（2025春•天津校级期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，动点在边上，且满足，均为正实数），则的最小值为　　 A．5 B． C． D． 38．（2025春•台江区期中）已知在△内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 39．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　． A． B． C．3 D．9 40．（2025春•沙县区校级期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与、两边交于、两点、与、不重合），设，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 41．（2025春•青岛校级期中）在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点．且，则（　　） A． B． C． D． 42．（2025春•临川区校级期中）如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 　　． 题型8 平面向量的坐标运算 43．（2025春•江阴市期中）已知点，，向量，则向量（　　） A． B． C． D． 44．（2025春•金牛区校级期中）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（　　） A． B． C． D． 45．（多选）（2025秋•滨海县校级期中）已知向量，，则　　 A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 46．（2025春•沭阳县校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 47．（2025春•顺德区校级期中）已知，，． （1）若，求实数、的值； （2）若，求的最小值． 48．（2025春•松滋市校级期中）设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：，，三点共线； （2）若以，且，求实数的值． 49．（2025秋•集宁区校级期中）已知平面向量，，若，则 ． 50．（2025秋•巴楚县期中）已知，5，，，3，． （1）若，求； （2）若，求． 题型9 正弦定理及其应用 51．（2025秋•江津区校级期中）已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 52．（2025春•北京校级期中）在△中，若，，，则为（　　） A． B．或 C． D．或 53．（2025春•虹口区校级期中）在△中，是△为等腰三角形的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（2025春•镇海区校级期中）在△中，是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 55．（2025春•毕节市校级期中）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 56．（2025春•鄞州区校级期中）在锐角△中，，，的对边分别是，，，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 57．（2025春•南关区校级期中）在中，，，分别为角，，所对的边，且，． （Ⅰ）若，求的面积； （Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围． 题型10 正弦定理与三角形解的存在性和个数 58．（2025春•海勃湾区校级期中）在△中，，，，若此三角形有两解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 59．（2025春•吉林校级期中）在△中，，，满足此条件的△有两解，则边长度的取值范围为（　　） A．， B． C． D．， 题型11 余弦定理及其应用 60．（2025春•华池县校级期中）在中，，，所对的边分别是，，，已知，则　　． 61．（2025春•乌兰察布校级期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则（　　） A． B． C． D． 62．（2025秋•奎屯市校级期中）在中，，，分别是角，，的对边，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，且为锐角三角形，求的取值范围． 题型12 三角形中的几何计算 63．（2025春•滨湖区校级期中）△中，，是边上一点，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 64．（2025春•景谷县校级期中）若为的重心，，则的最小值为 　　． 65．（2025春•黄浦区校级期中）如图所示，平面四边形为某金鱼池区域，为观光区域，准备在、、三条边上修建观地训路，已知，米，米． （1）求四边形的面积（精确到0.1平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）． 题型13 解三角形的实际应用 66．（2025春•敦煌市校级期中）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（　　） A． B． C． D． 67．（2025春•辛集市校级期中）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： ，其中，，，分别为△的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在△中，，且△的面积为，则边上的中线长度为（　　） A． B．4 C． D． 68．（2025春•霞山区校级期中）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站，发现其北偏东，与观测站距离海里的处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站东偏北的处，且．已知，两处的距离为10海里，则该货船的船速为　　 A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 69．（2025春•菏泽期中）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 70．（2025春•江苏校级期中）如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达，现在岸边取相距的，两点，测得，，，，，，在同一平面内），则两目标，间的距离为　　． A． B． C． D． 71．（2025春•让胡路区校级期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为 　　． 72．（2025春•漳县校级期中）如图所示，位于处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．甲船立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则　　． 73．（2025春•芜湖期中）如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点，分别在边，上 （1）当点，分别是边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由． 74．（2025春•宝山区校级期中）吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，．（本题的距离精确到 （1）该小组测得、的一组值为，，请据此计算的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 75．（2025春•锡山区校级期中）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否准确？ （2）如图（2），小组在处测得完美大厦整栋主楼在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）． 76．（2025春•吉首市校级期中）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距10海里． （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由． 题型14 虚数单位i及其性质 77．（2024春•河北区期中）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（　　） A． B． C． D． 78．（2024春•雁塔区校级期中）设为虚数单位，则　　． 题型15 纯虚数 79．（2025春•滨海新区校级期中）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则实数　6　 ． 80．（2024秋•和平区校级期中）是虚数单位，若复数为纯虚数，则　　． 题型16 共轭复数 81．（2025春•怀宁县校级期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 82．（2025春•英吉沙县期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 83．（2024春•天山区校级期中）复数的共轭复数为（　　） A． B． C． D． 84．（2024秋•东城区校级期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 85．（2025秋•普陀区校级期中）已知复数的共轭复数为，则　　 ． 86．（2024春•高州市校级期中）设复数满足关系：，那么等于（　　） A． B． C． D． 题型17 复数的代数表示法及其几何意义 87．（2025春•云岩区校级期中）已知复数在复平面内所对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 88．（2025春•吉首市校级期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 89．（2025春•邵阳校级期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为　　． 90．（2024秋•宝山区校级期中）在复平面内，复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型18 复数的模 91．（2024秋•宁德期中）已知复数满足，则　　． 题型19 复数的运算 92．（2025春•东城区校级期中）复数（　　） A． B． C． D． 93．（2025春•惠城区校级期中）复数化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 94．（2025春•四川期中）已知复数，则（　　） A． B． C． D． 95．（2025秋•天津校级期中）是虚数单位，复数　　． 96．（2025春•北京期中）已知复数满足，则等于（　　） A． B． C． D． 97．（2025秋•天津校级期中）已知，其中是虚数单位，那么实数 ． 98．（2024春•丰台区期中）复数　　． 99．（2024春•荔湾区校级期中）设复数，其中，，，，，0，1，2，3，，满足的不同复数有　　个． A．21 B．28 C．37 D．41 100．（2024春•邯郸期中）已知为复数，则“的实部大于0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 101．（多选）（2025春•英吉沙县期中），是复数，下列说法正确的是　　 A．若，则是纯虚数 B．若，则 C．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D．若，则 102．（多选）（2025春•株洲校级期中）下列说法正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 103．（多选）（2024春•渝中区校级期中）已知复数，，下列命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 104．（多选）（2024春•广州期中）下列说法中正确的是　　 A．若复数．则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程，为实数）在复数集内的一个根，实数的值为26 D．若复数满足若，且，则的最小值为4 105．（多选）（2024春•聊城期中）已知，为方程的两个不相等的复数根，则　　 A． B．时，较大的根为 C．时， D． 106．（多选）（2024春•河东区期中）下列说法正确的是　　 A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．若是关于的方程的根，则也是该方程的根 D．复数满足，则的最大值为 107．（多选）（2024春•两江新区校级期中）已知复数，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C． D． 108．（多选）（2024春•沙坪坝区校级期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是　　 A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限 B．若复数满足，则 C． D． 109．（多选）（2024春•蜀山区校级期中）设，是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 110．（多选）（2024春•罗湖区校级期中）若，是复数，则下列命题正确的是　　 A． B． C． D． 111．（多选）（2024春•重庆期中）设复数，其中为虚数单位，则下列正确的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．方程在复数集中有6个解 题型20 空间几何体的结构特征 112．（2025春•福建期中）下面关于空间几何体叙述不正确的是（　　） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 113．（多选）（2025春•安徽期中）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 114．（2025秋•闵行区校级期中）如图，正四棱柱的底面边长为1，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 115．（2025春•红塔区校级期中）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 116．（2025春•浙江期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，是上一动点．则的最小值为 　　． 117．（2025秋•黄浦区校级期中）在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于　　． 题型21 空间几何体的侧面积和表面积 118．（2025秋•浦东新区校级期中）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 　　． 119．（2025春•农安县期中）圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 题型22 空间几何体的的体积 120．（2025春•和平区校级期中）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（　　） A． B． C． D． 121．（多选）（2025春•仓山区校级期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是　　 A．弧长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 122．（2025春•定海区校级期中）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形．现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且，分别为棱，的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 　　． 123．（2025春•崆峒区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 124．（2025春•惠东县期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图．某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图，该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）．已知圆锥的高为，母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，为圆锥的底面直径．圆柱的高为，为圆柱下底面的直径，且． （1）求圆锥的侧面积； （2）求几何体的体积． 125．（2025春•无锡校级期中）如图：在正方体中，边长，为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 126．（2025春•广州校级期中）一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心． （1）过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； （2）求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； （3）在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由． 127．（多选）（2025春•龙岗区校级期中）如图，正方体棱长为1，是上的一个动点，下列结论中正确的是　　 A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 128．（2025秋•普陀区校级期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若，，分别为棱，，的中点，求四面体的体积； （3）若，分别是线段，上的动点，求的最小值． 129．（2025秋•德庆县校级期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓的用料面积为　　 A． B． C． D． 130．（2025春•常德校级期中）已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为，则该圆台的高为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 由圆台的体积公式可得，， 解得：． 故选：． 131．（多选）（2025春•潮州校级期中）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是　　 A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D．圆锥的体积与球的体积之比为 132．（2025春•台江区期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 133．（2025春•金安区校级期中）如图，四边形中，，，，，， （1）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； （2）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 134．（2025春•香坊区校级期中）圆柱的侧面展开图是边长分别为，的矩形，则圆柱的体积为　　． 135．（2025春•泉州校级期中）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若△的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 136．（2025春•碑林区校级期中）如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为． （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积． 题型23 球的体积和表面积 137．（2025春•上海校级期中）棱长为2的正方体外接球的表面积是 　　 ． 138．（2025秋•黄浦区校级期中）已知一个球的半径为3，则这个球的体积为 ． 139．（2025春•拱墅区校级期中）已知在四面体中，，平面平面，则四面体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 140．（2025春•浙江校级期中）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（　　） A． B． C． D．、的大小关系不定 141．（2025秋•南安市校级期中）已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 142．（2025春•厦门校级期中）已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 题型24 平面图形的直观图 143．（2025春•滨海新区校级期中）已知水平放置的△的平面直观图△是边长为1的正三角形，那么△的面积为（　　） A． B． C． D． 144．（2025春•朝阳区校级期中）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是　　 A． B． C． D． 145．（2025春•天津校级期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 146．（2025春•城中区校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，则的面积是　　 A．6 B． C．12 D． 147．（多选）（2025春•山西校级期中）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则　　 A． B． C． D． 148．（2025春•天津校级期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为　　 A．12 B．6 C． D． 149．（2025秋•普陀区校级期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 　　． 题型25 异面直线及其所成的角 150．（2025秋•郫都区期中）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，则线段的长为（　　） A．20或12 B．12或 C．或 D．或20 151．（2025春•市中区校级期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 　　． 题型26 空间中直线与直线之间的位置关系 152．（2025秋•浦东新区校级期中）若空间两条直线，没有公共点，则其位置关系是　　 ． 题型27 空间中直线与平面之间的位置关系 153．（2025春•城中区校级期中）已知，表示直线，，，表示平面，下列推理正确的是（　　） A．， B．，且 C．，，， D．，， 题型28 直线与平面平行 154．（多选）（2025春•广西期中）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是　　 A． B． C． D． 题型29 直线与平面垂直 155．（2025春•东西湖区校级期中）如图，在四边形中，△是等边三角形，△是以为斜边的等腰直角三角形，将△沿对角线翻折到△，在翻折的过程中． （1）求证：； （2）若，求证：平面． 156．（2025春•东安区校级期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点． （1）求证：平面； （2）求证：． 157．（2025春•新吴区校级期中）如图，在三棱锥中，底面，平面平面． （1）求证：； （2）若，，是的中点，，分别在线段，上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 158．（2025春•宁江区期中）如图，三棱锥中，△是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 题型30 直线与平面所成的角 159．（2025春•尖山区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 160．（2025春•天津校级期中）如图，在正方体中，是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 161．（2025春•淄博校级期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． $专题01 期中真题百练通关（易错） 题型1平面向量的概念 题型16共轭复数 题型2平面向量的相等与共线 题型17复数的代数表示法及其几何意义 题型3平面向量数量积的性质及其运算 题型18复数的模 题型4平面向量的投影向量 题型19复数的运算 题型5平面向量的基底 题型20空间几何体的结构特征 题型6用平面向量的基底表示平面向量 题型21空间几何体的侧面积和表面积 题型7平面向量的基本定理的应用 题型22空间几何体的的体积 题型8平面向量的坐标运算 题型23球的体积和表面积 题型9正弦定理及其应用 题型24平面图形的直观图 题型10正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型25异面直线及其所成的角 题型11余弦定理及其应用 题型26空间中直线与直线之间的位置关系 题型12三角形中的几何计算 题型27空间中直线与平面之间的位置关系 题型13解三角形的实际应用 题型28直线与平面平行 题型14虚数单位i及其性质 题型29直线与平面垂直 题型15纯虚数 题型30直线与平面所成的角 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平面向量的概念 1．（多选）（2025春•爱民区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．任意单位向量的模都相等． B．若，是平面内的两个不同的点，则 C．若向量，，则 D．零向量与任意向量平行 【解答】解：单位向量的模为1，对； 与是相反向量，错； 若，则与不一定共线，错； 教材中规定“与任意向量平行”， 对． 故选：． 2．（多选）（2025春•沭阳县校级期中）下列说法正确的是　　 A．若都是单位向量，则 B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 【解答】解：若都是单位向量，只是模长相等，方向不确定，说法错误； 在四边形中，若，则与平行且相等，四边形是平行四边形，说法正确； 向量的模长能比较大小，但向量本身不能比较大小，说法错误； 若是平面内的一组基底，则不共线， 假设和共线，即存在实数，使得， 即，此时无解， 所以和不共线，和也能作为一组基底，说法正确． 故正确的只有选项． 故选：． 题型2 平面向量的相等与共线 3．（2025秋•临清市期中）已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 　　． 【解答】解：设， 因为不共线，故，， 联立解得（舍，或， 易知时符合题意． 故答案为：． 4．（2025春•兰坪县校级期中）已知，，且，则　　． 【解答】解：，， ， 解得 故答案为：． 5．（2025春•梁溪区校级期中）已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为　　． 【解答】解：设则 在平行四边形中 又 解得 故答案为： 6．（多选）（2025春•吉林校级期中）下列说法正确的是　　 A．若非零向量，满足，，则 B． C．若，为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 【解答】解：对于，非零向量，满足，，则成立，对； 对于，，错； 对于，，为单位向量，设其夹角为，则， ，所以成立，故对； 对于，向量，可得，不能作为平面内的基底，故错误． 故选：． 题型3 平面向量数量积的性质及其运算 7．（2025春•佛山期中）在边长为1的正三角形中，（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 故选：． 8．（2025春•化州市期中）△三边长分别为，，，则的值为（　　） A． B．19 C．14 D． 【解答】解：由于，，， 则， 则 ． 故选：． 9．（2025春•蒲城县校级期中）如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，，求． 【解答】解：（1）因为在菱形中，． 故， 故，所以． （2）显然， 所以 ①， 因为菱形，且，，故，． 所以． 故①式． 故． 10．（2025春•泉州期中）已知△的外接圆圆心为，且，，点是线段上一动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，，所以是边上的中线， 因为是△外接圆的圆心，所以是圆的直径，； 又因为，所以△是等边三角形，， 所以，； 以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，， 因为是线段上的点，设，，， 所以，，； 所以； 时，取得最小值为， 所以的最小值是． 故选：． 11． （2025春•孝义市期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是　　 A． B．1 C． D．3 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，， 故，， 则 ， 故当，即时， 有最小值， 故选：． 11．（2025春•宜春校级期中）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　 ． 【解答】解：因为，，，． 故如图，建立如图所示的坐标系．则，连接，易证△， ，．，．． 设，． ，． ． 故当时，的最小值． 故答案为：． 12．（2025秋•长宁区校级期中）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是 ． 【解答】解：画出图形，如图所示； ，， 它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积； 当点在处时，取得最大值，， 所以，，即最大值为6； 点在处时取得最小值， 所以，，即最小值为； 由是边长为2的正六边形内的一点， 所以的取值范围是． 故答案为：． 13．（2025秋•大余县期中）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 　　．若在线段上有一个动点，则的最小值为 　　． 【解答】解：由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ，显然，当为的中点时，， 所以． 故答案为：6；． 14．（2025秋•山东校级期中）已知平面向量，，满足，，则的最大值是　　． 【解答】解：设的夹角为，则， ，即． 在平面直角坐标系中，设， ， ，即的轨迹为以为直径的圆． 的轨迹方程为． 设，则． 当取得最大值时，取得最大值5． 故答案为：5． 15．（2025秋•大连校级期中）已知在△中，，，若的最小值是，则对于△内的任意一点，的最小值是　　 ． 【解答】解：如图： 由已知得， ， 的最小值为， 的最小值为到的距离， 到的距离为， 取的中点，连接， ， ，， ， ， 取中点，则， 则， 是△内的任意一点， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 16．（2025春•慈利县校级期中）若，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，，则， 所以与的夹角的余弦值为，所以与的夹角为； 故选：． 17．（2025秋•泉州期中）已知，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，， ， ， ， 故选：． 18．（2025春•上海校级期中）若，则　　． 【解答】解：若， 则是边长为2的正三角形，如图所示； 所以 ， 所以． 故答案为：． 19．（2025春•海安市期中）已知平面向量，的夹角为为常数），，，的最小值为3，则（　　） A． B．或 C． D．或 【解答】解：设，则，因为，的夹角为，， 所以， 又因为，的最小值为3， 所以关于的二次函数的最小值为， 解得，所以； 当时，；当时，； 综上，的值为或． 故选：． 20．（多选）（2025秋•保定期中）在△中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与，交于点，，设，，，其中，，，则下列结论正确的是　　 A．若，，则 B．若，则△是等边三角形 C．若，，则 D．若，则的最小值为 【解答】解：如图所示： 对于，由已知得：， 结合，得：， 则，所以，正确； 对于，由得： ，所以，同理可得，所以为△的垂心， 结合为边的重点，可知△为等腰三角形，错误； 对于，，，所以， 又，，三点共线，则，， 所以， 即，解得，错误； 对于，， 又，，三点共线，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故正确． 故选：． 21．（多选）（2025春•泸州校级期中）是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是　　 A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【解答】解：选项中，以，为邻边作平行四边形，，交于点，是的中点， 因为是的重心，所以，，三点共线，且， 所以，， 所以，选项正确； 选项中，在上的投影向量为，选项错误； 选项中，因为，所以， 所以， 因为点是的重心，所以，选项正确； 选项中，取的中点，连结，，取中点， 则，， 则， 则， ， 当，重合时，，取最小值，选项正确． 故选：． 22．（多选）（2025春•益阳期中）下列关于平面向量的说法中正确的是　　 A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B．设，，为非零向量，则 C．设，为非零向量，若，则 D．若点为△的重心，则 【解答】解：对于，若，则，所以， 所以与同向或与夹角为锐角，选项错误； 对于，，，为非零向量，则是与共线的向量， 是与共线的向量，而与不一定共线， 所以不成立，选项错误； 对于，，所以， 所以，则，选项正确； 对于，因为是△的重心，所以点，，分别为，，的中点，且，，， 所以，选项正确． 故选：． 23．（2025春•邵阳校级期中）已知向量，． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 【解答】解：（1）因为向量，，所以， 计算， 又，，所以向量与夹角为； （2）向量，， 向量，则， 解得； （3）向量满足， 即，，， 所以，解得， 所以， 所以． 24．（2025春•莎车县期中）已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当为何值时，？ 【解答】解：由已知，． （1） ． （2）若，则， ． ， ． 25．（2025春•贵州期中）已知，，，，，． （1）若，，且，求的值； （2）若函数，求的最小值； （3）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）若，，且， 则， 则， 即， 则， 则； （2）若函数， 则，，， 则当时，函数取得最大值，此时最小值为． （3）若存在实数，使得， 则， 即，，， 即 即 即， ， ， 则， 即 即存在，此时出的取值范围是，． 题型4 平面向量的投影向量 26．（2025秋•天津校级期中）设，，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 所以在方向上的投影向量为： ． 故选：． 27．（2025春•台州期中）已知，，，则向量在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以向量在方向上的投影向量为 ，． 故选：． 28．（多选）（2025秋•菏泽期中）如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，则　　 A．与不能构成一组基底 B． C．在上的投影向量的模为 D． 【解答】解：由正八边形的性质可知，，所以是共线向量，因此不能构成基底，正确； 由正八边形的性质可知，， 向量是： 以与为邻边的平行四边形的为起点的对角线对应向量， 结合，，所以， 显然与与所夹对角线对应向量共线且同向， 所以，正确； 由正八边形性质可知，，设与延长线交于， 则在上的投影向量为，易知△是等腰直角三角形， 所以，故错误； 取的中点，则， 所以， 故正确． 故选：． 29．（2025春•金牛区校级期中）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为 　　．（用坐标作答） 【解答】解：因为，，， 所以，， 所以，，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故答案为：． 题型5 平面向量的基底 30．（2025春•临渭区校级期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：对于，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底， 同理可知，，选项中的两个向量都可构成基底； 对于，，所以这两个向量不构成基底． 故选：． 题型6 用平面向量的基底表示平面向量 31．（2025春•越秀区校级期中）如图，在△中，，点是的中点．设，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，，且是的中点， 所以 ． 故选：． 32．（2025春•嘉峪关校级期中）如图所示的四边形中，设，则用表示　　． 【解答】解：； 故答案为：． 33．（2025春•上海校级期中）在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则　　． 【解答】解：在中，， ， 故答案为： 题型7 平面向量的基本定理的应用 34．（2025春•越秀区校级期中）如图，正方形中，是的中点，若，则　　 A． B． C． D．1 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则，，，； 又的中点， 则，，； 若， 则，，，，， ． 故选：． 35．（2025春•银川期中）如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是　　 A． B．1 C． D． 【解答】解：，，所以， ，因为，，三点共线， ， ， 故选：． 36．（2025春•昌江区校级期中）点在△的内部，且满足：，则△的面积与△的面积之比是（　　） A． B．3 C． D．2 【解答】解：如图：设，分别是，的五等分点， 且，，则， 取为的五等分点，且，又因为， 根据向量加法的平行四边形法则可知，，且是的五分之二分点， ，，三点共线，且， 所以△与△同底，且△的高是△高的， 所以△的面积与△的面积之比是． 故选：． 37．（2025春•天津校级期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，动点在边上，且满足，均为正实数），则的最小值为　　 A．5 B． C． D． 【解答】解：因为直角梯形中，，，，， 得． 故 ． 由，，三点共线得，． 所以 （当且仅当，，即时取等号）． 故的最小值为． 故选：． 38．（2025春•台江区期中）已知在△内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：由在△内有一点，满足，得知为三角形的重心， 且， ， ， 因为，，共线，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立； 故的最小值为． 故选：． 39．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　． A． B． C．3 D．9 【解答】解：因为是线段的中点，所以， 又因为，所以， 又，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，化为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 40．（2025春•沙县区校级期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与、两边交于、两点、与、不重合），设，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：是的重心， ，， 、、三点共线， ， 即， 故 ， （当且仅当时，等号成立）， 故选：． 41．（2025春•青岛校级期中）在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点．且，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：解法一，， 由分为， 所以， 所以，，． 如图所示， 解法二，平行四边形中，，是边中点， 所以 ， 又， 所以，， ． 故选：． 42．（2025春•临川区校级期中）如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为 　　． 【解答】解：因为满足，故①， 由，得，代入①式得：， 又因为、、三点共线，则， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：． 题型8 平面向量的坐标运算 43．（2025春•江阴市期中）已知点，，向量，则向量（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知点，，得到，向量， 则向量； 故选：． 44．（2025春•金牛区校级期中）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，，，， 设，，，， 则由， ， 在基底下的坐标为． 故选：． 45．（多选）（2025秋•滨海县校级期中）已知向量，，则　　 A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【解答】解：对于，解得，故错； 对于，故，故，故正确； 对于得，故，故正确； 对于得，故，故错． 故选：． 46．（2025春•沭阳县校级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 【解答】解：（1）因为，，所以， 所以，， 所以，解得； （2）因为，， 由，得， 解得，所以的坐标为． 47．（2025春•顺德区校级期中）已知，，． （1）若，求实数、的值； （2）若，求的最小值． 【解答】解：（1）由，，； 且， ，，， 解得，； （2）设，则， 又， 由知， ， 即， ， 即的最小值为． 48．（2025春•松滋市校级期中）设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：，，三点共线； （2）若以，且，求实数的值． 【解答】解：（1）证明：由， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点， 所以，，三点共线； （2）由，且， 所以， 即， 所以， 解得， 所以实数的值为12． 49．（2025秋•集宁区校级期中）已知平面向量，，若，则 ． 【解答】解：因为，， 所以，又， 所以，解得， 所以， 则． 故答案为：． 50．（2025秋•巴楚县期中）已知，5，，，3，． （1）若，求； （2）若，求． 【解答】解：因为，5，，，3，． （1），，，，，， 由，得到，解得； （2）若， 则，解得． 题型9 正弦定理及其应用 51．（2025秋•江津区校级期中）已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：由正弦定理知，， 所以， 所以， 又，所以， 所以． 故选：． 52．（2025春•北京校级期中）在△中，若，，，则为（　　） A． B．或 C． D．或 【解答】解：由正弦定理可知， 或 故选：． 53．（2025春•虹口区校级期中）在△中，是△为等腰三角形的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当时，则有，则△为等腰三角形，故是△为等腰三角形的充分条件， 反之，当△为等腰三角形时，不一定是， 若是时，则，故是△为等腰三角形的不必要条件． 故选：． 54．（2025春•镇海区校级期中）在△中，是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若成立， 由正弦定理， 所以， 所以． 反之，若成立， 所以， 因为，， 所以， 所以是的充要条件． 故选：． 55．（2025春•毕节市校级期中）在△中，角，，的对边分别为，，，若，则△面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，， 由余弦定理得， ， 即， ，当且仅当时“”成立； △面积的最大值为 ． 故选：． 56．（2025春•鄞州区校级期中）在锐角△中，，，的对边分别是，，，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：锐角△中，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， 即的取值范围是，． 故选：． 57．（2025春•南关区校级期中）在中，，，分别为角，，所对的边，且，． （Ⅰ）若，求的面积； （Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）， ， 即， 则，则， 若，， 则，得， 得或（舍， 则的面积． （Ⅱ），， 由正弦定理得得， ，， 则 ， 是锐角三角形， 得， 则， ， 即， 即的取值范围是，． 题型10 正弦定理与三角形解的存在性和个数 58．（2025春•海勃湾区校级期中）在△中，，，，若此三角形有两解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 有两个值，则这两个值互补 若，则， 这样，不成立 又若，这样补角也是，一解 所以 所以 故选：． 59．（2025春•吉林校级期中）在△中，，，满足此条件的△有两解，则边长度的取值范围为（　　） A．， B． C． D．， 【解答】解三角形有两解， ， ， 故选：． 题型11 余弦定理及其应用 60．（2025春•华池县校级期中）在中，，，所对的边分别是，，，已知，则　　． 【解答】解： 根据余弦定理得： ， 又为三角形的内角， 则． 故答案为： 61．（2025春•乌兰察布校级期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△中，，， ，； ，， ． 故选：． 62．（2025秋•奎屯市校级期中）在中，，，分别是角，，的对边，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，且为锐角三角形，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）中，， ， 由余弦定理得，； 又， ； （Ⅱ）由，，根据正弦定理得， ， ； 又为锐角三角形， ， 解得； ， ， 综上，的取值范围是，． 题型12 三角形中的几何计算 63．（2025春•滨湖区校级期中）△中，，是边上一点，，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示， △中，，，， 由余弦定理得， ，； 在△中，，，， 由正弦定理得， ． 故选：． 64．（2025春•景谷县校级期中）若为的重心，，则的最小值为 　　． 【解答】解：如图：令，且它们的模长分别为，，夹角为， 则，同理， 所以，，， 故①， 因为，所以，当且仅当时取等号，故①式， 即的最小值为． 故答案为：． 65．（2025春•黄浦区校级期中）如图所示，平面四边形为某金鱼池区域，为观光区域，准备在、、三条边上修建观地训路，已知，米，米． （1）求四边形的面积（精确到0.1平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）． 【解答】解：（1）如图，连接，，米，故三角形为等腰三角形， 且，由，故，所以， 易知， 所以 （平方米）． （2）由（1）可知， 在中，由余弦定理得， 即① 因为，（当且仅当时，取等号）， 故①式可化为：，即， 故观光道路长度总和的最大值约为米． 题型13 解三角形的实际应用 66．（2025春•敦煌市校级期中）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（　　） A． B． C． D． 【解答】解：路程， 位移大小是， 故． 故选：． 67．（2025春•辛集市校级期中）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”： ，其中，，，分别为△的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在△中，，且△的面积为，则边上的中线长度为（　　） A． B．4 C． D． 【解答】解：△中，由正弦定理知，， 设，，，； 所以， △的面积为，解得， 所以， 所以边上的中线长度为： ． 故选：． 68．（2025春•霞山区校级期中）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站，发现其北偏东，与观测站距离海里的处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站东偏北的处，且．已知，两处的距离为10海里，则该货船的船速为　　 A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【解答】解：因为，所以， 由题意得，即， 又因为，， 所以由余弦定理得， 即， 即， 所以船速为（海里小时）． 故选：． 69．（2025春•菏泽期中）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【解答】解：由题意作出图形：，，则， 由图知：，则，又， 所以，则海里． 故选：． 70．（2025春•江苏校级期中）如图所示，隔河可以看到对岸两目标，，但不能到达，现在岸边取相距的，两点，测得，，，，，，在同一平面内），则两目标，间的距离为　　． A． B． C． D． 【解答】解：由已知，中，，， 由正弦定理，， 所以； 中，，， 由正弦定理，， 所以； 中，由余弦定理， ， 解得：， 则两目标，间的距离为． 故选：． 71．（2025春•让胡路区校级期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为 　　． 【解答】解：如图所示： 中，，，， 所以，由正弦定理得，解得， 中，，， ， 所以，所以， 中，由余弦定理得 ， 所以，即、两点间的距离为． 故答案为：． 72．（2025春•漳县校级期中）如图所示，位于处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．甲船立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则　　． 【解答】解：如图所示， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以． 由正弦定理得． 由知为锐角，故． 所以． 故答案为：． 73．（2025春•芜湖期中）如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点，分别在边，上 （1）当点，分别是边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值； （2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）当点，分别是边中点和靠近的三等分点时， ，，如图所示； 所以， 所以， 所以， 所以； （2）设，，则， 可得， 又，， 所以， 将代入上式，计算得， 所以， 所以为定值． 74．（2025春•宝山区校级期中）吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，．（本题的距离精确到 （1）该小组测得、的一组值为，，请据此计算的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 【解答】解：（1）在中，， 在中，， 在中，， 则， 故； （2）如图，延长，由向作垂线，垂足为， 则，， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故约为时，最大． 75．（2025春•锡山区校级期中）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否准确？ （2）如图（2），小组在处测得完美大厦整栋主楼在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）． 【解答】解：（1）设，所以等腰中，； 在中，，，，可得， 由正弦定理得，解得； 在中，由余弦定理得； 因为，所以， 又因为，所以百度地图测距是准确的． （2）由已知，在中，， 设，则，由余弦定理得， ， ， 且， 所以，所以，解得， 所以，； 在中，， 所以， 即测得完美大厦主楼的高度约为． 76．（2025春•吉首市校级期中）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距10海里． （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由． 【解答】解；（1）连接，如图所示： 由题意可得，，，△是等边三角形，， 在△中，由余弦定理得， ， 所以， 所以乙船的速度为（海里小时）． （2）分别延长，交于点， 由（1）得， 所以， 所以， 则， 所以； 在△中，由余弦定理得，， 所以； 因为， 所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时． 题型14 虚数单位i及其性质 77．（2024春•河北区期中）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：的虚部为3，所求复数实部为3， 即的实部为，所求复数的虚部为：． 所求复数为：． 故选：． 78．（2024春•雁塔区校级期中）设为虚数单位，则　　． 【解答】解： ， 故答案为：． 题型15 纯虚数 79．（2025春•滨海新区校级期中）若复数，为虚数单位）是纯虚数，则实数　6　 ． 【解答】解：由题意知，， 是纯虚数，， 故答案为：6． 80．（2024秋•和平区校级期中）是虚数单位，若复数为纯虚数，则　　． 【解答】解：，它是纯虚数，只需． 故答案为： 题型16 共轭复数 81．（2025春•怀宁县校级期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：复数，它的共轭复数为：． 故选：． 82．（2025春•英吉沙县期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 复数的共轭复数 故选：． 83．（2024春•天山区校级期中）复数的共轭复数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：复数，复数的共轭复数为， 故选：． 84．（2024秋•东城区校级期中）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：复数，复数的共轭复数是， 故选：． 85．（2025秋•普陀区校级期中）已知复数的共轭复数为，则　　 ． 【解答】解：因为复数， 所以共轭复数为， 所以． 故答案为：． 86．（2024春•高州市校级期中）设复数满足关系：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：法1：设由已知 由复数相等可得故 故选． 法2：由已知可得 ①取模后平方可得 ，所以，代入①得， 故选． 法3：选项中的复数的模均为，又， 而方程右边为，它的实部，虚部均为正数，因此复数的实部，虚部也必须为正， 故选：． 题型17 复数的代数表示法及其几何意义 87．（2025春•云岩区校级期中）已知复数在复平面内所对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由题意得，， 则在复平面内所对应的点是，， 故选：． 88．（2025春•吉首市校级期中）若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：所对应的点在第四象限， ，即， 则角是第一象限角． 故选：． 89．（2025春•邵阳校级期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为　　． 【解答】解：复数与分别对应向量与， ． 故答案为：． 90．（2024秋•宝山区校级期中）在复平面内，复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：， 复数所对应的点为， 故选：． 题型18 复数的模 91．（2024秋•宁德期中）已知复数满足，则　　． 【解答】解：复数满足，， 复数， 故答案为：1． 题型19 复数的运算 92．（2025春•东城区校级期中）复数（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式； 故选：． 93．（2025春•惠城区校级期中）复数化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：复数 故选：． 94．（2025春•四川期中）已知复数，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ； 故选：． 95．（2025秋•天津校级期中）是虚数单位，复数　　． 【解答】解：复数 故答案为：． 96．（2025春•北京期中）已知复数满足，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，， 故选：． 97．（2025秋•天津校级期中）已知，其中是虚数单位，那么实数 ． 【解答】解：， 故答案为： 98．（2024春•丰台区期中）复数　　． 【解答】解：复数 故答案为：． 99．（2024春•荔湾区校级期中）设复数，其中，，，，，0，1，2，3，，满足的不同复数有　　个． A．21 B．28 C．37 D．41 【解答】解：复数，其中，，，，，0，1，2，3，，满足，即圆内或圆周上点的个数； 在第一象限内有，，共3个，所以在4个象限内共有（个， 在轴的正半轴有1和2共2个，所以在、上（除原点）共8个， 加上原点处，共有（个． 故选：． 100．（2024春•邯郸期中）已知为复数，则“的实部大于0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：设，、，则，， 由，得，所以，即，所以，充分性成立； 由，得，所以，即，所以，必要性成立； 所以“的实部大于0”是“”的充要条件． 故选：． 101．（多选）（2025春•英吉沙县期中），是复数，下列说法正确的是　　 A．若，则是纯虚数 B．若，则 C．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D．若，则 【解答】解：对于，设，、，则，即，解得且，所以是纯虚数，选项正确； 对于，设，，则，，，所以，选项错误； 对于，设，、，由，互为共轭虚数，得，在复平面内对应的点与对应的点关于实轴对称，选项正确； 对于，设，，则，，，不能得出，选项错误． 故选：． 102．（多选）（2025春•株洲校级期中）下列说法正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则 【解答】解：对于，设，，， 则， ，选项正确； 对于，设，，，，，， 则， 因为， 所以，所以、的值不确定，选项错误； 对于，由，，得，所以的最小值为1，选项正确； 对于，是方程的根，则也是方程的根，由根与系数的关系知， ，所以，选项正确． 故选：． 103．（多选）（2024春•渝中区校级期中）已知复数，，下列命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答】解：对于，取复数，则，，选项错误； 对于，由，所以，选项正确； 对于，因为，所以，且，所以，且，所以，选项正确； 对于，取，，则，，选项错误． 故选：． 104．（多选）（2024春•广州期中）下列说法中正确的是　　 A．若复数．则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数满足，则 C．是关于的方程，为实数）在复数集内的一个根，实数的值为26 D．若复数满足若，且，则的最小值为4 【解答】解：对于，复数，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，选项错误； 对于，由，则，解得，选项正确； 对于，由题意知，和是方程两根，则，解得，选项正确； 对于，由，则，最小值为4，选项正确． 故选：． 105．（多选）（2024春•聊城期中）已知，为方程的两个不相等的复数根，则　　 A． B．时，较大的根为 C．时， D． 【解答】解：对于，由根与系数的关系知，，选项正确； 对于，时，方程为，方程只有相等的实数根，选项错误； 对于，时，方程为，复数根为，， 所以，选项正确； 对于，设，，、、、， 则，， 所以，选项正确． 故选：． 106．（多选）（2024春•河东区期中）下列说法正确的是　　 A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．若是关于的方程的根，则也是该方程的根 D．复数满足，则的最大值为 【解答】解：对于，若，互为共轭复数，则为实数，选项正确； 对于，为虚数单位，为正整数，则，选项错误； 对于，是实系数方程的根，则它的共轭复数也是该方程的根，选项正确； 对于，由，所以，所以的最大值为，选项错误． 故选：． 107．（多选）（2024春•两江新区校级期中）已知复数，，则下列结论正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C． D． 【解答】解：对于，当，，则，但，，，选项错误； 对于，，时，，但，选项错误； 对于，因为，选项正确； 对于，设，，、、、， 则，， 所以，选项正确． 故选：． 108．（多选）（2024春•沙坪坝区校级期中）已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是　　 A．若复数，则其对应复平面上的点在第二象限 B．若复数满足，则 C． D． 【解答】解：对于，复数，则其对应复平面上的点为，在第四象限，选项错误； 对于，因为，所以，所以，选项错误； 对于，设，、，所以，，所以，选项正确； 对于，设，，、、、，则， ，所以不一定成立，选项错误． 故选：． 109．（多选）（2024春•蜀山区校级期中）设，是非零复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，当，时，，，，选项错误； 对于，设，，、、、， 则， ， 所以，选项正确； 对于，设，，、、、， 则，，所以，选项正确； 对于，设，，、、、， 则， ，所以，选项正确． 故选：． 110．（多选）（2024春•罗湖区校级期中）若，是复数，则下列命题正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，由复数共轭的性质知，设，，、、、， 则，， 所以，选项正确； 对于，取，，则，，选项错误； 对于，，，所以，选项正确； 对于，取，，则，，选项错误． 故选：． 111．（多选）（2024春•重庆期中）设复数，其中为虚数单位，则下列正确的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．方程在复数集中有6个解 【解答】解：对于，，时，，所以，选项错误； 对于，由，解得，所以，选项正确； 对于，时，，选项正确； 对于，可化为，即， 所以，当时，，解得； 当时，，解得或； 所以复数集中原方程有6个解，选项正确． 故选：． 题型20 空间几何体的结构特征 112．（2025春•福建期中）下面关于空间几何体叙述不正确的是（　　） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【解答】解：对于，正四棱柱的底面是正方形，因此它是长方体，故正确； 对于，由题意，只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线，故正确； 对于，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故错误； 对于，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故正确． 故选：． 113．（多选）（2025春•安徽期中）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是 【解答】解：圆锥的底面半径是，母线长，所以高， 所以圆锥体积，错误； 侧面展开图的圆心角弧度数为，正确； 圆锥轴截面顶角的余弦值为，故顶角为钝角， 所以过圆锥的两条母线的截面面积为，正确； 圆锥的侧面积为，正确． 故选：． 114．（2025秋•闵行区校级期中）如图，正四棱柱的底面边长为1，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由题意知，在平面上的投影为，因为，所以， 设，则，设棱长，则； △中，，即， 化简得，，因为△，解得， 即的最大值为． 故选：． 115．（2025春•红塔区校级期中）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【解答】解：设圆柱的截面与底面的距离为，半球半径为， 半球的截面圆的半径为， 圆的面积为， 因为圆柱的底面半径与高相等，所以圆环的内圆半径为， 所以圆环的面积为，即， 故选：． 116．（2025春•浙江期中）几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，是上一动点．则的最小值为 　　． 【解答】解：以所在直线为轴，把△所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则为所求的最小值． 因为，所以，且，，三点共线， 在△中，由正弦定理得， 解得． 故答案为：． 117．（2025秋•黄浦区校级期中）在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于　　． 【解答】解：如下图所示： 当在面内时，面，面；又，在与中，，则，，则，即．在平面中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设，由，得， 整理得：，即． 点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆． 设圆与面的交点为、， 作垂直轴于点，则； ； 故点的轨迹与长方体的面的交线为劣弧，所以劣弧的长为． 题型21 空间几何体的侧面积和表面积 118．（2025秋•浦东新区校级期中）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 　　． 【解答】解：由圆锥的侧面积公式． 故答案为： 119．（2025春•农安县期中）圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，设圆台上底面的半径为， 则下底面半径和高分别为 和，由得，， 故圆台的侧面积等于， 故选：． 题型22 空间几何体的的体积 120．（2025春•和平区校级期中）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足， 所以， 设到平面的距离，到平面的距离，则， 则三棱锥的体积为． 所以三棱锥和三棱锥的体积之比为． 故选：． 121．（多选）（2025春•仓山区校级期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是　　 A．弧长度为 B．曲池的体积为 C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5 【解答】解：设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为， 因为弧长度是弧长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为， 所以，即； 所以，解得：，， 所以弧长度为，选项正确； 该曲池的体积为，选项错误； 曲池的表面积为，选项正确； 三棱锥的体积为，选项正确． 故选：． 122．（2025春•定海区校级期中）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形．现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且，分别为棱，的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 　　． 【解答】解：将四棱锥补成平行六面体，如图所示： 设平行四面体的体积为，根据，分别为棱，的中点，设棱锥高为，体积为， 则，由三棱柱与平行六面体的高相同，得， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，即， 所以， 则， 图甲中上方的小四棱锥高为，则，则， 故图甲中的水面高度为． 故答案为：． 123．（2025春•崆峒区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积； （2）求该蒙古包的体积． 【解答】解：由题意可知米，米，米，所以（米． （1）圆锥部分的侧面积为（平方米）． 圆柱部分的侧面积为（平方米）． 所以该蒙古包的侧面积为（平方米）． （2）圆锥部分的体积为（立方米）， 圆柱部分的体积为（立方米）． 所以该蒙古包的体积为（立方米）． 124．（2025春•惠东县期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图．某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图，该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）．已知圆锥的高为，母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，为圆锥的底面直径．圆柱的高为，为圆柱下底面的直径，且． （1）求圆锥的侧面积； （2）求几何体的体积． 【解答】解：（1）由已知得，圆锥的底面半径满足， 所以，所以圆锥的侧面积为； （2）由（1）知，圆锥的体积为：， 圆柱的体积， 所以几何体的体积为． 125．（2025春•无锡校级期中）如图：在正方体中，边长，为的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【解答】解：（1）因为正方体，边长，为的中点， 所以平面，所以 ； （2）证明：连接，与交于点，连接， 显然是的中点，又为的中点，所以， 平面，平面，所以平面； （3）当点为的中点时，符合题意， 理由：设为的中点，连接，， 因为正方体，且为的中点，所以，， 所以，所以，且平面，平面， 所以平面，又， 所以平面平面， 所以线段上存在点，使平面． 126．（2025春•广州校级期中）一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心． （1）过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； （2）求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； （3）在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）如图，在平面内过点作直线交于，交于，连接，， 则、、为截面与各木块表面的交线，理由如下： 由于，所以、、，四点共面，且平面平面，平面平面， 平面平面，所以、、为截面与各木块表面的交线． （2）由于点为重心，，所以， 又因为，所以，所以几何体为棱柱， 设棱台的高为，△的面积为，所以， 又，则， 由台体体积公式得，， 所以该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（答案为也对）； （3）分别取、的中点、，当点时有平面．证明如下： 由、为、的中点，得， 又由于在正三棱台中，，所以，、、、四点共面． 又因为，点为重心，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以当点时，平面，所以平面， 在梯形中，由已知条件和前面的分析知： ，，，， 所以长度的取值范围是． 127．（多选）（2025春•龙岗区校级期中）如图，正方体棱长为1，是上的一个动点，下列结论中正确的是　　 A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 【解答】解：对于，因为，当为的中点时，时，此时最小， 最小值为，选项错误； 对于，因为，平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以，选项正确； 对于，因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面， 由此知到平面的距离相等，△的面积是定值， 所以三棱锥的体积是定值，选项正确； 对于，因为平面，设与平面交于点，则所以， 设以为球心，为半径的球与平面交于点，则，所以， 所以在以为圆心，为半径的圆上，因为△是边长为的正三角形，其内切圆半径为， 所以此圆恰好为△的内切圆，完全落在平面内，所以交线长为，选项正确． 故选：． 128．（2025秋•普陀区校级期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若，，分别为棱，，的中点，求四面体的体积； （3）若，分别是线段，上的动点，求的最小值． 【解答】解：（1）连接，则，因为，，所以， 所以正方形中，， 而，在△中，， 所以四棱锥的侧面积为， 下面正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． （2）由题意，计算 ， ， 同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 过作底面的高，垂足为，因为底面是正三角形故是正三角形的重心， 所以 ， 所以； （3）将长方形，△和△展开在一个平面， ， 设，则，，， ，所以， 所以， ， ， 当，，，四点共线时，最短， 所以， 即的最小值为． 129．（2025秋•德庆县校级期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则制作这样一个粮仓的用料面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，高为； 所以，解得，； 又圆柱的侧面积为， 所以制作这样一个粮仓的用料面积为 ． 故选：． 130．（2025春•常德校级期中）已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为，则该圆台的高为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设圆台的高为，已知上、下底面圆的半径分别为2，4． 由圆台的体积公式可得，， 解得：． 故选：． 131．（多选）（2025春•潮州校级期中）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是　　 A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 D．圆锥的体积与球的体积之比为 【解答】解：对于，设球的半径为，如图所示：， 所以，选项正确； 对于，圆锥的表面积为 ， 球的表面积为， 所以，选项正确； 对于，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，选项错误； 对于，，， 所以，选项正确． 故选：． 132．（2025春•台江区期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形的面积及周长； （2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解答】解：（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积为， 表面积为． 133．（2025春•金安区校级期中）如图，四边形中，，，，，， （1）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； （2）求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 【解答】解：（1）作，，，为垂足， 因为，所以， 因为，所以，， 所以， 又，，所以， ， 由勾股定理得， 由四边形绕直线旋转一周形成圆台， 且， 由三角形绕直线旋转一周形成圆锥， 且， 所以将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积为； （2）四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积为， 以为母线的圆台的侧面积， 以为母线的圆锥的侧面积， 所以该几何体的表面积为． 134．（2025春•香坊区校级期中）圆柱的侧面展开图是边长分别为，的矩形，则圆柱的体积为　　． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为与的矩形， 当母线为时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是； 当母线为时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是， 综上所求圆柱的体积是：或． 故答案为：或； 135．（2025春•泉州校级期中）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若△的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、， 由于圆锥的底面半径为，即，而， 所以， 同时， △中，，为的中点，则有， 又由△的面积等于，即， 变形可得，而， 则有，解得， 所以该圆锥的体积为． 故选：． 136．（2025春•碑林区校级期中）如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为． （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积． 【解答】解：（1）如图所示，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取，的中点为，，连接，，， 过点作于， 则，，，， 故， 所以正四棱台的表面积为； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则圆台的体积为． 题型23 球的体积和表面积 137．（2025春•上海校级期中）棱长为2的正方体外接球的表面积是 　　 ． 【解答】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径， 所以，球的直径为：，半径为： 球的表面积为： 故答案为： 138．（2025秋•黄浦区校级期中）已知一个球的半径为3，则这个球的体积为 ． 【解答】解：由已知得， 故． 故答案为：． 139．（2025春•拱墅区校级期中）已知在四面体中，，平面平面，则四面体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图取中点，中点，连接 因为，平面平面 所以，，则面，三角形是等腰直角三角形．所以，所以，， 所以球心必落在直线上，设为点，连接、，则． 设，在三角形中，，所以 在三角形中， 所以，解得，所以 故外接球的表面积 故选：． 140．（2025春•浙江校级期中）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（　　） A． B． C． D．、的大小关系不定 【解答】解：如图所示， 设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为， 则该截面的面积为， 而过球心的截面的面积为， 所以． 故选：． 141．（2025秋•南安市校级期中）已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图： 由题意知，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以在三棱锥中，平面， 在△中，，所以， 则，设△的外接圆半径为， 则， 三棱锥的外接球即三棱锥的外接球， 易知，设三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：． 142．（2025春•厦门校级期中）已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设母线长为，则， 再设圆锥的高为，则， 画出圆锥的轴截面，如图所示： 则△是等腰直角三角形， 所以圆锥的外接球半径为， 外接球的体积为． 故选：． 题型24 平面图形的直观图 143．（2025春•滨海新区校级期中）已知水平放置的△的平面直观图△是边长为1的正三角形，那么△的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示， 在直观图中分别作轴、轴交轴于点、 交轴于点，还原为平面直角坐标系下△； 在△中，由正弦定理得， 可得，； 在原直角坐标系中，，，； ． 故选：． 144．（2025春•朝阳区校级期中）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示， 由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变， 正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在平面图中其在轴上， 且其长度变为原来的2倍，长度为，其原来的图形是平行四边形， 所以它的面积是． 故选：． 145．（2025春•天津校级期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【解答】解：由图形知，在原中，， 为正三角形． 故选：． 146．（2025春•城中区校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，则的面积是　　 A．6 B． C．12 D． 【解答】解：△是水平放置的的直观图， 所以： 故选：． 147．（多选）（2025春•山西校级期中）已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，，，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据斜二测画法可还原四边形的平面图，过点作，垂足为，如下图所示， ，， 所以，选项正确，选项错误； 因为，，所以， 又，所以，选项错误，选项正确． 故选：． 148．（2025春•天津校级期中）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为　　 A．12 B．6 C． D． 【解答】解：由斜二测画法的直观图知， ，，，； ， 所以原图形中，，，，，， 所以梯形的面积为． 故选：． 149．（2025秋•普陀区校级期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 　　． 【解答】解：如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为：14． 题型25 异面直线及其所成的角 150．（2025秋•郫都区期中）两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，则线段的长为（　　） A．20或12 B．12或 C．或 D．或20 【解答】解：由已知得， 两边平方可得①， 因为，，与所成的角为，所以所成的角为，或，又，，，所以， 代入①式得， 当时，代入上式可得；当时，， 故的长度为12或． 故选：． 151．（2025春•市中区校级期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 　　． 【解答】解：如图所示，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，， 因为，分别是棱，的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角． 设，则．，． 计算，，，， 由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值是． 故答案为：． 题型26 空间中直线与直线之间的位置关系 152．（2025秋•浦东新区校级期中）若空间两条直线，没有公共点，则其位置关系是　　 ． 【解答】解：当直线与直线共面时，由两条直线平行的定义得． 当直线与直线不共面时，由异面直线的定义得直线与直线异面． 故答案为：平行或者异面． 题型27 空间中直线与平面之间的位置关系 153．（2025春•城中区校级期中）已知，表示直线，，，表示平面，下列推理正确的是（　　） A．， B．，且 C．，，， D．，， 【解答】解：对于选项，，，直线，可能相交；故错误； 对于选项，，，直线可能在两个平面内，故错误； 对于选项，，，，，直线，如果不相交，，可能相交，故错误； 对于选项，根据面面平行的性质以及，得到，进一步得到；故正确； 故选：． 题型28 直线与平面平行 154．（多选）（2025春•广西期中）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，连接，则，由正方体性质得到平面平面， 平面，故成立； 在中，若下底面中心为，则，面， 与面不平行，故不成立； 在中，过作，则是中点， 则与平面相交，则与平面相交， 与面不平行，故不成立； 在中，连接，则，，则，平面，故成立． 故选：． 题型29 直线与平面垂直 155．（2025春•东西湖区校级期中）如图，在四边形中，△是等边三角形，△是以为斜边的等腰直角三角形，将△沿对角线翻折到△，在翻折的过程中． （1）求证：； （2）若，求证：平面． 【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，， 在等腰△中，，为的中点， 所以， 在等边△中，， 又， 所以平面， 又平面，所以． （2）因为在△中，， 又，， 所以平面， 又平面， 所以， 由（1）知，， 所以平面． 156．（2025春•东安区校级期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【解答】证明：（1）在正方体中，且， 四边形是平行四边形，， ，， ，，平面，平面． 平面． （2）平面，平面， ， 又，，，平面， 平面， 平面，， 同理可证， 又，，平面． 平面． 又平面，． 157．（2025春•新吴区校级期中）如图，在三棱锥中，底面，平面平面． （1）求证：； （2）若，，是的中点，，分别在线段，上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 【解答】解：（1）证明：作， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）①由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在△中，， 在直角△中，， 所以与平面所成角的正切值为； ②过作的垂线，垂足为，过作，交于， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，设， 所以，，，， 在直角△中，， 当时，，， 易证为二面角的平面角，其正切值为． 158．（2025春•宁江区期中）如图，三棱锥中，△是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：三棱锥中，△是边长为2的等边三角形， ，平面平面，， ，分别为，的中点， 取中点，连接， △是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． ，，、平面， 平面，而平面，， 为的中点，， ，，平面， 平面． （2）过点作，垂足为． 平面，平面，， ，，平面，平面， 为与平面所成的角． ，，， ，， 在△中，由余弦定理得， 与平面所成角的余弦值为． （3）取的中点，连接， 由题意知，， 过点作，垂足为，连接． 由（1）知，平面，平面． 又，平面，，． ，，平面，平面． 平面，， 为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， 在△中，， 由（2）知，平面， 平面，． 在△中，， 即，解得， 在△中，， 二面角的平面角的正弦值为． 题型30 直线与平面所成的角 159．（2025春•尖山区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在△中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角． 又平面，所以， 因为，， 又， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 160．（2025春•天津校级期中）如图，在正方体中，是的中点． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）连接，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以即为异面直线和所成角， 又△为等边三角形，所以， 所以异面直线和所成角为； （2）证明：连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面； （3）设正方体的棱长为2， 则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得， 设和平面所成角为， 则， 所以和平面所成角的正弦值为． 161．（2025春•淄博校级期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：因为，，，为的中点，为的中点， 连接，，设，连接， 可得四边形为矩形， 可得为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为平面，平面， 所以， 易证得，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，为的中点， 所以， 又因为， 所以平面； （3）解：，， 可得，， 由（2）可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． $