专题03 立体几何初步14考点（期中真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03立体几何初步 ☆14大高频考点概览 考点01异面直线所成的角 考点02平行问题 考点03垂直问题 考点04空间点线面的位置关系 考点05直线与平面所成角 考点06几何体的表面积与体积 考点07二面角 考点08几何体的外接球内切球 考点09斜二测画法 考点10立体几何动点小题 考点11线段长最小问题 考点12动点探索问题 考点13截面交线问题 考点14距离问题 目目 考点01 异面直线所成的角 1.(24-25高一下.天津嘉诚中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与B1C所成的角为 B1C与平面ABD1所成的角为 2.(24-25高一下·天津天华高级中学)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别 为DD1,BD,BB1的中点，则C1E与FG所成的角的余弦值为 D B G D 3.(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学期中)在四面体ABCD中，AC=BD=4,E,F分别是AD ,BC的中点，若EF=2V3,则异面直线AC与BD的夹角为 4.(2425高一下·天津耀华中学滨城学校期中)如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E为DD1的中点. (1)求证：BD1//平面AEC: (2)取CC1中点F,求证：平面AEC//平面BFD1: (3)求异面直线AE与D1B所成角的余弦值. 1/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C A B A B 5.(24-25高一下·天津百华实验中学期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，各棱长均 为2，D为AB的中点 (1)求证：BC1平面A1CD: (2)求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值； (3)求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1 D 目目 考点02 平行问题 1.(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， M,N分别是AB,PC的中点 (1)求证：MN//平面PAD: (2)在DN上取一点G(不与D,N重合)，设过点G和PA的平面交平面BDN于GH,求证：PA//GH. D M 2.(24-25高一下天津咸水沽第二中学期中如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， E,M,N,G分别是AA1CD,CB,CC1的中点，求证： ①)MN//B1D1 (2)AC1//平面EB1D1 2/20 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 C G E 3.(2425高一下·天津南开中学)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G、H分别是 AB、ACA1C1、AB1的中点 (1)证明：BC//平面A1EF; (2)证明：平面A1EF//平面BCGH; (3)平面BCGH将三棱柱ABC-A1B1C1分割成两部分，两部分几何体的体积分别为V1、V2(V1<V2), 求可：的值. B 4.(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中如图，己知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点，AC=BD.求证： (1)四边形MNPQ是菱形； (2)AC/平面MNP 5.(23-24高一下·天津朱唐庄中学)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ADC=45,AD=AC=1,O为AC中点，PO⊥平面ABCD,P0=2,M为PD中点 (I)证明：PB//平面ACM; (2)求四棱锥P-ABCD的体积. 3/20 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 M D B 目目 考点03 垂直问题 1.(24-25高一下·天津百华实验中学期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂 直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 (I)求证：CD⊥PD; (2)求证：EF/平面PAD: (3)设AC与BD交于O点，求证：平面EOF/平面PAD E B 2.(24-25高一下·天津小站第一中学期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点。 (1)求证：BD1//平面ACE; (2)求证：BD1⊥AC. D C A E B D B 3.(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AD⊥DCG BC=CD=AD=2,E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD 4/20 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)证明：AB/平面PCE (2)求证：平面PAB⊥平面PBD 0 B 4.(21-22高一下·天津西青区杨柳青第一中学.期中)如图，四棱锥P一ABCD的底面是正方形，PD垂直于 底面ABCD,PD=DC=2,AN⊥PB,M是PC的中点，求证： (1)PB⊥平面ACN; (2)DM⊥PB. P D A 5.(23-24高一下·天津汇文中学期中)如图，在三棱推S-ABC中，SC⊥底面ABC,AB⊥BC, SC=2AB=2BC=2,D,E分别是AB,SB的中点. (1)求证：DE//平面SAC (2)求证：AB⊥SB; (3)求四面体S-ABC的体积， E D B 目目 考点04 空间点线面的位置关系 1.(2425高三下·天津十二区重点学校)已知m,n是两条不同的直线，心，B,Y是三个不同的平面，则 5/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 下列结论正确的是() A.若m//n,m//c,则n//a B.若m//n,a//B,m⊥，则n1F C.若&⊥Y,B⊥Y,则x/B D.若a//B,mca,ncB,则m//n 2.设%，B是两个不同的平面，m,1是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是() A.若ax⊥B,ml,1lB,则m⊥1 B.若mc,1cB,1lm,则alF C.若m⊥ca,11B,1川m,则a上阝D.若&nB=m,1川a,l川B,则m/1 3.(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学期中)已知a,b,c表示不同的直线，&，B表示不同的平面，给 出下面四个命题： (I)若a//Baca,则a//3(2)若anB=a,bca,ccB,b//c,则a//b, (3)若a//B,bcB,则a//b;(④a⊥5，bc阝，则a⊥b 上面四个命题正确的有() A.(1),(3) B.(2),(4) C.(1),(2),(4) D.(1),(3),(4). 4.(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学期中)已知a,b是互不重合的直线，a,B是互不重合的平 面，下列命题正确的是() A.若allb,bca,则ala B.若a⊥a,bcB,alB,则a⊥b C.若alla,allB,则allB D.若a∩B-b,aca,a⊥b,则a⊥f 5.(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)设c,B为不重合的平面，m,n,P,为不 重合的直线，则其中正确命题的序号为 ①若m//p,n//p,则m//n ②若m//a,n//a,则m//n ③若m//ca,a//B,则m/1B: ③若mca,ncB,a//B,则m//n: 目目 考点05 直线与平面所成角 1.(24-25高一下，天津滨海新区大港第一中学.期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA11底面 ABC,AB⊥BC,D为AC的中点，AA1=AB=BC=2 (I)求证：AB1/平面BC1D (2)求证：BD1平面AA1C1C (3)求直线BC1与平面AAC1C所成角的大小 6/20 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A D B B 2.(24-25高一下·天津天华高级中学)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平 面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2W3,∠BAD=90°， (I)求证：CM⊥平面ABD: (2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. M D 3.(24-25高一下天津第一百中学、咸水沽第一中学期中)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A1 平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AD=2,AB=4,侧棱AA1=5.M,N分别是 A1D和BC的中点 (I)求证：MN//平面DCC1D1 (2)求证：平面A1BD⊥平面A1ADD1: (3)求直线A1N与平面A1ADD1所成角的正切值 D C M D 4.(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学期中)如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，E是DD1的 中点 (1)求异面直线A1C1和B:C所成角的大小： (2)求证：D1B/平面ACE: 7/20 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求CD和平面ACE所成角的正弦值. D C A 、、 D B 5.(2425高一下·天津小站第一中学期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC, AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点 (①)求证：A1B//平面AC1D, (2)求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1 (3)求直线AC与平面AC1D所成角的正弦值. C B 目目 考点06 何体的表面积与体积 1.(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学期中己知三棱锥的所有棱长都是1，则这个三棱锥的表面积 是() A.2 B.4 c.5 D.25 2.(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学.期中)若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它 的体积为 3.(24-25高一下·天津静海区第四中学期中)小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋， 其上半部分是面积为18m(cm3)的半球形塑料盖，下半部分是高为9(cm)圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部 脆皮蛋卷桶的面积为 (cm2). 8/20 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 r cm 9cm 4.(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一 个半圆，则这个圆锥的表面积是 5.(24-25高一下·天津百华实验中学期中)直角边为6和8的直角三角形绕边长为6的直角边旋转形成圆 锥，该圆锥的母线长等于 该圆锥的体积等于 目目 考点07 二面角 1.(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学期中)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角 形PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点.二面角P-DB-A的正切值为 D B 2.(24-25高一下天津滨海新区塘沽第一中学期中)已知菱形ABCD的边长为2，∠A=等，沿AC将 △ABC折起得到二面角B'-AC-D.当二面角B-AC-D为直二面角时，BD的长为；当三棱锥 BACD的休积为时，二面角B-AC-D的度数为 3.(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学期中)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点，且PA=AD=2,AB=4, (I)求证：AF⊥平面PDC (2)求点A到平面PED的距离 (3)求平面PCE与平面PAD所成锐二面角的正弦值 A E 4.(22-23高一下·天津滨海新区塘沽第十三中学期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 9/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求异面直线AC与BC1所成角的大小； (2)求证：AC⊥BD1: (3)求二面角C-BD-C1平面角的大小 D A D B 5.(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD,四边形 ABCD为矩形，PC⊥PD,PC=PD=AD=2,M为PA的中点. (1)求异面直线AB与PD所成的角： (2)求证：平面ACP⊥平面MCD; (3)求二面角C-MD-P的余弦值. D 目目 考点08 几何体的外接球内切球 1.(24-25高一下·天津百华实验中学期中)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角 边长分别为1和V3,此三棱柱的高为2W3,则该三棱柱的外接球的体积为() A. B.r C.36m D.16元 2.(2425高一下·天津第二南开学校期中)一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点都在同一个球面上， 则此球的表面积为 3.(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学期中)侧棱长为3，底面边长为2√2正四棱柱的表面积为 ；外接球体积为 4.(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学期中)已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的 最大球体的体积为 10/20 专题03立体几何初步 14大高频考点概览 考点01 异面直线所成的角 考点02 平行问题 考点03 垂直问题 考点04 空间点线面的位置关系 考点05 直线与平面所成角 考点06 几何体的表面积与体积 考点07 二面角 考点08 几何体的外接球内切球 考点09 斜二测画法 考点10 立体几何动点小题 考点11 线段长最小问题 考点12 动点探索问题 考点13 截面交线问题 考点14 距离问题 地 城 考点01 异面直线所成的角 1．(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)在正方体中，与所成的角为______，与平面所成的角为______． 【答案】 【分析】利用正方体的性质和异面直线所成角的定义即可得出； 利用正方体的性质、线面垂直的判定和性质即可求解. 【详解】如图所示，有正方体可知，， 所以是异面直线与所成的角， 由等腰直角三角形可得，；    由正方体可得，平面，所以， 又在正方形中，， 又与相较于点，所以平面， 所以与平面所成的角为. 故答案为：；. 2．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为__________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， 所以，， ， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为：. 3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 【答案】 【详解】 设为中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以，， 故就是则异面直线AC与BD的夹角或其补角， ∵AC=BD=4，∴，又， ，故异面直线AC与BD的夹角为， 故答案为： 4．(24-25高一下·天津耀华中学滨城学校·期中)如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)如图，在三棱柱中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点. (1)求证：∥平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）做辅助线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理运算求解； （3）根据线面垂直可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）设，连接，可知为的中点， 因为D为AB的中点，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为∥，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由题意可知：， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）因为，且D为AB的中点，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 由平面，可知平面平面. 地 城 考点02 平行问题 1．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 2．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:   (1) (2)平面; 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平行的传递性即可求证； （2）连，交与点，则点是的中点，可证，由直线与平面平行的判定定理证明平面； 【详解】（1）因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2）    连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 3．(24-25高一下·天津南开中学·)如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）由（1）得平面，再证明平面，根据面面平行的判定定理即可证明结论； （3）设三棱柱的底面积为，高为，根据几何体体积公式，求得三棱柱和三棱台的体积，作差可得另一个多面体的体积，比较大小后，作商化简即可. 【详解】（1） 分别是的中点， ， 又平面，平面， 所以平面． （2） 分别为中点， 故， 又，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面 又由（1）知平面，且平面，， 平面平面． （3）设三棱柱的底面积为，高为，则其体积为， 平面将三棱柱分割成三棱台和多面体两部分， 设三棱台的体积为，多面体的体积为， 因为分别为中点，所以， 则， ， 又，所以，， 故． 4．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线定理得到，，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到，证明菱形即可. （2）利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 5．(23-24高一下·天津朱唐庄中学·)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明： 平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线性质可得 ，由线面平行判定可得结论； （2）利用三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以 ， 因为平面，平面，所以 平面； （2）. 地 城 考点03 垂直问题 1．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证； （2）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （3）依题意可得为的中点，且为的中点，即可得到，，从而得证. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点， 所以且，又且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （3）因为为矩形，与交于点， 所以为的中点，且为的中点， 又、分别是、的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 2．(24-25高一下·天津小站第一中学·期中)如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）只需由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）先由线面垂直的判定定理证得面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1） 连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形， 所以为中点，又因为为，中点所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中， 由面，面，所以， 又，面，面，， 所以面， 又由面，所以． 3．(24-25高一下·天津南开大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）证明，继而证明，即可证明平面，由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，为棱的中点，，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，所以 平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，由题意，为棱的中点，， 知且，∴四边形为平行四边形， ∵，， ，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴，又，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 4．(21-22高一下·天津西青区杨柳青第一中学·期中)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，PD＝DC＝2，AN⊥PB，M是PC的中点，求证： (1)PB⊥平面ACN； (2)DM⊥PB． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结BD交AC于O.证明出PB，利用线面垂直的判定定理即可证明 PB⊥平面CAN； （2）先证明出面PCD,得到DM，利用线面垂直的判定定理得到DM⊥平面PBC，即可证明DM⊥PB. 【详解】（1）连结BD交AC于O.因为ABCD为正方形，所以. 因为PD垂直于底面ABCD，所以. 又，所以面PBD,所以PB. 因为AN⊥PB，,面ACN，面ACN，所以PB⊥平面ACN. （2）因为四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD， 所以,. 又，所以面PCD,所以DM. 因为PD＝DC＝2， M是PC的中点，所以. 又,面PBC，面PBC，所以DM⊥平面PBC. 所以DM⊥PB 5．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求四面体的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）通过线线平行证明线面平行即可 （2）通过线面垂直证明线线垂直，所以先证明平面，推出 （3）四面体的底面和高是确定的，用体积公式直接求解即可 【详解】（1）证：∵，分别是，的中点， ∴， ∴平面，平面， ∴平面． （2）证：∵平面，平面 ∴， ∵且于点，平面 ∴平面，又∵平面． 故． （3）解：∵， ∴． 地 城 考点04 空间点线面的位置关系 1．(24-25高三下·天津十二区重点学校·)已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 2．设是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】逐项举反例判断选项A,B,C错误，证明选项D正确. 【详解】对于A，如图，但直线平行，A错误； 对于B，如图，但是平面不平行，B错误； 对于C：如图，但是，C错误； 对于D，如图，， 过直线作平面，满足条件， 因为，，，所以， 过直线作平面，满足条件， 因为，，，所以， 所以，又，， 所以，又， 所以，又， 所以，D正确； 故选：D. 3．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则   (2)若，则; (3)若，则;     (4) ，则. 上面四个命题正确的有（   ） A．(1)，(3) B．(2)，(4) C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4). 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）中，若，由面面平行的性质，可得，所以（1）正确； （2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得， 又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确； （3）中，若，则与平行或异面，所以（3）不正确； （4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确. 故选：C. 4．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（    ） A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 【答案】B 【分析】由线面的位置关系可判断A，线面垂直的性质可判断B，两平面的位置关系可判断C，面面垂直的判断可判断D. 【详解】对A，，则或，故A错误； 对B，由，所以，，所以，故B正确； 对C，，则或相交，故C错误； 对D，，垂直交线不能判断两平面互相垂直，故D错误； 故选：B 5．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为______． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则； ③若，，，则； 【答案】① 【分析】利用平行公理判断①；利用线面、面面位置关系判断②③④. 【详解】对于①，若，则，①正确； 对于②，由，得与平行或相交或者是异面直线，②错误； 对于③，由，得或，③错误； 对于④，由，得或与是异面直线，④错误， 所以正确命题的序号为①. 故答案为：① 地 城 考点05 直线与平面所成角 1．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. (1)求证：//平面 (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. （3）由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 2．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题，可得，根据面面垂直的判性质定理可证； （2）由（1）知，是直线与平面所成角，运算求解. 【详解】（1）如图，连接，因为为的中点，是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1），平面，则是直线与平面所成角， 又，且，， ， 因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形，为直角， 在中，，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱 ，分别是 和的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点为，连接，根据线面平行判定定理即可证明； （2）根据面面垂直判定定理即可证明； （3）利用空间向量法来求线面角即可. 【详解】（1）取中点为，连接， 在中，为中点，为的中点， 所以且， 在四棱柱 中，，为的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 因为 所以由余弦定理得， 此时有，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， （3）如图建系，由， 可知：， 则 可得， 由于平面的法向量可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设，则， 所以 故直线与平面所成角的正切值为. 4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证； （3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 5．(24-25高一下·天津小站第一中学·期中)如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. （3）过C作CE于E，连AE，则可得CE⊥平面，从而中得∠CAE是AC与平面所成的角，然后在直角中求解即可. 【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而 平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点06 何体的表面积与体积 1．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出边长为的正三角形的面积，即可得解. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 2．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为________ 【答案】 【分析】利用圆锥的结构特征及圆锥的体积公式计算得解. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高为， 所以圆锥的体积. 故答案为： 3．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)小明同学在吃完早餐以后，又在冷食店购买了某型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为圆锥形脆皮蛋卷桶，则下部脆皮蛋卷桶的面积为______． 【答案】 【分析】设球的半径为，根据已知列出方程求出，进而得出圆锥的母线，然后求出圆锥的侧面面积即可. 【详解】设球的半径为 由已知可得，，解得， 则可知下半部分为高为，底面半径为的圆锥， 所以，圆锥的母线 所以，下部脆皮蛋卷桶的面积为即圆锥侧面的面积为. 故答案为：. 4．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，得到，求得，结合圆的面积公式和圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 5．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)直角边为6和8的直角三角形绕边长为6的直角边旋转形成圆锥，该圆锥的母线长等于________，该圆锥的体积等于_____________. 【答案】 【分析】求出直角三角形的斜边即为母线，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】在直角边为6和8的直角三角形中，斜边为， 绕边长为6的直角边旋转形成圆锥，则圆锥的底面半径为，高为，母线为， 所以圆锥的体积. 故答案为：； 地 城 考点07 二面角 1．(23-24高一下·天津经济技术开发区第一中学·期中)如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 2．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知菱形的边长为2，，沿将折起得到二面角.当二面角为直二面角时，的长为______；当三棱锥的体积为时，二面角的度数为______. 【答案】 或 【分析】利用二面角的定义找到为二面角的平面角，当二面角为直二面角时，易计算得到；当三棱锥的体积为时，求出到平面的距离为，利用三角函数的定义计算即可. 【详解】如图将菱形沿将折起得到二面角 取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，，所以， 所以，且， 所以为二面角的平面角， 如图：当二面角为直二面角时，此时， 所以. 当三棱锥的体积为时，记到平面的距离为, 即，解得. 如图：过点作, 由，且面, 所以面, 因为面，所以， 又因为面, 所以面，故到平面的距离为, 由，所以为直角三角形， 因为，所以 由为二面角的平面角，所以， 所以或. 故答案为：；或. 3．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求点A到平面的距离. (3)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； （2） 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； （3） 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 4．(22-23高一下·天津滨海新区塘沽第十三中学·期中)如图，在正方体中.   (1)求异面直线AC与所成角的大小； (2)求证：； (3)求二面角平面角的大小. 【答案】(1) (2)详见解析； (3) 【分析】（1）连接，易知，则是异面直线AC与所成的角求解； （2）在正方体中，易得，再利用线面垂直的判定定理证明； （3）设，连接，易证平面，从而得到，则是二面角的平面角求解. 【详解】（1）解：如图所示：    连接，由正方体的性质得， 所以是异面直线AC与所成的角， 由正方体的性质得是正三角形， 所以， 所以异面直线AC与所成角是； （2）在正方体中，， 又，平面，平面， 平面，又平面， 所以； （3）设，连接， 在正方体中，， 又，平面，平面， 平面，又平面， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为，则， 所以， 则. 5．(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点． （1）求异面直线与所成的角； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）证明就是异面直线与所成的角或其补角，再解三角形得解； （2）先证明平面,平面平面即得证； （3）证明就是二面角的平面角，再解三角形得解. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角或其补角， 因为，， 所以，所以异面直线与所成的角为； （2）因为平面平面，平面平面，, 所以平面，因为平面， 所以,又,平面, 所以平面,又平面， 所以, 又,所以, 又平面, 所以平面, 又平面, 所以平面平面； （3）因为平面,平面, 所以,又, 所以就是二面角的平面角， 因为平面,平面, 所以, 又, 又, 所以. 所以二面角的余弦值为. 地 城 考点08 几何体的外接球内切球 1．(24-25高一下·天津百华实验中学·期中)已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合底面直角三角形的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解. 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 2．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________． 【答案】 【分析】球心在正四面体的高上，设底面三角形外接圆圆心为,，根据球半径相等列方程，进而求出半径，即可求出表面积. 【详解】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为, 则, 设,则, 所以外接球半径为,所以表面积为, 故答案为: . 3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______. 【答案】 ； . 【分析】应用棱柱的表面积公式求正四棱柱的表面积，正四棱柱的结构特征确定外接球的半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正四棱柱的表面积为， 由外接球的直径为正四棱柱的体对角线，则， 所以外接球体积为. 故答案为：， 4．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第六中学·期中)已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为___________ 【答案】/ 【分析】求出正方体内切球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 5．(24-25高一下·天津第一百中学、咸水沽第一中学·期中)已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 【答案】 【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 地 城 考点09 斜二测画法 1．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 故选：D． 2．(24-25高一下·天津嘉诚中学·期中)如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则得出边长再计算求解. 【详解】因为，， 所以， 则的面积是. 故选：D. 3．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）   A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形， 利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由等腰斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：D 4．(23-24高一下·湖北武汉部分重点中学联考·期末)某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 故答案为：. 5．(24-25高一下·天津建华中学·期中)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形OABC的面积为________. 【答案】 【分析】根据题意先求直观图图形面积，再利用直观图面积：原图形面积即可求解. 【详解】在直观图中，， ∴直观图面积为：， ∵直观图面积：原图形面积， ∴原图形面积， 故答案为：. 地 城 考点10 立体几何动点小题 1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，三棱柱外接球的球心为，点是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（   ）   ①直线与直线是异面直线； ②若，则与一定不垂直； ③若，则三棱锥的体积为； ④三棱柱外接球的表面积的最大值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据异面直线的判定判断①；根据线面垂直的性质定理可判断②；对于③：球心在两底面中心边线的中点，求出到平面的距离即可求三棱锥的体积；对④：设外接圆半径，由，，可得没有最大值也没有最小值，由可得取值情况即可. 【详解】对于①，因为点平面，平面，点， 平面，所以直线与直线是异面直线，故①正确； 对于②，因为侧棱底面，，故底面, 底面，故； 而，则，即， 又平面，故平面, 又平面，故 ， 故当（此时点与点重合）时，平面，则直线平面， 又平面， 所以，故②错误；    对于③：若，则为正三角形，其外心为正三角形的中心，连接与交于，则为的中点， 三棱柱外接球的球心在两底面中心连线的中点， 因为平面，所以到平面的距离相等， 因为侧棱底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 所以到平面的距离为，即到平面的距离为， 所以，故③正确；    对④：设外接圆半径，由正弦定理得， 因为，，所以没有最大值也没有最小值， 故外接球半径没有最大值也没有最小值，故④错误. 故只有①③正确. 故选：B 2．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，给出下列四个结论： ①四面体为鳖臑 ②平面 ③若，则与所成角的正弦值为 ④三棱锥的外接球的体积为定值 则其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断①正确，取的中点为，可证明为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可判断②正确，结合已有分析作出与所成的角即为与所成的角或其补角，利用余弦定理即可判断③错误，根据四面体为鳖臑，结合其性质找出外接球的球心位置求出其半径，即可得④正确. 【详解】对于①，在堑堵中，，且平面； 又平面，所以，， 因此均为直角三角形， 又，平面，所以平面； 因为平面，所以，即为直角三角形， 所以可知四面体的四个面，，均为直角三角形， 因此四面体为鳖臑，即①正确； 对于②，如下图所示： 取的中点为，连接， 所以可得，，所以， 即可得四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，即②正确； 对于③，由②中的分析可知， 所以与所成的角即为与所成的角或其补角， 因为，，可得， 所以为直角斜边中线，因此可得， 在中，由余弦定理可知， 因此为锐角，则，即③错误； 对于④，由①中的分析可知，，，均为直角三角形， 所以可得， 因此即为三棱锥的外接球的球心，且半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为定值， 与的长度无关，即④正确. 综上可知，正确的结论是①②④，共3个. 故选：C 【点睛】方法点睛：异面直线所成角的求法有几何法和向量法： 几何法：平移两条直线中的一条或两条到同一个平面内，利用边角关系找到所求角所在的三角形，利用余弦定理即可求解； 向量法：求出两直线的方向向量，并求得两向量夹角的余弦值，最后取其绝对值即为所求角的余弦值. 3．(24-25高一下·天津耀华中学·期中)在正三棱柱中，，动点满足，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平面的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，A、B、C不符； 由，平面，平面，则平面， 所以到平面的距离为定值，D符合. 故选：D 4．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·期中)如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（    ）   A．C，G，，F四点共面 B．直线平面 C．平面平面 D．直线EF和HG所成角的正切值为 【答案】C 【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】取中点，连接, 由于是的中点，在正方体中可知, 又，所以四边形为平行四边形，故, 因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，,    取中点，连接, 由于均为中点，所以 平面，平面，所以平面, 同理平面,平面, 所以平面平面，平面，故直线平面，B正确，    假若平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误，    由于，所以, 故为直线EF和HG所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以, 故, 直线EF和HG所成角的正切值为，D正确. 故选：C. 5．(24-25高一下·天津咸水沽第二中学·期中)在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 地 城 考点11 线段长最小问题 1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）   A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 【答案】B 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值. 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3，    在中，，为等腰直角三角形，    将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：B. 2．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】D 【分析】利用等体积转化为求三棱锥体积判断A；利用几何法求出异面直线所成角范围判断B；将侧面和侧面展开至同一平面求出最小值判断C；作出截面并求出截面面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，为线段的中点， 对于A，，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等， 当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确； 对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确； 对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为， 所以等腰梯形的面积为，D错误. 故选：D 3．(24-25高一下·天津实验中学滨海学校·期中)如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得，，，四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于结论①，作出经过点，，的截面即可判断；对于结论②，由分析可得，即可判断；对于结论③，作出经过点且与直线垂直的平面，判断平面与是否有交点即可判断；对于结论④，分析点与点重合时与点从上靠近点的三等分点向点运动时两种情况的截面面积的变化情况即可判断. 【详解】对于结论①，取中点为，连接，，，， 因为正方体，为的中点，所以， 所以，，，四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点， 故结论①正确； 对于结论②，因为，求的最小值，即求的最小值， 因为正方体，所以，，，四点共面， 所以与会相交于一点，设为， 此时， 因为 ， 所以的最小值为错误， 故结论②错误； 对于结论③，取，中点分别为，，连接，设交 于点，若平面， 在平面中，易知， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以， ，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，   所以. 所以存在点，使得， 故结论③正确. 对于结论④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，，，，，， 此时四边形即为平面截正方体所得截面，证明如下： 已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， 因为，所以，所以点为上靠近点的三等分点，得证. 又因为，且，，所以四边形为等腰梯形，面积为， 所以当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于3， 因为，，点从上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， 所以点从上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为， 故结论④不正确 故选：B. 4．(23-24高一下·天津耀华中学·期中)如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面. ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又， 平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置． 5．(22-23高一下·天津西青区当城中学·期中)在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求点到的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把到的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中的长度，比较三个值的大小后即可得到结论． 【详解】将长方体展开共三种情况如下： （1）：； （2）：； （3）：， 所以从点沿表面到点的最短路程为. 故选：C.    【点睛】本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力以及数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题． 地 城 考点12 动点探索问题 1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽紫云中学教育集团校·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可. （2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可. （3）作，交于，连接，可以证明，故只需解直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 2．(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点. （1）求证：平面ABC. （2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由. 【答案】（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解． 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，利用面面平行的判定定理证明即可． 【详解】证明：由四边形ABED为正方形可知， 连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故， 面ABC，面ABC， 面ABC； 当P为线段CD中点时，有平面平面ABC， 证明：由点分别为中点可得： 面ABC，面ABC， 面ABC， 由可知，面ACD， 且， 故平面平面ABC． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于掌握空间直线与平面的平行的判定和空间平面与平面的平行的判定． 3．(23-24高一下·天津第二耀华中学·期中)在四棱锥中，已知 ，是线段上的点. (1)求证：底面； (2)是否存在点使得三棱锥的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得三棱锥的体积为，且 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得BC，由，得到，再由得到平面，从而，然后由得到，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）易知，设，由求解. 【详解】（1）证明：在中，， 所以. 在中，，由余弦定理有： ， 所以，所以， 所以，又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中：，则， 所以，因为平面， 所以面. （2）因为， 设， ， ， ， 因此，存在点使得三棱锥的体积为，且. 4．(23-24高一下·天津汇文中学·期中)如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以 平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 5．(22-23高一下·天津滨海新区塘沽第十三中学·期中)如图，四棱锥中，底面为矩形，，，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值； （3）在第二问的条件下，若为线段中点，为线段上的动点，平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）平面与平面互相垂直，证明见解析． 【分析】(1)设与的交点为，连结，可得，再根据线面平行的判定定理证明即可； (2)根据体积可求出的长，然后由线面角的定义可知直线与平面所成角为，再通过求解三角形，即可求出的正切值； (3)平面与平面互相垂直，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】证明：（1）设与的交点为，连结， 底面是矩形，是的中点， 又为的中点，， 平面，平面，平面． （2），又， 又底面，底面，所以 在矩形中,，，平面， 所以平面，则直线与平面所成角为 所以 所以直线与平面所成角的正切值为． （3）平面与平面互相垂直，理由如下： 因为底面，平面，所以． 因为为正方形，所以 又，且，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，为线段的中点，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 地 城 考点13 截面交线问题 1．(24-25高一下·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)已知一个圆锥的轴截面为等边三角形，底面积为，体积为，一个圆柱下底面积为，体积为，若圆锥和圆柱的侧面积相等，且，则的值是________． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，即可得到圆柱的底面半径为，再由侧面积相等求出圆柱的高，最后分别求出体积，即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线，高， 则圆锥的侧面积为，底面积为， 圆锥的体积； 又圆柱下底面积为，且，所以， 则圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，则圆柱的侧面积为， 依题意，则， 所以圆柱的体积， 所以. 故答案为： 2．(24-25高一下·天津滨海新区汉沽第一中学·期中)已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______. 【答案】 【分析】根据题意求出圆锥的底面圆半径和母线，然后根据公式即可求解. 【详解】    如图，为等腰直角三角形，且， 所以底面圆半径，母线长， 所以侧面积，体积. 故答案为：；. 3．(24-25高一下·天津静海区第四中学·期中)小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案. 【详解】馒头的体积为， 火腿的体积为. 故选：B. 4．(23-24高一下·天津河西区·期中)下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．长方体是平行六面体 C．用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形 D．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱， 所以长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误. 故选：B. 5．(24-25高一下·天津南开中学滨海生态城学校·期中)如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中错误的是（    ） A．有水的部分始终是棱柱形； B．水面所在四边形面积为定值； C．棱始终与水面平行； D．当时，是定值． 【答案】B 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由∥∥∥，利用线面平行的判定定理可判断C；由水的体积是定值，高为定值，则底面积ABFE为定值，可判断D. 【详解】对于A：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有∥∥∥， 且平面∥平面DHGC，故有水的部分始终是棱柱形，故A正确； 对于B：因为平面，平面，则， 且//，则，即EFGH为矩形， 又因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化， 所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误； 对于C：因为∥∥∥，水面EFGH，水面EFGH， 所以∥水面EFGH，故C正确； 对于选项D：由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积为定值， 此时ABFE的面积为定值，可得是定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：B． 地 城 考点14 距离问题 1．(23-24高一下·天津滨海新区塘沽渤海石油第一中学·期中)已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用三棱柱的体积公式求出棱长，再利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：，设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得 ，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 故答案为： 2．(24-25高一下·天津天华高级中学·)如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）借助中位线平行来证明线面平行即可； （2）借助等体积法来求点到面的距离即可. 【详解】（1） 取与的交点为，连接， 由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为侧面，均为正方形，，， 所以，，又因为点是棱的中点， 所以，即可得， 所以， 又因为， 设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得， ．解得， 故到平面的距离为. 3．(24-25高一下·天津滨海新区大港第一中学·期中)已知在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别是，的中点， (1)证明：平面; (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求的中点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为为的中点，可联想连结，交于一点，即可证明点为的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出两个平面与的法向量，利用两个平面法向量所成的角得平面与平面夹角的余弦值； （3）确定中点的坐标，利用空间向量的坐标运算求解点到平面的距离即可. 【详解】（1）证明：连接交于，并连接，， ，，为中点， ，且． 四边形为平行四边形，则为中点， 又为中点，． 平面，平面． 平面； （2），为中点，． 侧面底面，侧面底面，平面， 平面． 易知为正方形，． 建立如图空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，又，， 则， 取，则，得， 是平面的法向量， ， 则平面与平面的夹角的余弦值为； （3）的中点，所以 则点到平面的距离为. 4．(24-25高一下·天津部分区·期中)如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【详解】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 5．(24-25高一下·天津滨海新区田家炳中学·期中)如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $