专题09 计数原理（7大考点70题）（期中真题汇编，上海专用）高二数学下学期

面学科网 www zxxk.com 专题09计数原理(7大考点70题) 目目 考点01 乘法原理与加法原理 1.D 2.D 3.65 4.1024/20 502xi0 1 22x10 目目 考点02 排列 6.D 7.D 8.480 9.12 10.12 11.(3,4)/4,3) 12.3 13.72 14.5760 15.528 16.144 17.24 18.(1)ab,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,db,de (2)8:(3)3720 目目 考点03 组合数的计算 19.C 20.7 21.36 22.36 23.8640 1/4 让教与学更高效 答案版) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.540 25.8 26.6 双品品 28.5 29.(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2、3、3； (2)游戏不公平 记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N, 则P(M)）= C+C+C=7-1 C 28=4,所以P(N)=1-P(M)=1-}-3 441 所以此游戏不公平. 目目 考点04 组合数的性质 30.C 31.36 32.6 33.3或4 34.15 35.{2,3 36.1或4 37.2或3 38.240 目目 考点05 计数原理在古典概率中的应用 39.D 40.6 42.9 44.390 学科网 2-5 45. 10.4 4605 2 47.(1)43200 (2)60480 19 目目 考点06 48.70 49.10 50.(1)8 (2)2或-5 51.(1)126720 (2)1760 目目 考点07 52.D 53.6561 54.207 55.-1 56.11 57.6 58.1 59.15 60.-540 61.-1 62.4 63.2 0 64.15 65.(1)-84 www.zxxk.com 杨辉三角形和二项式定理 二项式系数的性质 3/4 让教与学更高效 品学科网 (2)T=126x2和T=-126x 66.(1)448; (2)6561; (3)3075072 67.(1)1120x4; (2)-6560. 68.(1)所有项系数和为2187； @H 69.(1)a=21,第51项 (2)1 70.(1)a3=448 (2)6561 www.zxxk.com 让教与学更高效 二项式系数和为128 专题09 计数原理（7大考点70题） 7大高频考点概览 考点01乘法原理与加法原理 考点02排列 考点03组合数的计算 考点04 组合数的性质 考点05 计数原理在古典概率中的应用 考点06 杨辉三角形和二项式定理 考点07 二项式系数的性质 地 城 考点01 乘法原理与加法原理 一、单选题 1．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】D 【分析】利用分类加法原理，根据三位数的具体情况，由列举法，可得答案. 【详解】任取一个＂十全十美三位数＂，包含有一个0的三位数：，分别为： 含有相同数字的三位数：，分别为：424， 不含有0，并且没有相同数字的三位数，分别为： 共54个. 故选：D. 2．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 【答案】D 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 二、填空题 3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________. 【答案】65 【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数. 【详解】记，则， 对确定的，数列各项间的大小顺序即确定， 设，则， 对于给定的可唯一确定一组数列， 由于且，这样的数列共个， 其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个， 综上所述，符合要求的数列共有个. 故答案为：65. 4．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 【答案】/ 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解. 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有， 故答案为： 三、解答题 5．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 0 # (1)如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？ (2)如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算“6位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可； （2）计算“4位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可. 【详解】（1）密码锁的每个拨盘上有从0到9共10个数字，即有10种可能取法， 开锁密码顺序为“6位数字+1位特殊符号”， 则样本空间中的基本事件的总个数是， 显然基本事件出现的可能性是相等的， 设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个， 故， 即试开一次就能把锁打开的概率是. （2）因为该人只记得密码的最后两位数字是56， 则样本空间中的基本事件的总个数是， 显然基本事件出现的可能性是相等的， 设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个， 故， 即试开一次就能把锁打开的概率是. 地 城 考点02 排列 一、单选题 6．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数. 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 7．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式得解. 【详解】因为， 即9个连续正整数相乘，且最大值为， 故， 故选：D 二、填空题 8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 【答案】 【分析】先排甲，再排其余5人. 【详解】甲同学不站在两端有种排法， 其余5人的全排列有种排法， 则共有种不同的排法. 故答案为：. 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 【答案】12 【分析】利用不相邻问题插空法即可. 【详解】依题意，只需将数学与外语在政治与生物留下的三个空位进行插空，再考虑它们的顺序即可，故课表的排法有种. 故答案为：12. 10．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种. 【答案】12 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】若两名女生相邻，我们把两名女生进行捆绑，看作一个整体， 这两名女生的排列方式共有种， 我们把这个整体与男生全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理得两名女生相邻的排法共种. 故答案为：12 11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于的不等式的解集是__________. 【答案】/ 【分析】利用排列数的性质求解不等式即可. 【详解】由排列数的性质得，且， 当时，，不符合题意，当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上可得，原不等式的解集为. 故答案为： 12．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若排列数，则________. 【答案】 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 13．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__． 【答案】 【分析】采用插空法来求解.先排好个男孩，再在男孩形成的空位中插入个女孩，最后根据排列组合的乘法原理计算出所有的站法种数. 【详解】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种. 个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩. 则个女孩的排列方法有种. 根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）. 故答案为：72. 14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答) 【答案】 【分析】先求农场主站在中间的方法数，以及利用捆绑法求农场主站在中间，且2名女生相邻的方法数，再利用间接法求得2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数. 【详解】由题意，农场主站在中间有种方法， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 16．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【答案】144 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 17．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 【答案】24 【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案. 【详解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人再第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此时有种站法； 若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人再第3或第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有种站法， 综上可得，共有种站法. 故答案为：24. 三、解答题 18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)（1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列； （2）已知正整数满足，求正整数的值； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 【答案】（1） ；（2）；（3）． 【分析】（1）列出所有可能结果即可； （2）根据排列数公式计算可得； （3）分甲在排尾与甲不在排尾两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）从这4个字母中，取出2个不同字母的排列有个， 分别为：； （2）因为， 所以且， 解得； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾， 若甲在排尾，则有种排法； 若甲不在排尾，则甲有种排法，乙有种排法，其余人全排列有种排法， 即有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 地 城 考点03 组合数的计算 一、单选题 19．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（   ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】C 【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子， 相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A错误； 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法， 故共有种方法，故B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球， 而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起， 再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：C. 二、填空题 20．(24-25高二下·上海建平中学·期中)若，则正整数_________． 【答案】 【分析】利用组合数计算公式求解即可. 【详解】由可得， 化简可得， 故答案为：. 21．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种. 【答案】 【分析】将4项工作分成3组，再分配即可. 【详解】第一步，将4项工作分成3组，由种， 第二步，将3组分配到3名志愿者，有种， 共种， 故答案为： 22．(24-25高二下·上海金山中学·期中)为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 【答案】36 【分析】先从4名老师中选2名作为一组 ，将这三组对应三个学生家进行全排列，根据分步乘法计数原理，安排方式共有种. 【详解】某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1，1，2；不同的安排方式有：（种）． 故答案为：36 23．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种． 【答案】 【分析】先确定丙站在正中间，然后分甲乙都在丙的左手边和甲乙都在丙的右手边计数，最后利用分类加法计数原理求排法总数. 【详解】由题知，当丙站在正中间，其左右各有4个位置， 若甲乙两位同学站在一起且都在丙的左手边，则从剩下6个人中选2个人，连同甲乙一起站在丙的左手边，其余4个位置的人站法按全排列站在丙的右手侧， 有种， 同理，当甲乙两个人站在丙的右手侧时，有种 由分类加法计数原理知，共有种排法. 故答案为： 24．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答） 【答案】 【分析】先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列， 所以有一天安排两人，另两天各安排一人，共有种. 故答案为：. 25．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若，则______. 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知且，由可得， 整理可得，解得. 故答案为：. 26．(24-25高二下·上海西中学·期中)将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种． 【答案】6 【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案. 【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种. 故答案为：6 27．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 【答案】/ 【分析】利用超几何分布求概率，利用对钩函数单调性来求最大值即可. 【详解】根据题意可得：， 由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 而，所以比较 可知，所以， 故答案为：. 28．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 【答案】5 【分析】根据组合数以及排列数公式求解，即得答案. 【详解】由得且， 即，即， 故答案为：5 三、解答题 29．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2、3、3； (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型公式通过方程组思想求解即可； （2）先利用古典概型公式计算甲胜的概率，如果概率不等于，那就是不公平的. 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得，解得． 盒中红球,黄球,蓝球的个数分别是； （2）记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以, 所以此游戏不公平． 地 城 考点04 组合数的性质 一、单选题 30．(24-25高二下·上海建平中学·期中)根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由,利用组合数性质计算即可. 【详解】, 故选:C. 二、填空题 31．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 【答案】36 【分析】应用隔板法结合组合数公式计算求解. 【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙． 在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 故答案为：36. 32．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于n的方程的解为__________． 【答案】6 【分析】根据组合数的计算公式列出方程，再通过试数法求解三次方程即可． 【详解】， 由题知，， 当，， 当，， 当，， 当，，所以， 故答案为：6． 33．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)若，则_____. 【答案】3或4 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由有或，所以或. 故答案为：3或4. 34．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可得的值. 【详解】因为，所以， 故，所以. 故答案为：. 35．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 【答案】 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为. 故答案为：. 36．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)若，则的值为______． 【答案】1或4 【分析】利用组合数性质即可. 【详解】由题意可得或，得或， 经检验，或满足题意. 故答案为：1或4 37．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则__． 【答案】 【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可 【详解】已知，由组合数公式可得. 分别讨论的取值， 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，满足条件. 当时，，满足条件. 当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为：或. 38．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答） 【答案】240 【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解 【详解】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 故有种分配方法. 故答案为：240 地 城 考点05 计数原理在古典概率中的应用 一、单选题 39．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出恰有1项当天会决出奖牌、2项都不会当天决出奖牌、5个项目中随机选择2个项目的种类数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】恰有1项当天会决出奖牌有种选择，2项都不会当天决出奖牌有种选择， 5个项目中随机选择2个项目有种选择， 则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为. 故选：D 二、填空题 40．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，所得都为白球的概率是，则袋中白球个数为__________. 【答案】 【分析】设袋中白球个数为，利用古典概型概率公式列方程求解即可. 【详解】设袋中白球个数为， 试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有种结果 而满足条件的事件是从个球中取2个，共有种结果 则从9个球中任取2个球都是白球的概率为， 由题意知，即， 化简得. 解得或(舍去) 故袋中原有白球的个数为. 故答案为：. 41．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率为__． 【答案】 【分析】首先求出基本事件总数，再求出甲、乙两名学生不能分到同一个班的事件数，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生， 则不同的分配方法有种， 其中甲、乙两名学生不能分到同一个班的有种， 所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率. 故答案为： 42．(24-25高二下·上海建平中学·期中)某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 【答案】 【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解. 【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女， 共有种选法. 故答案为：9 43．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为______． 【答案】/ 【分析】应用排列、组合数求出甲、乙分别选择了2所不同的学校，恰有一位老师选择学校开展讲座的选法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题意，甲、乙分别选择了2所不同的学校有种， 恰有一位老师选择学校开展讲座，甲或乙选学校有种，另一位老师在其它4所学校中任选一种有种， 所以在甲、乙分别选2所不同的学校条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为. 故答案为： 44．(24-25高二下·上海新川中学·期中)第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有__________种． 【答案】390 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配问题列式求解. 【详解】三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为； 三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为； 三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为， 综上，不同的安排方法共有（种）. 故答案为：390 45．(24-25高二下·上海延安中学·期中)从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________. 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合组合计数问题列式计算. 【详解】从1~6的6个数字中任取两个不同的数，有个不同结果， 其中取出的两个数字和为偶数的事件有个结果， 所以这两个数字和为偶数的概率为. 故答案为： 三、解答题 46．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. (1)求顾客摸到均为红球的概率； (2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 【答案】(1) (2)、、. 【分析】（1）利用组合知识得到； （2）分别计算出四种情况的概率，比较后得到顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 【详解】（1）由题意得； （2）由题意知，，， ，， 由于，因此顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、. 47．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)现有5名男生4名女生站成一排，求： (1)女生都不相邻有多少种排法； (2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法； (3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 【答案】(1)43200 (2)60480 (3) 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用写序问题倍缩法求解. （3）利用对立事件，结合古典概率求解. 【详解】（1）先排5名男生，再在每个排列形成的6个间隙中插入4个女生， 所以女生都不相邻的排法种数为. （2）9人的全排列种数为，其中男生甲、乙、丙的排列种数为， 而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有1种， 所以所求排列种数为. （3）9人的全排列种数为，其中男甲在首位的排列种数为，男乙在末位的排列种数为， 男甲在首位且男乙在末位的排列种数为， 所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为. 地 城 考点06 杨辉三角形和二项式定理 一、填空题 48．(24-25高二下·上海行知中学·期中) 的二项式展开式中，常数项为_____． 【答案】 【分析】写出通项公式，令的指数为0，解得，代入通项公式即可求常数项. 【详解】由题意，通项公式为， 令，解得，则，即常数项为70. 故答案为：70. 49．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 【答案】10 【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案. 【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则， 则展开式第项满足：，令，则系数为. 故答案为： 二、解答题 50．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知为非零实数，考虑的二项展开式. (1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； (2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合题意建立方程，合理取舍即可得到的值. （2）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合等差中项的性质建立方程，即可得到的值. 【详解】（1）当时，， 利用二项式定理对展开，通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的系数的7倍，所以， 即，解得或， 由，得. （2）当时，， 利用二项式定理对展开，通项公式为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 令，解得，则的系数为， 因为展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项， 所以，化简得， 因为为非零实数，所以，解得或. 51．(24-25高二下·上海位育中学·期中)在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得展开式的通项为，进而求得展开式的第5项的系数； （2）由（1）展开式的通项，令，即可求得常数项. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为：， 所以展开式的第5项的系数为. （2）由（1）展开式的通项为， 令，可得常数项为. 地 城 考点07 二项式系数的性质 一、单选题 52．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值. 【详解】二项式的展开式的通项为, 令，解得， 所以，解得 故选：D. 二、填空题 53．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)若，则________． 【答案】 【分析】令可得，令可得，再由平方差公式计算可得. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以 . 故答案为： 54．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）. 【答案】 【分析】由中和的系数即可求解. 【详解】中的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数是， 故答案为： 55．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则_________． 【答案】 【分析】根据二项式的展开式分别令，即可得所求. 【详解】因为， 所以令可得， 令可得， 所以. 故答案为：. 56．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)若组合数，则的最大值为：__________． 【答案】11 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出的范围即可. 【详解】由及二项式系数的增减性，得，解得，而， 所以的最大值为11. 故答案为：11 57．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若，，则被7除所得的余数为________． 【答案】 【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可. 【详解】若， 令，， 只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6. 故答案为：6. 58．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)二项式的展开式中所有项的系数和为______． 【答案】 【分析】令即可得到所有项的系数和. 【详解】因为，所有项的系数和即为. 令，则. 故答案为：. 59．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则的值为__． 【答案】 【分析】令可得，令可得，即可得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以. 故答案为： 60．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在的展开式中，常数项为_______. 【答案】 【分析】先求出二项展开式的通项公式，然后由的次数为零求出，从而可求出常数项. 【详解】， 令， 所以. 故答案为： 61．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 【答案】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 62．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 故答案为：. 63．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知的二项展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解. 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 64．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)二项式展开式中的常数项是______. 【答案】 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到，求出常数项即可. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，则， 故常数项为. 故答案为：. 三、解答题 65．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)-84 (2)和 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，即可求解， （2）根据二项式系数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， 令，∴常数项 （2）， ∴二项式系数最大的项和 66．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 【答案】(1)； (2)6561； (3)3075072. 【分析】（1）利用赋值法列式求出值. （2）由（1）结合赋值法求出目标值. （3）把代入，求出，再作商结合组合数计算求出最大值. 【详解】（1）取，得，因此， 所以. （2）当时，由（1）知， 取，得，所以 . （3）当时，，， 当时，，解得， 于是， 所以，，…，中的最大值为. 67．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出幂指数，再利用二项式系数的性质求解. （2）利用赋值法求出常数项及所有项系数和即可. 【详解】（1）依题意，，即，解得， 所以的展开式中二项式系数最大的项是第5项：. （2）由（1）知，， 取，得，取，得， 所以. 68．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求所有项系数和与二项式系数和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】(1)所有项系数和为；二项式系数和为 (2) 【分析】（1）根据题意及二项展开式的通项公式先求出，赋值法令求出所有项系数和，由求出二项式系数和； （2）由通项公式求出有理项项数，进而利用插空法与古典概型即可求解. 【详解】（1）展开式的通项公式为：，. ∵第4项的系数与倒数第4项的系数之比为， ∴，解得. ∴所有项系数和为； 二项式系数和为. （2）由（1）知展开式的通项公式为，. 展开式中一共有8项，当时为有理项， 所以由插空法得有理项不相邻的概率为：. 69．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 【答案】(1)，第51项 (2)1 【分析】（1）将赋值为，求得常数项，由二项式系数的单调性，可得答案； （2）利用赋值法，表示各项系数之和与奇偶项，结合平方差公式，可得答案. 【详解】（1）令，则，最大，即第51项二项式系数最大. （2）令，则， 令，则， 原式 . 70．(24-25高二下·上海西中学·期中)设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)6561 【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得. （2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可 【详解】（1）令， 得，解得， 所以 （2）当时， 令，得， 令，得， 即， 所以 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理（7大考点70题） 7大高频考点概览 考点01乘法原理与加法原理 考点02排列 考点03组合数的计算 考点04 组合数的性质 考点05 计数原理在古典概率中的应用 考点06 杨辉三角形和二项式定理 考点07 二项式系数的性质 地 城 考点01 乘法原理与加法原理 一、单选题 1．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 2．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 二、填空题 3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________. 4．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 三、解答题 5．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * 0 # (1)如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？ (2)如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？ 地 城 考点02 排列 一、单选题 6．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 7．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种. 10．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种. 11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于的不等式的解集是__________. 12．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若排列数，则________. 13．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__． 14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答) 16．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 17．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 三、解答题 18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)（1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列； （2）已知正整数满足，求正整数的值； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 地 城 考点03 组合数的计算 一、单选题 19．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（   ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 二、填空题 20．(24-25高二下·上海建平中学·期中)若，则正整数_________． 21．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种. 22．(24-25高二下·上海金山中学·期中)为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 23．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种． 24．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答） 25．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若，则______. 26．(24-25高二下·上海西中学·期中)将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种． 27．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 28．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________． 三、解答题 29．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 地 城 考点04 组合数的性质 一、单选题 30．(24-25高二下·上海建平中学·期中)根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 31．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 32．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于n的方程的解为__________． 33．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)若，则_____. 34．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则的值为_________． 35．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 36．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)若，则的值为______． 37．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则__． 38．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答） 地 城 考点05 计数原理在古典概率中的应用 一、单选题 39．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 40．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，所得都为白球的概率是，则袋中白球个数为__________. 41．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率为__． 42．(24-25高二下·上海建平中学·期中)某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 43．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为______． 44．(24-25高二下·上海新川中学·期中)第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有__________种． 45．(24-25高二下·上海延安中学·期中)从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________. 三、解答题 46．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖. (1)求顾客摸到均为红球的概率； (2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率. 47．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)现有5名男生4名女生站成一排，求： (1)女生都不相邻有多少种排法； (2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法； (3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 地 城 考点06 杨辉三角形和二项式定理 一、填空题 48．(24-25高二下·上海行知中学·期中) 的二项式展开式中，常数项为_____． 49．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 二、解答题 50．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知为非零实数，考虑的二项展开式. (1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值； (2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值. 51．(24-25高二下·上海位育中学·期中)在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 地 城 考点07 二项式系数的性质 一、单选题 52．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 53．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)若，则________． 54．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）. 55．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则_________． 56．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)若组合数，则的最大值为：__________． 57．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若，，则被7除所得的余数为________． 58．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)二项式的展开式中所有项的系数和为______． 59．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则的值为__． 60．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在的展开式中，常数项为_______. 61．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 62．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 63．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知的二项展开式中系数最大的项为______． 64．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)二项式展开式中的常数项是______. 三、解答题 65．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知在的展开式中， (1)求常数项； (2)求二项式系数最大的项． 66．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求，，…，中的最大值． 67．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 68．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求所有项系数和与二项式系数和； (2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 69．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)设，求下列各式的值； (1)求，并求出第几项二项式系数最大? (2). 70．(24-25高二下·上海西中学·期中)设． (1)若，求的值； (2)若，求的值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $