专题08 导数的应用（4大考点45题）（期中真题汇编，上海专用）高二数学下学期

专题08 导数的应用（4大考点45题） 4大高频考点概览 考点01利用导数研究函数的单调性 考点02利用导数研究函数的极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04 利用导数解决实际问题 地 城 考点01 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高二下·上海延安中学·期中)函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 2．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 5．(24-25高二下·上海位育中学·期中)函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 6．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数的单调减区间是________. 7．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 8．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 9．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 11．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 三、解答题 12．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 地 城 考点02 利用导数研究函数的极值 一、单选题 13．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 15．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 16．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 17．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（   ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 二、填空题 18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 19．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____. ① 有 2 个驻点 ② 在处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 21．(23-24高二下·上海七宝中学·期中)函数的驻点为______． 22．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 三、解答题 23．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 24．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 25．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 26．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 27．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 地 城 考点03 利用导数研究函数的最值 一、单选题 28．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 二、填空题 29．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数，的最小值是________. 30．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 31．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 三、解答题 32．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 33．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 35．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 36．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 37．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 38．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 39．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 地 城 考点04 利用导数解决实际问题 一、填空题 40．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大. 41．(24-25高二下·上海莘庄中学·期中)如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 二、解答题 42．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 43．(24-25高二下·上海松江一中·期中)某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 44．(24-25高二下·上海闵行中学·期中)某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 45．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 www.zxxk.com 专题08导数的应用(4大考点4 目目 考点01 利用导数研究函数的单调性 1.D 2.C 3.C 4[后 5.(1,4u(6,7) 6.(0,2)0,2) 7.（-2025,0)U(2025,+0】 8 9.〔 10.充分非必要 11.①②④ 12.(1)当a≤0时，函数F(x)在(0，+0)单调递增； 当a>0时，函数Fx)在(a,+oo)单调递增，在(0，a单调递减 (2)1 目目 考点02 利用导数研究函数的极值 13.C 14.D 15.B 16.A 17.B 18.h3h2 9,4 19.②④ 20.①③④ 21.05 1/5 让教与学更高效 5题)（答案版） 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.②③ 23.(1)1 (2)函数f(x)=am-(2a+1)lr-2的定义域为0，+o), 又y=a-2a+1+3-m-2a+lx+2-ar-lx-21a>01, x x2 x2 x2 当0<a<时， 由f川>0，解行0<<2度x>所以f到右0,2.（日+ 上单调递增， 由川<0，解得2<行，所以小纠在(2上单词遍减 当a=时f川≥0恒成立（且仪在x=2处等于0.所以国到在0，+o上单调递增： 当a>分时 由f(>0,解得0<x<或x>2,所以fx在0， ,(2,+∞)上单调递增， 由f川到<0，解符。<x<2,所以f1右2上单调還减 综上可得， 当0<a<二时f(x的单调递增区间为0,2)， (合+切小，单调递减区何为2》； 当a=号式f八y的单词递暗为0，+，无单词遍减区间： 当a>时1的单调递塔区何为o日》2+，单润运读x间为日2习 24.(1)y=5x-8 （②报大值分，极小值0 25.(1)-4 (2)f(x)=(x-a)lnx-x+a-3(a∈R)的定义域为(0，+o), f(x)=Inx+x-a-1=Inx-a, 令=)=hx≥0，则-是-6x>0. 当a≥0时，h(x)>0恒成立，所以h(x即'(x)在(0，+o）上单调递增. 当a<0时，由h(x)>0,得x>-a,由h(x)<0,得0<x<-a, 所以h(x即f'(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a,+o∞)上单调递增. 命学科网 www zxxk.com 26.-1 e 27.(1)y=0、x=1、4x-y-4=0; (2)极大值为F 5 3 27； 极小值为F(1=-1 目目 考点03 利用导数研究函数的最值 28.D 29.-π 3.22 32.(1)y=-X-2 (2)g(xa=-3a+2 33.(1) (②方程f(x=+1可化简为e-1-1=0, 方程e-1-1=0的根就是函数g()=e-1-1的零点， 由解析式易知g(:=e-1-1在(-，0)，(0，+0)上单调递增， 因为g引e-}<0,81-1=。>0, 所以希数在，0有啡零点名，且x(多-小 因为8)6-3<0,8)=-2>0，所以函数8在0，+o)有唯 一负根 (3)-0,1 34.(1)f(x)=e-x3-1 (2)g(x>-1 g(x)=f(x)+x3-2x=(e-x3-1+x3-2x=e-2x-1 则g'(x=e-2, 3/5 让教与学更高效 零点x2,所以有且仅有一正 学科网 www.zxxk.com 则g(x<0得x<ln2,g(x>0得x>ln2, 则gx)在(-oo,ln2)上单调递减，在(ln2,+oo)上单调递增， 则g(ymm=glh2)=e2-2n2-1=1-2n2>1-2ne=-1, 因此，gx>-1对任意x∈R成立. (3)k=0. 35.(1)y=0 (2)减区间是(-0,0)，增区间是(0，+0)： (3)t的最大值为e 6(①)f)三3r-4x+4,单调递增区间为-0，-2和(2，+0 ②最大值为4，最小佰为专 37.(1)-3或1： (2)0 (3)2. 38.(1)在(0，-a上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增 (2)a=-Ve 39.(1)y=x (2)a∈2,3 目目 考点04 利用导数解决实际问题 40.180 41.刀 42.(1)L=(x-3-a)(x-12)2,x∈[8,12] r80-16a,0≤a≤3 (2)Q(a= 279-a,3<as5 43.(1)y=-x3-12x2+144x+200(x>0) (2)当x=4时，利润最大，最大为520万元 4.00542,其中x>0 让教与学更高效 函学科网 ww w zxxk .com (2)30km/h, 108 5元 45.(1)S= -x3-x2+4x,0<x<1 -2x2+4x,1<x<2 ②当x--l时，矩形DEFG的面积取得最大值 3 5/5 让教与学更高效 专题08 导数的应用（4大考点45题） 4大高频考点概览 考点01利用导数研究函数的单调性 考点02利用导数研究函数的极值 考点03利用导数研究函数的最值 考点04 利用导数解决实际问题 地 城 考点01 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高二下·上海延安中学·期中)函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得或， 所以函数的严格减区间为和. 故选：D. 2．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】构造函数，求证其单调性即可得，最后利用对数函数的单调性即可. 【详解】令，则， 则在上单调递减，则， 即，即，即， 因为增函数，则. 故选：C 3．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 二、填空题 4．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海位育中学·期中)函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 【答案】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数的单调减区间是________. 【答案】/ 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 7．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集. 【详解】令，的定义域为， 则， 时，恒成立，故， 所以在上单调递增， 又，所以， 故当时，，， 当时，，， 当时，，故， 是定义在R上的偶函数，故， 所以， 所以为奇函数，故在上单调递增， ，故， 当时，，， 故当时，，， 当时，，故， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 8．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 9．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】令，可得， 当时，，可得，所以单调递增； 又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称， 因为不等式， 即，即，即， 所以，可得，所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：. 10．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分非必要 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例. 【详解】在函数在区间上可导的条件下， 由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”， 但是此时不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 11．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______. ①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数； ②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数： ③对于任意的，若为减函数，则为增函数； ④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调. 【答案】①②④ 【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④. 【详解】对①，若为奇函数，则， 两边求导得，即，所以为偶函数，①正确； 对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数， 但为偶函数，②正确； 对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误； 对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题 12．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. (2) 【分析】（1）求导函数，分和讨论函数的单调性即可； （2）设，求过两点的切线方程，根据两条切线相互垂直得，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， ， 则导数， 当时，恒成立， 则函数在单调递增； 当时，令，则，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减. 综上所述，当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. （2）由函数， 设， 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 又因为两条切线垂直， 所以，即， 所以， 联立， 因为，即， 所以，解得， 因为， 又，根据基本不等式， 所以, 由恒成立，则， 所以的最小值为. 地 城 考点02 利用导数研究函数的极值 一、单选题 13．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 15．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④. 【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有， 所以在上单调递减，故①错误； 由可知，的图像在处的切线斜率等于0，故②正确； 在区间上单调，没有极值点，故③错误； 由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故④正确． 故选：B 16．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小到大依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 17．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数的定义域为，则下゙列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（   ） A．存在无穷多个，满足 B．对任意有理数，均有 C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 【答案】B 【分析】结合极大值的定义，举例说明判断ABCD. 【详解】对于A，函数的如图①所示， 显然函数满足条件，而是的极大值点，故A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值大于，如图②所示， 因此函数在处取不到极大值，B正确； 对于C，函数，函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，是的极大值点，C错误； 对于D，函数如图③所示， 函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，是的极大值点，D错误. 故选：B.    二、填空题 18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用导数刻画函数的图象，结合过原点与特殊点处的直线的斜率可求参数的取值范围. 【详解】， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 且时，恒成立，故的图象如图所示， 因为，，故， 又，因为,所以, 因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故， 故答案为：. 19．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【答案】②④ 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____. ① 有 2 个驻点 ② 在处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 【答案】①③④ 【分析】根据给定的导函数图象，确定驻点，函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①③④正确，②错误. 故答案为：①③④. 21．(23-24高二下·上海七宝中学·期中)函数的驻点为______． 【答案】/0.5 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即得. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以函数的驻点为. 故答案为： 22．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【答案】 【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解. 【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误； 时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则是的极小值点，②正确； 时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 则是的极大值点，③正确，④错误. 故答案为： 三、解答题 23．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 24．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 25．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 26．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【答案】 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可. 【详解】的定义域为，， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得， 经验证符合题意，故实数a的值为. 27．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 【答案】(1)、、； (2)极大值为；极小值为. 【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可； （2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值. 【详解】（1）当时，， 当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设， 联立，得， 因直线与曲线有且仅有1个公共点， 则，得或， 则直线的方程为：或 综上，符合条件的直线方程为、、. （2）由，得， 因函数在处有极值，则，得， 则，， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为． 地 城 考点03 利用导数研究函数的最值 一、单选题 28．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，其中正确结论的是（    ） A．当时，函数有最大值 B．对于任意的，函数是上的减函数 C．对于任意的，都有函数 D．对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 二、填空题 29．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 30．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分离参数可得，判断的单调性，计算极值，作出的函数图象，根据直线与的图象有四个交点得出k的范围. 【详解】当时，， 令，可得：， 令， 则， 对于函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，. 所以，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 又因为当时，；当时，取得极小值； 当时，；当时，， 作出函数的大致图象如图所示： 因为函数恰有四个零点，所以直线与的图象有四个交点， 所以， 故答案为：. 31．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减， 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 32．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程； （2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值. 【详解】（1），则， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 则，， 因为，则恒成立，所以函数在上单调递减， 所以. 33．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)已知函数 . (1)当 时，求函数 的最小值； (2)证明方程 有且仅有一正一负根: (3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值； （2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案； （3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案； 【详解】（1），     当，，单调递减， 当，，单调递增， ； （2）方程 可化简为， 方程的根就是函数 的零点， 由解析式易知在 ， 上单调递增， 因为 ， 所以函数在有唯一零点 ，且， 因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根. （3）设， 则当时恒成立， ①由（1）得， 当时， ，，单调递减， ，，单调递增， .∴ ②当时，，这与矛盾， 综上，． 所以实数 的取值范围. 34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，的图象在处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)设，比较与大小关系，并说明理由； (3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）根据以及即可求得； （2）研究的单调性，得出即可； （3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可. 【详解】（1）由得，， 因函数的图象在处的切线为，则， 因切点为，则，则， 故 （2） 则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因此，对任意成立． （3）， 因对任意的恒成立，则， 即对任意的恒成立， 令，则， 则得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 则，即，故最大整数． 35．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间; (3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解； （2）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调区间； （3）首先根据（2）的结果解不等式，再转化不等式，利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，，，所以，所以在区间上单调递减， 当时，，，所以，所以在区间上单调递增， 所以函数的减区间是，增区间是； （3），，则，， 由（2）可知，，即，即，即, 当时，，设， 设，得， 当时，，单调递减，当，，单调递增， 所以函数在的最小值是，则， 当时，恒成立， 当时，，，所以恒成立， 综上可知，，所以的最大值为. 36．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为和. (2)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）先求导，根据函数取得极值计算参数，再根据导数的几何意义确定参数，从而得出解析式，结合导函数判定单调递增区级即可； （2）利用第一问结论结合端点值及极值确定最值即可. 【详解】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，则， 又函数在点处的切线方程为， 则，所以， 单调递增区间为和. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数的最大值为4，最小值为. 37．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【答案】(1)或1； (2)0 (3)2. 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值. （2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围. （3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此函数的图象在点处的切线方程为， 由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根， 方程中，，解得或， 所以实数b的值为或1. （2）当时，，，求导得， 函数在上单调递减，， 由存在使得成立，得， 而，即，则， 所以最大整数M的值为0. （3）由，不妨设， 而函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，则， 不等式， 即，令， 依题意，，成立，因此函数在上单调递增， 则，成立，即在上恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此，而， 所以. 38．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可. （2）由（1）的信息，按分段讨论函数的单调性，进而确定最小值，列式求解并判断. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，，， 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，，解得，不符合题意； 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，解得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，解得， 所以. 39．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设且，，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围. 【详解】（1）因为，求导得， 令代入，曲线在点处的切线方程为. （2）因为且，， 求导得， 且因为定义域为，函数有两个不同的驻点， 故在有两个不同正解，令，故， 设两个不同正解分别为和， 即，解得，即. 地 城 考点04 利用导数解决实际问题 一、填空题 40．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大. 【答案】 【分析】先求得利润的表达式，然后利用导数求得正确答案. 【详解】依题意，即，解得. 依题意可知，利润， ，令，解得（负根舍去）， 所以在上，单调递增； 在区上，单调递减. 所以当时，利润最大. 故答案为： 41．(24-25高二下·上海莘庄中学·期中)如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 二、解答题 42．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 43．(24-25高二下·上海松江一中·期中)某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. (1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； (2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大为520万元 【分析】（1）根据已知条件列式得出函数； （2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值. 【详解】（1）由题意知， ， . （2）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 44．(24-25高二下·上海闵行中学·期中)某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 【答案】(1)，其中 (2)，元 【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本； （2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可. 【详解】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元）， 则，其中． 由题意，得，解得，故． 所以每小时的运输成本，其中． （2）该轮船每千米的运输成本，其中， 求导，得， 令，解得． 由，解得；故在区间上单调递增； 由，解得；故在区间上单调递减． 所以当时，取得最小值． 故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元． 45．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积取得最大值 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用点的坐标求解直线方程以及抛物线方程，即可根据点的位置分类讨论求解， （2）利用导数求解函数的单调性，即可求解时的最值，利用二次函数的性质即可求解上的最值，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由于, 所以点的坐标为，点的坐标为， 由于三点在一条直线上，所以直线， 由于，所以,故点的坐标为 由于抛物线的顶点为，对称轴为，可设抛物线方程为 将点的坐标代入得，所以抛物线方程为， 直线的方程是，直线的方程是， 因为设，所以当时，点的坐标为，点的坐标为， 所以矩形的面积， 当时，的坐标为， 所以矩形的面积为， 所以矩形的面积为， （2）当时，， 令，得， 所以，当时，；当时，， 所以，当时，矩形的面积取得最大值， 当时，， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，矩形的面积取得最大值， 又， 综上，当时，矩形的面积取得最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $