专题06 数列（3大考点24题）（期中真题汇编，上海专用）高二数学下学期

专题06 数列（3大考点24题）（解析版） 3大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列的概念与性质 地 城 考点01 等差数列 一、填空题 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知等差数列中，公差，且，则_____． 3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 4．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. 5．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 6．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____. 二、解答题 7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 地 城 考点02 等比数列 一、填空题 8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 9．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)设为等比数列的前项和，已知，则公比_____ 10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 11．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)________. 12．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若正数数列 是等比数列，则正数 _____. 13．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 14．(24-25高二下·上海宝山中学·月考)已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是________． 二、解答题 15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 16．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 地 城 考点03 数列的概念与性质 一、单选题 17．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 18．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 19．(24-25高二下·上海进才中学·期中)设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 20．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 21．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 22．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 23．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列的前项和为，则 _____. 三、解答题 24．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)在数列中，， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列（3大考点24题）（解析版） 3大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列的概念与性质 地 城 考点01 等差数列 一、填空题 1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 【答案】 【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可. 【详解】是等差数列，设首项为，公差为， 又，， ，即， 解得：， 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知等差数列中，公差，且，则_____． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 【答案】1 【分析】根据等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，则. 故答案为：1 4．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______. 【答案】 【分析】确定数列中最大值为，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知条件得, 设，则， 因为函数，则， 所以 ， 若，则, 由，得或或， 对应点, 由，得，对应点, 因此产生集合的集合中，点一定存在，至少有一个， 所以集合的个数为. 若，则, 由，得或， 对应点, 由，得或， 对应点, 因此产生集合的集合中， 点一定存在，至少有一个，至少有一个，至少有一个， 所以集合的个数为. 综上，集合的个数为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 5．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解. 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 6．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____. 【答案】4 【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案. 【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列， 则， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 二、解答题 7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 地 城 考点02 等比数列 一、填空题 8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知等比数列的首项为1，公比为，则__________. 【答案】2 【分析】应用等比数列求和公式结合极限计算求解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，则. 故答案为：2. 9．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)设为等比数列的前项和，已知，则公比_____ 【答案】2 【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解. 【详解】由，得，则， 等比数列的公比， 所以. 故答案为：2 10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______． 【答案】或 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可知公比不为1， 当时，,符合题意； 当时，，故， 故答案为：或 11．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)________. 【答案】 【分析】根据等比求和公式即可求解. 【详解】， 故. 故答案为： 12．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若正数数列 是等比数列，则正数 _____. 【答案】 【分析】根据等比中项定义，可求得的值. 【详解】由题，可得，又， . 故答案为：4. 13．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 【答案】6 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果. 【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 故答案为： 14．(24-25高二下·上海宝山中学·月考)已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由等比数列求和公式，通过讨论的奇偶性，即可求解； 【详解】由，，可得， 所以， 所以 由，即得， 当为偶数时，， 即， 对于，易知当时，取得最小值， 所以， 当为奇数时，， 即 对于，易知当时，， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 二、解答题 15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 【答案】(1) (2)8 (3)2012 【分析】（1）通过赋值，结合等比数列的定义，即可求得； （2）根据（1）中所求，求得，判断其单调性，即可求得结果； （3）根据（1）中所求，求得，结合等差数列前项和公式，求得，再利用裂项相消求和，根据其范围，即可求得. 【详解】（1）由题可知，，即 ， 故数列 是首项为，公比为的等比数列，则． （2）由题可知，，又， 则= 当，严格递增；当，严格递减， 所以数列的最小项为，则. （3）由题可知，，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 则 所以 = . 当时，为单调减函数，故为单调增函数， 又故要满足题意，只需，解得，故最小正整数的取值为2012． 16．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用无穷互补数列的定义判断即可. （2）判断数列的前512项是的所有整数，除去之后剩下的整数，再根据等差数列与等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）因为，，∴， 即，不满足②， 因此与不是无穷互补数列. （2）因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： . 地 城 考点03 数列的概念与性质 一、单选题 17．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 二、填空题 18．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解. 【详解】由题意有：，， 上式相加得， 所以，所以， 因为在单调递减，在单调递增， 所以， 故答案为：. 19．(24-25高二下·上海进才中学·期中)设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 20．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 【答案】 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 21．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 22．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 23．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列的前项和为，则 _____. 【答案】 【分析】由即可得答案. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故答案为：. 三、解答题 24．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)在数列中，， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解即得. 【详解】（1）由对正整数恒成立， 所以. 是以为首项，1为公差的等差数列， ，. （2）由（1）知，， . . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www zxxk.com 专题06数列(3大考点24题) 目目 考点01 等差数列 1.10 2.10 3.1 4.70 5.10 6.4 7.(1)an=3n-16,n∈N (2)最小值-35；n=5 目目 考点02 等比数列 8.2 9.2 10.-1或±2 12.4 13.6 4.（4 15.()fn川= (2)8 (3)2012 16.(1)不是，因为4EA,4EB,.4:AUB, 即AUB≠{xxN,x≥1，不满足②， 因此{an}与{bn}不是无穷互补数列. (2)134959 1/2 让教与学更高效 答案版) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 数列的概念与性质 17.C 25 19.70 20.4 21.(1,+0 22.-0,30 24.（0)油a -2=1+2”+1-21=1-2”+1对正整数n恒成立， a 居 位是以片2=1为前项1为公兰的容类数别 a 1-2”=1+(n-1-1=n,.a,=2”+in 1 a。 (2S.=21-2+r+m,S。=2101 2