专题05 空间向量及其应用（4大考点36题）（期中真题汇编，上海专用）高二数学下学期

专题05 空间向量及其应用（4大考点36题） 4大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量的坐标表示 考点04 空间向量在立体几何中的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、填空题 1．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 【答案】 【分析】将，利用向量运算得，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】如图，因为，又， 所以，又， 所以，即， 所以，化简得， 所以，所以. 所以异面直线与的夹角为. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海建平中学·期中)如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 5．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 6．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________. 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，分类讨论求解方程的根即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，故此时， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 综上可得：符合条件的有3个， 故答案为：3 7．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 【答案】 【分析】由平方求解. 【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 二、解答题 8．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 9．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 10．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 二、填空题 11．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.    【答案】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 12．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 13．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为_____. 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 14．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 三、解答题 15．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 地 城 考点03 空间向量的坐标表示 一、填空题 16．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 【答案】 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 17．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知空间向量，，若，则实数的值为______． 【答案】 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 19．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)向量 且 ，则实数 _____. 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 21．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，先根据题目条件得出点、点和点三点共线，进而设出点，的坐标；再借助二次函数得出当时，的最小值为；最后再根据点的轨迹和的几何意义即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：    则由题意可得，,，. 因为点满足，， 所以点、点和点三点共线. 设，， 则，， 所以 则. 令，则该函数可以看做是关于t的二次函数， 则当时，函数有最小值，为. 所以要使最小，可先取，此时，其几何意义是点在平面上的射影点到点的距离. 又因为， 所以点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 则射影点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及其内部. 所以 又因为， 所以 故答案为：. 22．(24-25高二下·上海复旦中学·期中)，，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 【答案】3 【分析】设，列出方程，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以，存在，使得， 即，解得. 故. 故答案为：3 24．(24-25高二下·上海宝山区上海大学附属中学·期中)如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 25．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 【答案】 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 地 城 考点04 空间向量在立体几何中的应用 一、单选题 26．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 27．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 在棱长为4的正方体中，得到，， ，，，， 因为为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，设，， 得到，， 即，，，解得， 故，则， 设异面直线与所成角为，， 则， ， 令，当时，， 当时，， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，则，得到， 若异面直线与所成角最小，则最大， 此时，故. 故答案为： 三、解答题 29．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法求出线面角. 【详解】（1）    取的中点，连接，因是的中点，则且， 在直角梯形中，，，，则且. 故且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 30．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件得到平面，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入距离公式求解即可. 【详解】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图：    以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 31．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相关点的坐标. 利用向量垂直的性质求出点的坐标，进而得到直线的方向向量.求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解与平面所成角的正弦值. （2）分别求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式求解二面角的余弦值. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，，， 设.所以，. 因为直线与所成角为，即. 根据向量垂直的性质，则， 即，解得，所以，那么. 设平面的法向量为，，. 由，可得. 令，则，，所以. 设与平面所成角为. 根据线面角的向量公式. ，，. 所以. （2）对于平面，其法向量已求得为. 平面的法向量：因为平面，所以可作为平面的一个法向量. 设二面角为，根据二面角的向量公式. ，，. 所以，观察图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 32．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再由直棱柱的性质得到，即可得证； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）底面是等腰直角三角形，且， ， 在直三棱柱中，平面， 又 平面， ， ，平面， 平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，、，， 则，取， 设直线与平面所成角为 ， 则， 所以直线与平面所成角为的大小为 . 33．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行的传递性及线面平行的判定定理即可证明； （2）取线段中点，由面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解. 【详解】（1）因为分别为棱的中点， 所以，又因为， 所以， 平面，平面， 所以直线平面. （2）取线段中点，连接，则正三角形中有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，分别以向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则， 设直线与平面所成的角为， . 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为. 34．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量的方法证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知是平面DBC的一个法向量，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，， 故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由题知，可得点，，，，，， ，， 则，，， 所以，， 所以，. 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，， 设是平面ABD的法向量， 则，即， 令，可得，，， 即平面ABD的一个法向量是. 由（1）知，是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为， 则. 又，∴. 结合三棱柱可知，二面角是锐角， ∴所求二面角的大小是. 35．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直和等腰三角形性质分别证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角， 【详解】（1）底面，底面， ， 是的中点, ， 则平面，平面， 平面. （2）因为，所以， 则三棱柱的体积，所以. 如图，以点为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以. 36．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . (1)求证: ； (2)求点到平面的距离 ； (3)求平面与平面所成的二面角大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由直线方向向量的共线即可证明； （2）由点到平面距离的向量公式即可求解. （3）先求得平面法向量，利用向量夹角的向量公式计算即可. 【详解】（1）由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 则，，，，， 设点， 由，得， 解得，即， 所以，， 所以，又，所以. （2）由（1）得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为. （3）由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的二面角大小为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 专题05 空间向量及其应用(4大考点36 目目 考点01 空间向量及其运算 1.arccos12 2.[3,9] 3.-4 4.5 5.5 6.3 7.√33 8.(I)证明：设CD=a,CB=b,CC,=c,则BD=CD-CB=a-b, 底面ABCD是菱形，有同=月， 则cC·BD=c(a-i)=ca-c-方=cos0-lcos0=0, CC⊥BD,即CC,⊥BD CD (2)cc =1 目目 考点02 空间向量基本定理 9.B 10.D 12.204 5 13.29 6 14.5 15.(①)AM=a+万+c 2 (25 2 目目 考点03 空间向量的坐标表示 1/5 让教与学更高效 题)（答案版） 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16身 17.(0,2（2,+0） 18.-4 19.arccos √2 20.05 21.4W2-1 22.（-1,0,-1 23.3 24.5-6 25.V101 目目 考点04 空间向量在立体几何中的应用 26.B 27.B 28.arccos- 5 29.(1) B 取PA的中点E,连接DE,EQ,因Q是PB的中点，则E0/AB且EQ=)AB, 在直角梯形48CD中，∠BD=∠CD1=90,AD=DC=1,AB=2,则DC1AB且DC=B 故EQ/DC且EQ=DC,则四边形EQCD是平行四边形，故CQ/DE, 又DEc平面PAD,CQt平面PAD,所以CQ/平面PAD. (2)arcsin- 5 30.(1)AC⊥BC,DE//BC,.DE⊥AC,CD⊥DE,AD⊥DE, 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 又CD,ADc平面ACD,CD∩A,D=D,.DE⊥平面ACD, 又A,Cc平面ACD,.A,C⊥DE, 又A,C⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEc平面BCDE, .A,C⊥平面BCDE 3 2 31.0号 (23 3 32.(1)底面ABC是等腰直角三角形，且AC=BC, .AC⊥BC, 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CC,⊥平面ABC, 又BCc平面ABC,.CC1⊥BC, ACCC,=C,AC,CC,C平面ACC,A, BC⊥平面ACC,A,. (2aresin1 33.(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点， 所以MNIICD,又因为AB/CD, 所以MN∥AB, MNE平面PAB,ABC平面PAB, 所以直线MNI∥平面PAB (3v分 34.(1)在直三棱柱ABC-A,B,C中，∠ACB=90°，则CA⊥CB,CA⊥CC1,CB⊥CC1, 故以点C为坐标原点，CA,CB,CC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示 3/5 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B为 由题知，可得点C(0,0,0),A2,0,0),B(0,2,0,D(2,0,2),A2,0,4,C10,0,4), AB=(-2,2,0),AD=(0,0,2), 则DC=（-2,0,2),DC=(-2,0,-2,DB=(-2,2,-2, 所以DC·DC=-2×(-2)+0×0+2×(-2)=0,DC·DB=-2×(-2)+0×2+2×(-2)=0, 所以DC,⊥DC,DC,⊥DB 又DCODB=D,DCc平面BCD,DBc平面BCD, 所以DC,⊥平面BCD. 明 35.(1):AA,⊥底面ABC,BCc底面ABC, .AA⊥BC, :AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, 则AA,⊥BC,AD⊥BC,ADAA4=A,AA,C平面AAD,ADC平面AAD, ·BC⊥平面AAD (2)arccos- 7V10 30 36.(1)由于PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 丽学科网 www.zxxk.com 由AB⊥BC,∠BCA= 3,得BC=2, 则A0,0,0),D(4,0,0),C(0,4,0),B(-√3,3,0)，E(2,2,0), 设点MxM,yM,2M, 由AM=2MB,得(xM,yM,2w)=2(-V5-xM,3-yM,-2w), 23 XM= 解得 Yy =2 2. 2M=0 所以EM= 23 -2,0,0 AD=(4,0,0), 所以EM∥AD,又E生AD,所以EM∥AD (2)4v7+4V2 (3)arccos- 或i--arccos- 万 7 7 5/5 让教与学更高效 专题05 空间向量及其应用（4大考点36题） 4大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量的坐标表示 考点04 空间向量在立体几何中的应用 地 城 考点01 空间向量及其运算 一、填空题 1．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 3．(24-25高二下·上海建平中学·期中)如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____. 4．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个. 5．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 6．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________. 7．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________. 二、解答题 8．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 地 城 考点02 空间向量基本定理 一、单选题 9．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 11．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.    12．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 13．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为_____. 14．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 三、解答题 15．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 地 城 考点03 空间向量的坐标表示 一、填空题 16．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 17．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知空间向量，，若，则实数的值为______． 19．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)向量 且 ，则实数 _____. 21．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________. 22．(24-25高二下·上海复旦中学·期中)，，则向量在向量上的投影向量是______． 23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 24．(24-25高二下·上海宝山区上海大学附属中学·期中)如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 25．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 地 城 考点04 空间向量在立体几何中的应用 一、单选题 26．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 27．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 二、填空题 28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示) 三、解答题 29．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 30．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 31．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 . (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值. 32．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 33．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 34．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点. (1)求证：平面BCD； (2)求二面角的大小. 35．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)如图，三棱柱中，底面是的中点. (1)求证：平面； (2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 36．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 . (1)求证: ； (2)求点到平面的距离 ； (3)求平面与平面所成的二面角大小； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $